一元二次方程的解法.2一元二次方程的解法

17.2 一元二次方程的解法1.配方法学习目标1 .学会用直接开平方法解形如(x+m)2 = n(n0)的一元二次方程；(重点)2 .理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程.(难点)教学过程一、情境导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h=5x2,问石头经过多长时间落到地面？二、合作探究探究点一：用直接开平方法解一元二次方程用直接开平方法解下列方程：(1)x2-16=0; (2)3x227=0;(3)(x 2)2=9; (4)(2y3)2=16.解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解.注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况.解：(1)移项，得x2= 16.根据平方根的定义，得 x= =!4,即x1 = 4, x2=4;(2)移项，得3x2= 27.两边同时除以3,得x2= 9.根据平方根的定义， 得x=不，即x1= 3, x2= - 3；(3)根据平方根的定义，得x- 2=去，即x2=3或x2 = 3,即x1=5, x?= 1 ;71(4)根据平万根的定义，得2y 3=%，即2y3= 4或2y3= 4,即 为=万，、2= 一 3方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：x2=a(a0)；(x+a)2 = b(b0)；(ax+b)2= c(c0)；(ax+ b)2= (cx+d)2(|a|w |c|).变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8题探究点二：用配方法解一元二次方程类型用配方法解一元二次方程须用配方法解下列方程：(1)x2 2x35=0;(2)3x2+8x3=0.解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x+m)2=n(n0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1,再用配方法解方程.解：(1)移项，得 x2- 2x= 35.配方，得 x2-2x+12=35+12,即(x 1)2 = 36.直接开平方, 得x1 = d6.所以原方程的根是 x1=7, x2=5;(2)方程两边同时除以3,得x2 + 8x1 = 0.移项，得x2+fx= 1.配方，得x2 + 1x+ (4)2=133334 2 4 25 2451+ (4)2,即(*+ 3)2=(5)2.直接开平方，得x+ 4=专.所以原方程的根是 x1=3, x2=- 3.方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 9题类型二利用配方法求代数式的值酶 已知 a2-3a+b2-|+316=0,求 a 47b的值.解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式,得到这两个数都为 0,从而可求出a, b的值，再代入代数式计算即可.解：原等式可以写成：(a-|)2+(b-4)2=0.a-| = 0, b-4= 0,解得 a=2，b = 4.3-4=|-4XA1=-|.方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为 两个数的平方和等于 0的形式是解题的关键.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 11题类型三利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围画R请用配方法说明：不论x取何值，代数式x25x+7的值恒为正.解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式.解：. x2-5x+7 = x2- 5x+ (|)2+7-(|)2= (x-1)2+ 4,而(x-5)20,.(x-5)2+32)4 4.代数式x2- 5x+ 7的值恒为正.方法总结：对于代数式是一个关于 x的二次式且含有一次项， 在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，就可以求出原代数式的最值.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第10题2.公式法学习目标1 .理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点)2 .会用公式法解一元二次方程；(重点)教学过程一、情境导入如果一元二次方程是一般形式ax2+ bx + c= 0(a w 0),你能否用配方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.问题：已知ax2+bx+ c= 0(aw 0)且b2 4ac 0,试推导它白两个根 xi = 1b+b一*,2a_ b _ b _ 4acx2=2a .二、合作探究探究点一：一元二次方程的求根公式Ml方程3x2-8=7x化为一般形式是 ,其中a=, b=, c=,方程的根为.7/T45解析：将方程移项化为 3x27x8=0.其中a=3, b=- 7, c= 8.因为b24ac=49 4X 3X (8) = 1450,代入求根公式可得 x=6.故答案为3x2 7x 8= 0, 3, 7,7 士 1458, x=F方法总结：一元二次方程ax2 + bx+c=0(aw0)的根是由方程的系数 a, b, c确定的，只要确定了系数a, b, c的值，代入公式就可求得方程的根.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 4题探究点二：用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)-3x2-5x+2 = 0;(2)2x2+3x+3=0;3x212x+ 3 = 0.解：(1)将一3x25x+ 2=0 两边同乘以一1 得 3x2+5x2= 0a=3, b= 5, c=-2,2X 3b24ac=524X 3X(2) = 490, . x=(2)a=2, b = 3, c= 3, . b24ac= 324 x 2 x 3= 924= 15v 0, .原方程没有实 数根；.2 = 3, b=- 12, c=3,b2 4ac=(12)24X 3X3=108,x= 12 打 108 =2X3传土产,郃,./=2+/，x2=2-73.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a, b, c的值，再求出b24ac的值与0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根).变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 6题3.因式分解法学习目标1 .理解并掌握用因式分解法解方程的依据；(难点)2 .会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(重点)教学过程一、情境导入我们知道ab=0,那么a=0或b = 0,类似的解方程(x+ 1)(x1)= 0时，可转化为两个 一元一次方程 x+1=0或x1 = 0来解，你能求(x+ 3)(x- 5)=0的解吗？二、合作探究探究点：用因式分解法解一元二次方程类型利用提公因式法分解因式解一元二次方程n用因式分解法解下列方程： 2 .(1)x +5x= 0;(2)(x-5)(x-6) = x-5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的多项式，可用因式分解法.解：(1)原方程转化为x(x+5)=0,所以x=0或x+5= 0,所以原方程的解为 xi=0, X2=5;(2)原方程转化为(x-5)(x-6)-(x-5)=0,所以(x-5)(x-6)-1=0,所以(x-5)(x-7)=0,所以 x5=0 或 x 7=0,所以原方程的解为 xi=5, x2=7.方法总结：利用提公因式法时先将方程右边化为0,观察是否有公因式，若有公因式，就能快速分解因式求解.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2题类型二利用公式法分解因式解一元二次方程画用公式法分解因式解下列方程：2(1)x 6x= 9;(2)4(x3)225(x 2)2 = 0.解：(1)原方程可变形为x2- 6x+ 9=0,则(x3)2=0,.x-3=0,原方程的解为xi=x2 = 3；(2)2(x-3)2-5(x-2)2 = 0,2(x 3) + 5(x- 2)2( x-3)-5(x- 2) = 0,(7x- 16)(-3x+ 4)=0, .7x16=0 或3x+ 4=0,原方程的解为x1 = , x2=g. 73方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：将方程的右边化为 0;将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第7题(4)小题第5页共5页