工程测量6测量误差的基本知识

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,工程测量,北京科技大学土木学院,晏剑斌,第六章 测量误差的基本知识,6-1,测量误差概述,测量误差,测量结果不可避免地存在误差！,产生,测量误差,的原因,1测量仪器,2观测者,3外界条件,观测条件,等精度观测,非等精度观测,测量错误(粗差),步步有检核,按影响性质分类,1系统误差,2偶然误差,6-1,测量误差概述,系统误差,在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为,系统误差,水准仪的,i,角;,水准尺的零点差；,水准尺的倾斜；,水平角观测中的2,C;,竖直角观测中的,x;,钢尺量距中的尺长误差,;,温度影响；,垂曲；,定线不准；,拉力不准；,处理办法?,1.检校仪器，把系统误差降低到最小程度。,2.加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数。,3.采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。,6-1,测量误差概述,系统误差,偶然误差,在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，这类误差称为,偶然误差,或随机误差。,就单个偶然误差而言，其大小和符号都没有规律性，呈现出随机性，但就其总体而言却呈现出一定的,统计规律性,而且,随着观测次数的增加,偶然误差的统计规律愈加明显。,例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差,(,=,三角形内角测量值,-180,）,其结果如表5-1，图5-1,分析三角形内角和的误差,i,的规律。,6-1,测量误差概述,偶然误差,表,6-1,偶然误差的统计,误差区间 负误差 正误差 总数,K K/n K K/n K K/n,03 450.126 46 0.128 91 0.254,36 400.112 41 0.115 81 0.226,69 330.092 33 0.092 66 0.184,912 230.064 21 0.059 44 0.123,1215 170.047 16 0.045 33 0.092,1518130.036 13 0.036 26 0.073,1821 60.017 5 0.014 11 0.031,2124 40.011 2 0.006 6 0.017,24,以上 0 0 0 0 0 0,181 0.505 177 0.495 358 1.000,5-1 测量误差概述,偶然误差,偶然误差的统计特征,1.,有限性,：在有限次观测中，偶然误差小于一定的限值。,2.,渐降性,：误差小的出现的概率大,3.,对称性,：绝对值相等的正负误差出现的概率相等,4.,抵偿性,：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均值趋于零。,5-1 测量误差概述,偶然误差,7,-24-21-18-15-12-9-6-3 0 +3+6+9+12+15+18+21+24,X=,K/,n,频率直方图,5-1 测量误差概述,偶然误差,当,n,，,0,时，频率直方图上部的折线变成了一条光滑的曲线，称为,正态分布密度曲线,或,高斯曲线,高斯根据偶然误差的四个特性推导出该曲线的方程式为：,式中,为与观测条件有关的参数,6-2,评定精度的标准,怎样来衡量,一组等精度观测值的,精度？,频率直方图,能否用一个简单的数字来反映误差分布情况？,平均误差,方差,标准偏差（中误差）,当,n,有限时，所求均为估值，测量中常用,m,来表示,的估值，并称之为,中误差,6-2,评定精度的标准,按观测值的真误差计算中误差,次序,第一组观测,第二组观测,观测值,l,2,观测值,l,2,1,1800003,+3,9,1800000,0,0,2,1800002,+2,4,1795959,-1,1,3,1795958,-2,4,1800007,+7,49,4,1795956,-4,16,1800002,+2,4,5,1800001,+1,1,1800001,+1,1,6,1800000,0,0,1795959,-1,1,7,1800004,+4,16,1795952,-8,64,8,1795957,-3,9,1800000,0,0,9,1795958,-2,4,1795957,-3,9,10,1800003,+3,9,1800001,+1,1,|,24,72,24,130,6-2,评定精度的标准,6-2,评定精度的标准,中误差,相对误差,例：用钢卷尺丈量200,m,和40,m,两段距离，量距的中误差都是2,cm，,但不能认为两者的精度是相同的,为此，可用观测值的中误差与观测值之比的形式（称为“,相对误差,”）来描述观测的质量，,K=|m|/D 1(D/|m|),前者的相对中误差为,K1=0.02200 110000,后者则为,K2=0.0240 l2000,6-2,评定精度的标准,中误差,相对误差,极限误差,在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就是,极限误差,限,=3,3m,偶然误差的容许值:,|,容,|=2,2,m,6-3,误差传播定理,未知量不可能直接观测，但是一些直接观测量的函数，怎样计算,观测值函数的中误差,？,和差函数的中误差,设有：,Z=XY,则有：,Z,=,X,Y,设想对,X,Y,都进行了,n,次观测，则有：,平方求和得：,Z,2,=,X,2,2,X,Y,+,Y,2,即：,m,Z,2,=m,X,2,+m,Y,2,=,若有：,Z=X1,X2,Xn,则：,m,Z,2,=m,X1,2,+m,X2,2,+m,Xn,2,6-3,误差传播定理,和差函数的中误差,例1：水准测量时，一站的高差为,h=a-b,m,h,2,=m,a,2,+m,b,2,设,m,a,=m,a,=1mm,则:,m,h,=1.4mm,两次高差之差（变仪器高或双面尺法）,=h,1,-h,2,则:,m,2,=m,h1,2,+m,h2,2,m,=2mm,。,综合取,m,=3mm,限,=2,m,=6mm,例2：求闭合水准测量路线的闭合差,f,h,容,h=h,1,+h,2,+h,n,则：,m,h,2,=m,h1,2,+m,h2,2,+m,hn,2,设每一测站的观测条件相同，测站中误差为,m=6mm,则：,m,h,2,=nm,2,;,6-3,误差传播定理,和差函数的中误差,倍数函数的中误差,设有：,Z=kX,则有：,Z,=k,X,即：,m,Z,2,=k,2,m,X,2,m,Z,=km,X,n,n,X,k,Z,X,k,Z,X,k,Z,D,=,D,D,=,D,D,=,D,L,2,2,1,1,6-3,误差传播定理,和差函数的中误差,倍数函数的中误差,线性函数的中误差,设有：,Z=k,1,X,1,k,2,X,2,k,n,X,n,则有,：,m,Z,2,=k,1,2,m,X1,2,+k,2,2,m,X2,2,+k,n,2,m,Xn,2,例3：距离丈量，独立的进行了,n,次，一次丈量的中误差为,m，,求算术平均值的中误差,M,6-3,误差传播定理,一般函数的中误差,设有：,Z=F(x,1,，,x,2,，,x,n,）,6-3,误差传播定理,一般函数的中误差,例4：测距三角高程,h=S,sinV，S=1000m,5mm,V=10,30”,求高差,h,的中误差,m,h,S,v,h,D,解：,h=SsinV,则有,dh=sinVdS+ScosVdV,=12.0,mm,6-4,等精度直接观测值的最可靠值,设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为,X，,其观测值分别为,l,1,，l,2,，l,n,，,相应的真误差为,1,，,2,，,n,，,则,根据偶然误差的第四特征，有,当,n,有限时，通常取算术平均值作为等精度观测值的最可靠值,6-4,等精度直接观测值的最可靠值,算术平均值,结论：一组等精度观测值的改正数之和一定为零，即,v=0,观测值的改正数,我们把算术平均值与观测值之差，定义观测值的,改正数,v,i,=L-l,i,6-4,等精度直接观测值的最可靠值,算术平均值,观测值的改正数,用观测值的改正数来计算观测值的中误差,i,=l,i,-X,v,i,=L-l,i,i,+v,i,=L-X,=,i,=(L-X)-v,i,平方后求和得,：,=,n(L-X),2,-2(L-X)v+vv,6-4,等精度直接观测值的最可靠值,次序,观测值,l,改正数,v,vv,1,123.457,-5,25,2,123.450,+2,4,3,123.453,-1,1,4,123.449,+3,9,5,123.451,+1,1,L=123.452,0,40,6-5,权,权的概念,现有三组观测值，均为等精度观测,A,组：123.34,123.39,123.35；,L,A,=123.360,B,组：123.31,123.30,123.39,123.32;,L,B,=,123.333,C,组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32;,L,C,=123.356,6-5,权,权的概念,显然有：,观测值,L,A,L,B,L,C,的权分别为,p,A,p,B,p,C,权只有相对意义,6-5,权,权的概念,权与中误差的关系,设每次丈量的中误差为,m，,则可以用误差传播定理求出每组平均值的中误差,同理：,权与中误差的平方成反比!,把权等于1的中误差叫,单位权中误差,常用,m,0,或,来表示,5-5 权,权的概念,权与中误差的关系,加权算术平均值及其中误差,设对某一未知量进行了,n,次非等精度观测,观测值为,l,1,l,2,l,n,其相应的权为,p,1,p,2,p,n,则该未知量的最可靠值便是该观测值的,加权算术平均值,本章作业,教材第,103,页,思考题,3,、,7,题,习题,1,、,3,题,