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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,年轻的生命,如初升的旭日。愿充满朝气的你们,拥有灿烂的明天!,27.2,相似三角形的判定角角(,2,),相似三角形判定方法,1,、,(,定义,),三组对应边的比相等且对应角相等;,3,、(判定定理,1,)三组对应边的比相等的两个三角形相似。,2,、(平行)平行于三角形一边的直线与其他两边,(,或两边的延长线,),相交,所构成的三角形与原三角形相似。,4,、(判定定理,2,)两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。,D,B,A,C,E,(,2,),DEBCADEABC,判定三角形相似的方法,知识回顾,A,C,B,E,D,F,(,1,),A=D,B=E,C=F,ABCDEF,(,3,),ABCDEF,(,4,),A=D,ABCDEF,问题引入:,观察两副三角尺,其中同样角度(,30,与,60,,或,45,与,45,)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的。一般地,如果两个三角形有两组对应角相等,它们一定相似吗?,求证:,ABC,ABC,已知:在,ABC,和,A,B,C,中,A=A,B=B,A,C,B,B,A,C,A=A,,,B=B,ABC ABC,用数学符号表示:,判定定理,3,:,如果一个三角形的,两个角,与另一个三角形的,两个角,对应相等,,那么这两个三角形,相似,。,两角,对应,相等,,两三角形,相似,。,A,C,B,B,A,C,相似三角形判定方法,1,、,(,定义,),三组对应边的比相等且对应角相等;,3,、(判定定理,1,)三组对应边的比相等的两个三角形相似。,2,、(平行)平行于三角形一边的直线与其他两边,(,或两边的延长线,),相交,所构成的三角形与原三角形相似。,4,、(判定定理,2,)两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。,5,、(判定定理,3,)两角对应相等的两个三角形相似。,A,B,C,A,B,C,基础演练,1,、下列图形中两个三角形是否相似?,A,B,C,D,E,A,B,C,A,C,B,A,B,C,D,E,(1),(2),(3),(4),2,、根据下列条件,判断,ABC,和,A,B,C,是否相似,并说明理由,:,(1)A=35,AB=12cm,AC=15cm,A,=35,A,B,=36cm,A,C,=45cm,(2)AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm,A,B,=20cm,B,C,=25cm,A,C,=40cm.,(3)A=105,B=15,;A,=105,B,=15,基础演练,B,=60,如图,弦,AB,和,CD,相交于,O,内一点,P,求证,:PA PB=PCPD,O,D,P,C,B,A,变式:如果,弦,AB,和,CD,相交于圆,O,外一点,P,,结论还成立吗?,变式:上题中,重合为一点时,又会有什么结论?,O,O,1,、已知如图直线,BE,、,DC,交于,A,,,E=C,求证:,DA,AC=AB,AE,D,E,A,B,C,证明:,E=C DAE=BAC,ABC ADE,AC:AE=AB:AD,DA AC=AB AE,练习,1,平行线判定三角形相似,平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角,形与原三角形,_,相似,其基本图形有以下两种,如图,(,A,型和,X,型,),:,图,27-2-2,用,符号语言表示为:,DE,BC,,,ADE,ABC,.,判定一般三角形相似的方法,三边成比例,2._,的两个三角形相似,夹角相等,3._,且,_,的两个三角形相似,4._,的两个三角形相似,两边成比例,两角分别相等,判定特殊三角形相似的方法,1,.,判定直角三角形相似的方法,:,一个锐角对应相等,两直角边对应成比例,斜边和一组直角边对应成比例,2,判定等腰三角形相似的方法,:,顶,角相等,一对底角相等,底和腰对应成比例,1,如图,在正方形,ABCD,中,,E,是,AD,的中点,,BM,CE,,,AB,6,,求,BM,的长,解:,由正方形的性质,得,BC,AD,AB,6,,,D,BCD,90.,DEC,MCE,.,又,BM,CE,,,BMC,90.,即,BMC,CDE,.,知识点,3,相似三角形的判定和性质与其他知识的,综合运用,2.,如图,,,在直角梯形,ABCD,中,,AB,7,,,AD,2,,,BC,3,,如果边,AB,上的点,P,使得,P,,,A,,,D,为顶点的三角,形和以,P,,,B,,,C,为顶点的三角形相似,求,AP,的长,思路点拨:,因为,A,B,90,,点,P,是,AB,边上的动点,,则以,P,,,A,,,D,为顶点的三角形和以,P,,,B,,,C,为顶点的三角形,相似的有两种可能性:,运用相似三角形对应边成比例建立方程可求,线段的长,求线段长的关键是找准对应顶点,对应边本题中,A,B,90,,构成的两直角三角形相似有两种可能,本题的,易错点是:只考虑了这两种情况中的一种对应情况,3,、判断题:,所有的直角三角形都相似,.,(),所有的等边三角形都相似,.,(),所有的等腰直角三角形都相似,.,(),有一个角相等的两等腰三角形相似,.,(),顶角相等,底角相等,顶角与底角相等,B,C,A,A,B,C,第一种情况,ABC ABC,顶角相等,B,C,A,A,B,C,第二种情况,ABC ABC,底角相等,第三种情况,A,B,C,A,B,C,两三角形不相似,顶角与底角相等,4,、求证:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。,A,D,B,C,已知:在,RtABC,中,,CD,是斜边,AB,上的高。,此结论可以称为,“,母子相似定理,”,今后可以直接使用,.,求证:,ABC,ACD,CBD,结论:,ACDCBD CD,2,=AD DB,ACD ABC AC,2,=AD AB,BCD ABC BC,2,=BD AB,思考题,A,B,C,D,E,1,5.,已知,DE BC,且,1=B,,则图中共有,对相似三角形。,DEBC,ADEABC,1=B,,,A=A,ACDABC,ADE ACD,DEBC,EDC=DCB,,,又,1=B,DECCDB,4,D,B,C,A,6,、如图:在,Rt ABC,中,,ABC=90,0,,,BDAC,于,D,若,AB=6 AD=2,则,AC=,BD=,BC=,18,4 2,122,7.,如图直线,BE,、,DC,交于,A,ADAC=AEBA,,,求证:,E=C,E,D,B,C,A,A,B,C,E,D,将,DAE,绕,A,点旋转,如何证明,DEA,C,?,E,A,B,D,C,解:,A=A ABD=C,ABD ACB,AB:AC=AD:AB,AB,2,=AD AC,AD=2 AC=8,AB=4,8.,已知如图,,ABD=C AD=2,,,AC=8,,求,AB,A,B,C,D,A,B,D,C,A,B,D,C,9,、如图:在,Rt ABC,中,,ABC=90,0,,,BDAC,于,D,问:图中有几个直角三角形?它们相似吗?为什么?,解:图中有三个直角三角形,分别是:,ABC,、,ADB,、,BDC,ABC ADB BDC,11,.,ABC,为锐角三角形,,BD,、,CE,为高,.,求证:,ADE ABC,.,证明:,BDAC,,,CEAB,ABD+A=90,,,ACE+A=90,ABD=ACE,又,A=A,ABD ACE,A=A,ADE ABC,12,、,已知:如图,,BD,、,CE,是,ABC,的高,,请找出图中所有的相似三角形并说明理由。,A,B,C,D,E,13.,如图,四边形,ABCD,是矩形,点,F,在对角线,AC,上运动,,EF,/,BC,、,FG,/,CD,,四边形,AEFG,和矩形,ABCD,一直保持相似吗?证明你的结论?,证明:,四边形,ABCD,与四边形,AEFG,都是矩形,A,A,AGF,ADC,GFE,DCB,AEF,B,又,EF,/,BC,AEF,ABC,FG,/,DC,矩形,ABCD,矩形,AEFG,A,B,C,D,E,F,G,14.,如图,,ABC,中,,AB,8,,,AC,6,,,BC,9,,如果动点,D,以每秒,2,个单位长的速度,从点,B,出发沿,AB,方向向点,A,运动,直线,DE,/,BE,,记,x,秒时这条直线在,ABC,内部的长度为,y,,写出,y,关于,x,的函数关系式,并画出它的图象,解:,DE,/,BC,ADE,ABC,又,AD,8,2,x,(,0,x,4,),A,B,C,D,E,y,x,y,O,2,2,2,4,6,4,4,8,2,4,9,相似三角形判定方法,1,、,(,定义,),三组对应边的比相等且对应角相等;,3,、(判定定理,1,)三组对应边的比相等的两个三角形相似。,2,、(平行)平行于三角形一边的直线与其他两边,(,或两边的延长线,),相交,所构成的三角形与原三角形相似。,4,、(判定定理,2,)两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。,5,、(判定定理,3,)两角对应相等的两个三角形相似。,1.,已知:如图,,ABC,中,,P,是,AB,边上的一点,连结,CP,满足什么条件时,ACPABC,解,:A=A,,当,1=ACB,(或,2=B,)时,,ACPABC,A=A,,当,AC:AP,AB:AC,时,,ACPABC,A=A,,,当,4,ACB,180,时,,ACPABC,答:当,1=ACB,或,2=B,或,AC:AP,AB:AC,或,4,ACB,180,时,ACPABC.,A,P,B,C,1,2,4,1,、条件探索型,三、探索题,2.,如图:已知,ABC,CDB,90,,,AC,a,,,BC=b,,当,BD,与,a,、,b,之间满足怎样的关系式时,两三角形相似,D,A,B,C,a,b,解,:,1,D,90,当 时,即当 时,,ABC CDB,1,D,90,当 时,即当 时,,ABC BDC,,,答:略,.,这类题型结论是明确的,而需要完备使结论成立的条件,解题思路是:从给定结论出发,通过逆向思考寻求使结论成立的条件,这类题型结论是明确的,而需要完备使结论成立的条件,解题思路是:从给定结论出发,通过逆向思考寻求使结论成立的条件,1.,将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子,假设图形中的所有点、线都在同一平面内,则图中有相似(不包括全等)三角形吗?如有,把它们一 一写出来,.,C,解:有相似三角形,它们是:,ADE BAE,BAE CDA,,,ADE CDA,(,ADE BAE CDA,),2,、结论探索型,A,B,D,E,G,F,2,2.,在,ABC,中,,ABAC,,过,AB,上一点,D,作直线,DE,交另一边于,E,,使所得三角形与原三角形相似,画出满足条件的图形,.,E,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,E,E,E,这类题型的特征是有条件而无结论,要确定这些条件下可能出现的结论,解题思路是:从所给条件出发,通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论,再进行证明,.,3,、存在探索型,如图,DE,是,ABC,的中位线,在射线,AF,上是否存在点,M,,使,MEC,与,ADE,相似,若存在,请先确定点,M,再证明这两个三角形相似,若不存在,请说明理由,.,A,D,B,C,E,F,证明:连结,MC,,,DE,是,ABC,的中位线,,DEBC,,,AE,EC,,,MEAC,AM,CM,,,1=2,,,B=90,,,4,B=90,,,AF BC,,,AM DE,1=2,,,3=2,ADE,MEC=90,,,ADE MEC,A,D,B,C,E,F,1,2,3,M,解,:,存在,.,过点,E,作,AC,的垂线,与,AF,交于一点,即,M,点,(,或作,MCA=AED).,4,例题欣赏:,如图,C,是线段,BD,上的一点,,ABBD.EDBD.ACEC,求证:,ABCCDE,E,A,1,B,C,D,2,证明:,ABBD,、,EDBD,ABC=CDE=90,1+A=90,ACEC,1+2=90,A=2,ABCCDE,例题欣赏:,如图,C,是线段,
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