2721_相似三角形的判定(3)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,年轻的生命，如初升的旭日。愿充满朝气的你们，拥有灿烂的明天！,27.2,相似三角形的判定角角（,2,）,相似三角形判定方法,1,、,(,定义,),三组对应边的比相等且对应角相等；,3,、（判定定理,1,）三组对应边的比相等的两个三角形相似。,2,、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边,(,或两边的延长线,),相交，所构成的三角形与原三角形相似。,4,、（判定定理,2,）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。,D,B,A,C,E,（,2,）,DEBCADEABC,判定三角形相似的方法,知识回顾,A,C,B,E,D,F,（,1,）,A=D,B=E,C=F,ABCDEF,（,3,）,ABCDEF,（,4,）,A=D,ABCDEF,问题引入：,观察两副三角尺，其中同样角度（,30,与,60,，或,45,与,45,）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？,求证：,ABC,ABC,已知：在,ABC,和,A,B,C,中,A=A,B=B,A,C,B,B,A,C,A=A,，,B=B,ABC ABC,用数学符号表示：,判定定理,3,：,如果一个三角形的,两个角,与另一个三角形的,两个角,对应相等,，那么这两个三角形,相似,。,两角,对应,相等,，两三角形,相似,。,A,C,B,B,A,C,相似三角形判定方法,1,、,(,定义,),三组对应边的比相等且对应角相等；,3,、（判定定理,1,）三组对应边的比相等的两个三角形相似。,2,、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边,(,或两边的延长线,),相交，所构成的三角形与原三角形相似。,4,、（判定定理,2,）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。,5,、（判定定理,3,）两角对应相等的两个三角形相似。,A,B,C,A,B,C,基础演练,1,、下列图形中两个三角形是否相似？,A,B,C,D,E,A,B,C,A,C,B,A,B,C,D,E,(1),(2),(3),(4),2,、根据下列条件,判断,ABC,和,A,B,C,是否相似,并说明理由,:,(1)A=35,AB=12cm,AC=15cm,A,=35,A,B,=36cm,A,C,=45cm,(2)AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm,A,B,=20cm,B,C,=25cm,A,C,=40cm.,(3)A=105,B=15,;A,=105,B,=15,基础演练,B,=60,如图,弦,AB,和,CD,相交于,O,内一点,P,求证,:PA PB=PCPD,O,D,P,C,B,A,变式：如果,弦,AB,和,CD,相交于圆,O,外一点,P,，结论还成立吗？,变式：上题中，重合为一点时，又会有什么结论？,O,O,1,、已知如图直线,BE,、,DC,交于,A,，,E=C,求证：,DA,AC=AB,AE,D,E,A,B,C,证明：,E=C DAE=BAC,ABC ADE,AC:AE=AB:AD,DA AC=AB AE,练习,1,平行线判定三角形相似,平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角,形与原三角形,_,相似,其基本图形有以下两种，如图,(,A,型和,X,型,),：,图,27-2-2,用,符号语言表示为：,DE,BC,，,ADE,ABC,.,判定一般三角形相似的方法,三边成比例,2._,的两个三角形相似,夹角相等,3._,且,_,的两个三角形相似,4._,的两个三角形相似,两边成比例,两角分别相等,判定特殊三角形相似的方法,1,.,判定直角三角形相似的方法,：,一个锐角对应相等,两直角边对应成比例,斜边和一组直角边对应成比例,2,判定等腰三角形相似的方法,：,顶,角相等,一对底角相等,底和腰对应成比例,1,如图,在正方形,ABCD,中，,E,是,AD,的中点，,BM,CE,，,AB,6,，求,BM,的长,解：,由正方形的性质，得,BC,AD,AB,6,，,D,BCD,90.,DEC,MCE,.,又,BM,CE,，,BMC,90.,即,BMC,CDE,.,知识点,3,相似三角形的判定和性质与其他知识的,综合运用,2.,如图,，,在直角梯形,ABCD,中，,AB,7,，,AD,2,，,BC,3,，如果边,AB,上的点,P,使得,P,，,A,，,D,为顶点的三角,形和以,P,，,B,，,C,为顶点的三角形相似，求,AP,的长,思路点拨：,因为,A,B,90,，点,P,是,AB,边上的动点，,则以,P,，,A,，,D,为顶点的三角形和以,P,，,B,，,C,为顶点的三角形,相似的有两种可能性：,运用相似三角形对应边成比例建立方程可求,线段的长，求线段长的关键是找准对应顶点，对应边本题中,A,B,90,，构成的两直角三角形相似有两种可能，本题的,易错点是：只考虑了这两种情况中的一种对应情况,3,、判断题：,所有的直角三角形都相似,.,（）,所有的等边三角形都相似,.,（）,所有的等腰直角三角形都相似,.,（）,有一个角相等的两等腰三角形相似,.,（）,顶角相等,底角相等,顶角与底角相等,B,C,A,A,B,C,第一种情况,ABC ABC,顶角相等,B,C,A,A,B,C,第二种情况,ABC ABC,底角相等,第三种情况,A,B,C,A,B,C,两三角形不相似,顶角与底角相等,4,、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。,A,D,B,C,已知：在,RtABC,中，,CD,是斜边,AB,上的高。,此结论可以称为,“,母子相似定理,”,今后可以直接使用,.,求证：,ABC,ACD,CBD,结论：,ACDCBD CD,2,=AD DB,ACD ABC AC,2,=AD AB,BCD ABC BC,2,=BD AB,思考题,A,B,C,D,E,1,5.,已知,DE BC,且,1=B,，则图中共有,对相似三角形。,DEBC,ADEABC,1=B,，,A=A,ACDABC,ADE ACD,DEBC,EDC=DCB,，,又,1=B,DECCDB,4,D,B,C,A,6,、如图：在,Rt ABC,中，,ABC=90,0,，,BDAC,于,D,若,AB=6 AD=2,则,AC=,BD=,BC=,18,4 2,122,7.,如图直线,BE,、,DC,交于,A,ADAC=AEBA,，,求证：,E=C,E,D,B,C,A,A,B,C,E,D,将,DAE,绕,A,点旋转,如何证明,DEA,C,？,E,A,B,D,C,解：,A=A ABD=C,ABD ACB,AB:AC=AD:AB,AB,2,=AD AC,AD=2 AC=8,AB=4,8.,已知如图，,ABD=C AD=2,，,AC=8,，求,AB,A,B,C,D,A,B,D,C,A,B,D,C,9,、如图：在,Rt ABC,中，,ABC=90,0,，,BDAC,于,D,问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？,解：图中有三个直角三角形，分别是：,ABC,、,ADB,、,BDC,ABC ADB BDC,11,.,ABC,为锐角三角形，,BD,、,CE,为高,.,求证：,ADE ABC,.,证明：,BDAC,，,CEAB,ABD+A=90,，,ACE+A=90,ABD=ACE,又,A=A,ABD ACE,A=A,ADE ABC,12,、,已知：如图，,BD,、,CE,是,ABC,的高，,请找出图中所有的相似三角形并说明理由。,A,B,C,D,E,13.,如图，四边形,ABCD,是矩形，点,F,在对角线,AC,上运动，,EF,/,BC,、,FG,/,CD,，四边形,AEFG,和矩形,ABCD,一直保持相似吗？证明你的结论？,证明：,四边形,ABCD,与四边形,AEFG,都是矩形,A,A,AGF,ADC,GFE,DCB,AEF,B,又,EF,/,BC,AEF,ABC,FG,/,DC,矩形,ABCD,矩形,AEFG,A,B,C,D,E,F,G,14.,如图，,ABC,中，,AB,8,，,AC,6,，,BC,9,，如果动点,D,以每秒,2,个单位长的速度，从点,B,出发沿,AB,方向向点,A,运动，直线,DE,/,BE,，记,x,秒时这条直线在,ABC,内部的长度为,y,，写出,y,关于,x,的函数关系式，并画出它的图象,解：,DE,/,BC,ADE,ABC,又,AD,8,2,x,（,0,x,4,）,A,B,C,D,E,y,x,y,O,2,2,2,4,6,4,4,8,2,4,9,相似三角形判定方法,1,、,(,定义,),三组对应边的比相等且对应角相等；,3,、（判定定理,1,）三组对应边的比相等的两个三角形相似。,2,、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边,(,或两边的延长线,),相交，所构成的三角形与原三角形相似。,4,、（判定定理,2,）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。,5,、（判定定理,3,）两角对应相等的两个三角形相似。,1.,已知：如图，,ABC,中，,P,是,AB,边上的一点，连结,CP,满足什么条件时,ACPABC,解,:A=A,，当,1=ACB,（或,2=B,）时，,ACPABC,A=A,，当,AC:AP,AB:AC,时，,ACPABC,A=A,，,当,4,ACB,180,时，,ACPABC,答：当,1=ACB,或,2=B,或,AC:AP,AB:AC,或,4,ACB,180,时,ACPABC.,A,P,B,C,1,2,4,1,、条件探索型,三、探索题,2.,如图：已知,ABC,CDB,90,，,AC,a,，,BC=b,，当,BD,与,a,、,b,之间满足怎样的关系式时，两三角形相似,D,A,B,C,a,b,解,:,1,D,90,当 时，即当 时，,ABC CDB,1,D,90,当 时，即当 时，,ABC BDC,，,答：略,.,这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件,解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件,这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件,解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件,1.,将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来,.,C,解：有相似三角形，它们是：,ADE BAE,BAE CDA,，,ADE CDA,（,ADE BAE CDA,）,2,、结论探索型,A,B,D,E,G,F,2,2.,在,ABC,中，,ABAC,，过,AB,上一点,D,作直线,DE,交另一边于,E,，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形,.,E,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,E,E,E,这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论,解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明,.,3,、存在探索型,如图,DE,是,ABC,的中位线，在射线,AF,上是否存在点,M,，使,MEC,与,ADE,相似,若存在,请先确定点,M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由,.,A,D,B,C,E,F,证明：连结,MC,，,DE,是,ABC,的中位线，,DEBC,，,AE,EC,，,MEAC,AM,CM,，,1=2,，,B=90,，,4,B=90,，,AF BC,，,AM DE,1=2,，,3=2,ADE,MEC=90,，,ADE MEC,A,D,B,C,E,F,1,2,3,M,解,:,存在,.,过点,E,作,AC,的垂线,与,AF,交于一点,即,M,点,(,或作,MCA=AED).,4,例题欣赏：,如图,C,是线段,BD,上的一点，,ABBD.EDBD.ACEC,求证：,ABCCDE,E,A,1,B,C,D,2,证明：,ABBD,、,EDBD,ABC=CDE=90,1+A=90,ACEC,1+2=90,A=2,ABCCDE,例题欣赏：,如图,C,是线段,