资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、引进定积分概念的两个例子,第一节定积分的概念,二、定积分的定义,三、定积分的几何意义,1,一、引进定积分概念的两个例子,1,.,曲边梯形的面积,曲边梯形：在直角坐标系下，,由闭区间,a,b,上的连续曲线,y,=,f,(,x,),0,，,直线,x,=,a,，,x,=,b,与,x,轴围成的平面图形,AabB,.,y,x,O,a,b,A,B,x,=,a,x,=,b,y,=,f,(,x,),2,基于这种想法，,可以用一组平行于,y,轴的直线,把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，,只要分割得较细，,每个小曲边梯形很窄，,则其高,f,(,x,),的变化就很小,.,这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底，,底上某点函数值为高的矩形，,曲线,y,=,f,(,x,),是连续的，,所以，当点,x,在区间,a,b,上某处变化很小时，,则相应的高,f,(,x,),也就变化不大,.,3,显然，分割越细，,近似程度就越高，,当无限细分时，,则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值,.,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，,进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积,.,4,(,1,),分割,在区间,a,b,内任意插入,n,1,个分点：,a,=,x,0,x,1,x,2,x,i,-,1,x,i,x,n,-,1,x,n,=b,，,把区间,a,b,分成,n,个小区间：,x,0,x,1,，,x,1,x,2,，,，,x,i,-,1,x,i,，,，,x,n,-,1,x,n,.,这些小区间的长度分别记为,x,i,=,x,i,x,i,-,1,(,i,=1,2,n,).,过每一分点作平行于,y,轴的直线，,它们把曲边梯形分成,n,个小曲边梯形,.,根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积,.,a,=x,0,x,1,x,i,-,1,x,n,=,b,O,y=f,(,x,),y,B,A,x,x,i,O,y,B,A,x,5,(,2,),近似代替,在每个小区间,x,i,-,1,x,i,(,i,=1,2,n,),上取一点,x,i,(,x,i,-,1,x,i,x,i,),以,f,(,x,i,),为高，,x,i,为底作小矩形，,用小矩形面积,f,(,x,i,),x,i,近似代替相应的小曲边梯形面积,A,i,，,即,A,i,f,(,x,i,),x,i,(,i,=1,2,n,).,x,1,x,2,x,i,x,n,x,O,y=f,(,x,),y,B,A,a,=x,0,x,1,x,i,-,1,x,n,=,b,x,i,6,(,4,),取极限,当分点个数,n,无限增加，,即,(,3,),求和,把,n,个小矩形面积加起来，,它就是曲边梯形面积的近似值，,即,且小区间长度的最大值,(,即,=max,x,i,),趋近于,0,时，,上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，,7,2,.,变速直线运动的路程,设一物体作直线运动，,已知速度,v,=,v,(,t,),是时间,t,的连续函数，,求在时间间隔,T,1,T,2,上物体所经过的路程,s,.,(,1,),分割,在时间间隔,T,1,T,2,内任意插入,n,-,1,个分点：,T,1,=,t,0,t,1,t,2,t,i,-,1,t,i,t,n,-,1,t,n,=T,2,，,把,T,1,T,2,分成,n,个小区间：,t,0,t,1,，,t,1,t,2,，,，,t,i,-,1,t,i,，,，,t,n,-,1,t,n,.,这些小区间的长度分别为：,t,i,=,t,i,t,i,1,(,i,=1,2,n,).,相应的路程,s,被分为,n,段小路程：,s,i,(,i,=1,2,n,).,8,(,2,),近似代替,在每个小区间上任意取一点,x,i,(,t,i,-,1,x,i,t,i,),用,x,i,点的速度,v,(,x,i,),近似代替物体在小区间上的速度，,用乘积,v,(,x,i,),t,i,近似代替物体在小区间,t,i,-,1,t,i,上所经过的路程,s,i,，,即,s,i,v,(,x,i,),t,i,(,i,=1,2,n,),.,9,(,3,),求和,(,4,),取极限,10,二、定积分的定义,定义,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,上有定义,任意取分点,a,=,x,0,x,1,x,2,x,i,-,1,x,i,x,n,-,1,x,1,x,2,x,i,-,1,x,i,x,n,-,1,x,n,=b,由于,x,i,-,1,x,i,，,x,i,=,x,i,-,x,i,-,1,b,，同样可给出定积分,即可，,16,根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：,(,1,),曲边梯形面积,A,是曲边函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的定积分，,即,(,2,),变速直线运动的路程,s,是速度函数,v,(,x,),在时间间隔,T,1,T,2,上的定积分，,即,17,例,1,用定义计算,解,被积函数,f,(,x,)=e,x,，,在区间,0,1,上连续，,所以,e,-,x,在,0,1,上可积,.,为了计算方便起见，,把区间,0,1,等分成,n,份，,分点为,18,每个子区间的长度都是,在每个子区间,上都取左端点为,x,i,，,于是和式为,19,当,l,=max,x,i,0,+,时，即,n,+,有,于是有,20,A,a,b,B,y,=,f,(,x,),三、定积分的几何意义,当,f,(,x,),0,时，,定积分在几何上表示,曲边,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,上方的曲边梯形面积，,如果,f,(,x,),0,，,曲边梯形在,x,轴下方,，,此时该定积分为负值，,它在几何上表示,x,轴下方的曲边梯形面积是负值，,y,x,O,21,当,f,(,x,),在,a,b,上有正有负时，,x,轴上方的曲边梯形面积减去,x,轴下方的曲边梯形面积,y,x,定积分,y,=,f,(,x,),A,B,a,b,A,1,A,2,A,3,22,
展开阅读全文