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针对演练,典例精析,题型八 二次函数综合题,类型五 平行四边形、菱形、正方形的存在性问题,第二部分 攻克题型得高分,题型八 二次函数综合题类型五 平行四边形、菱,例,如图，,抛物线经过,A,(-5,0),，,B,(-1,0),，,C,(0,5),三点，顶点为,M,，连接,AC,，抛物线的对称轴为,l,，,l,与,x,轴交点为,D,，与,AC,的交点为,E,.,（,1,）求抛物线的解析式、顶点坐标以及对称轴,l,；,(1)【,思维教练,】,典例精析,典例精析,解：由由拋物线过,A,(,5,，,0),，,B,(,1,，,0),可知，其对称,轴,l,为,x,3,，设抛物线解析式为,y,a,(,x,3),2,h,，分别,将,A,(,5,，,0),，,C,(0,，,5),代入上式,可得 ， 解得,抛物线解析式为,y,(,x,3),2,4,x,2,6x,5,，,顶点坐标为,(,3,，,4),解：由由拋物线过A(5，0)，B(1，0)可知，其对称,（,2,）设点,P,是直线,l,上一点，且,PM,CO,，求点,P,的坐标；,(2)【,思维教练,】,例题图,（2）设点P是直线l上一点，且PMCO，求点P的坐标； (,解：点,C,(0,，,5),，,CO,5,，,设点,P,的坐标为,(-3,，,p,),，,如解图，当点,P,在,M,点上方，,则,PM,p,(-4),5,，解得,p,1,，,此时点,P,的坐标为,(-3,，,1),；,当点,P,在,M,点下方，,则,PM,-4,p,5,，,解得,p,-9,，此时点,P,的坐标为,(-3,，,-9),综上，这样的点,P,有两个，坐标分别为,(-3,，,1),、,(-3,，,-9),；,例题解图,解：点C(0，5)，CO5，例题解图,（,3,）设点,G,是抛物线上一点，过点,G,作,GH,l,于点,H,，是否存在点,G,，使得以,A,、,B,、,G,、,H,为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出点,G,的坐标，若不存在，请说明理由,;,(3)【,思维教练,】,若要以点,A,、,B,、,G,、,H,构成的四边形为平行四边形，由图可得点,G,只能位于,x,轴以上部分的抛物线上，在对称轴两侧，会存在对称的两点，然后根据对边相等求解,（3）设点G是抛物线上一点，过点G作GHl于点H，是否存在,解：存在如解图，,点,G,在抛物线上，则设点,G,的坐标为,(,g,，,g,2,6,g,5),，,GH,x,轴，点,H,在直线,l,：,x,-3,上，,点,H,(-3,，,g,2,6,g,5),GH,AB,，要得到平行四边形，,GH,AB,4,，,即,|,g,3|,4,，解得,g,1,或,g,-7,，,当,g,1,时，,g,2,6,g,5,12,，此时点,G,的坐标为,(1,，,12),；,当,g,-7,时，,g,2,6,g,5,12,，此时点,G,的坐标为,(-7,，,12),综上，这样的点,G,有两个，坐标分别为,(1,，,12),、,(-7,，,12),例题解图,解：存在如解图，例题解图,（,4,）设,K,是抛物线上一点,过,K,作,KJ,y,轴,交直线,AC,于点,J,是否存在点,K,使得以,M,、,E,、,K,、,J,为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点,K,的坐标,;,若不存在,请说明理由；,(4)【,思维教练,】,（4）设K是抛物线上一点,过K作KJy轴,交直线AC于点J,解：存在，如解图，设点,K,的坐标为,(,e,，,e,2,6,e,5),，,KJ,y,轴，交直线,AC,于点,J,，直线,AC,的解析式为,y,x,5,，,设点,J,的坐标为,(,e,，,e,5),M,(-3,，,-4),，,E,(-3,，,2),，,ME,6.,ME,y,轴，,KJ,y,轴，,KJ,ME,，,要得到平行四边形，只需,KJ,ME,6.,(),当点,K,在点,J,的下方时，,KJ,(,e,5),(,e,2,6,e,5),-,e,2,5,e,，,则,-,e,2,5,e,6,，解得,e,1,-2,，,e,2,-3,，,例题解图,解：存在，如解图，设点K的坐标为(e，e26e5)，,则,K,1,(-2,，,-3),或,K,2,(-3,，,-4),，,由于,K,2,(-3,，,-4),与点,M,重合，此时不能构成平行四边形，故舍去；,(),当点,K,在点,J,的上方时，,KJ,(,e,2,6,e,5),(,e,5),e,2,5,e,，,则,e,2,5,e,6,，解得,e,3,-6,，,e,4,1,，,则,K,3,(-6,，,5),、,k,4,(1,，,12),综上，这样的点,K,有三个，坐标分别为,(-2,，,-3),、,(-6,，,5),或,(1,，,12),则K1(-2，-3)或K2(-3，-4)，,（,5,）设点,N,是抛物线上一点,过点,N,作,NS,AC,交,x,轴于点,S,是否存在点,N,使得以,A,、,E,、,N,、,S,为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出点,N,的坐标,;,若不存在,请说明理由；,(5)【,思维教练,】,（5）设点N是抛物线上一点,过点N作NSAC,交x轴于点S,解：如解图，过点,N,作,NT,x,轴，交,x,轴于点,T,，,NS,AE,，,NST,EAD,，,NT,x,轴，,ED,x,轴，,NTS,EDA,90,，,NS,AE,，要以点,A,、,E,、,N,、,S,为顶点的,四边形是平行四边形，则,NS,AE,，,SNT,AED,，,NT,ED,2.,设点,N,的坐标为,(,n,，,n,2,6,n,5),，,当点,N,在,x,轴上方，则,NT,n,2,6,n,5,2,，,例题解图,解：如解图，过点N作NTx轴，交x轴于点T，例题解图,解得,n,1,-,3,，,n,2, ,3,，,此时点,N,的坐标为,N,1,(-,3,，,2),或,N,2,(,3,，,2),；,当点,N,在,x,轴下方，则,NT,-,n,2,6,n,5,2,，,解得,n,3,-3, ，,n,4,-3, ，,此时点,N,的坐标为,N,3,(-3, ，,-2),或,N,4,(-3, ，,-2),综上，这样的点,N,有,4,个，分别为：,(-,3,，,2),，,(,3,，,2),，,(-3, ，,-2),或,(-3, ，,-2),解得n1- 3，n2 3，,（,6,）设点,Q,是抛物线上一点,点,R,是任意一点,是否存在点,Q,，使得四边形,AQCR,是菱形,若存在,求出点,Q,的坐标；若不存在,请说明理由,.,(6)【,思维教练,】,（6）设点Q是抛物线上一点,点R是任意一点,是否存在点Q，使,解：存在如解图，过点,O,作,OI,AC,交,AC,于点,I,. ,OA,OC,5,，,AI,CI,，,OI,是,AC,的垂直平分线，,四边形,AQCR,是菱形，,点,Q,、,R,在,AC,的垂直平分线上，,点,Q,是直线,OI,与抛物线的交点,过点,I,作,II,x,轴于点,I,，则,II,是,AOC,的中位线，,II,OC, ，,I,O,AO, ，,点,I,的坐标为,(-,，,),，,例题解图,解：存在如解图，过点O作OIAC交AC于点I. OA,设直线,OI,的解析式为,y,tx,，将点,I,的坐标代入，可得,t,-1,，,直线,OI,的解析式为,y,-,x,，,与抛物线联立得 ，解得 ， ，,这样的,Q,有两个，坐标分别为,(,，,),；,(,，,),设直线OI的解析式为ytx，将点I的坐标代入，可得t-1,
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