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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,特征值、特征向量、矩阵的相似,第五章第一节,矩阵的特征值与特征向量,工程技术中的振动问题和稳定性，往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题.特征值、特征向量的概念，不仅在理论上起着十分重要的作用，而且可以直接应用于许多实际问题。,定义,设,A,为复数域,C,上的,n,阶矩阵,如果存在数,0,C,和,非零,的,n,维向量,X,0,使得,AX,0,=,0,X,0,就称,0,是矩阵,A,的,特征值,（eigenvalue）,X,0,是,A,的属于(或对应于)特征值,0,的,特征向量,（eigenvecter）,.,注意,:,特征值问题是对方阵而言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵.,AX,0,=,0,X,0,(1),特征向量一定是非零向量.,(2),特征向量是属于某一个特征值的,它不能同时属于两个不同的特征值.,(3),有了一个特征向量,就可以有无穷多个特征向量.,特征值和特征向量的性质,性质1,若,X,1,和,X,2,都是,A,的属于特征值,l,0,的特征向量,则,X,1,+,X,2,也是,A,的属于,l,0,的特征向量(其中,X,1,+,X,2,0,),证明：,性质2,若,X,0,是,A,的属于特征值,l,0,的特征向量,则,kX,0,也是,A,的属于,l,0,的特征向量(其中数,k,0,),证明：,性质3,若,X,0,是,A,的属于特征值,l,0,的特征向量,则,证明,再继续施行上述步骤 次，就得,如何求得矩阵,A,的特征值和特征向量呢,?,式子,AX,=,l,X,(,l,E,-,A,),X,=0,.由于,X,是非零向量,故齐次线性方程组,(,l,E,-,A,),X,=0,有非零解,而这等价于,|,E,-,A,|=0.,定义 称,为,A,的,特征多项式,它是以,l,为未知数的一元,n,次多项式,也记为,f,(,l,).,称,|,l,E,-,A,|=0为,A,的,特征方程,.,E,-,A,称为,A,的,特征矩阵,。,性质4,X,0,是,A,的属于特征值,l,0,的特征向量,性质5,l,0,是,A,的特征值,我们举例说明求特征值、特征向量的步骤.,特征值、特征向量的求法,例1,求矩阵,A,的特征值和特征向量,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出全部特征值（注明重数）.,解,所以,A,的特征值为,当 时,解方程组 .,由,二重特征值,第二步：对每个特征值,代入齐次线性方程组,求,基础解系,。,得同解方程组（用消元法或直接对系数矩阵作初等变换均可）,解得基础解系,所以，对应于 的全部特征向量为,得同解方程,当 时，解方程组 ，,由,求得基础解系为,所以,对应于 的全部特征向量为,注意,(1)实矩阵的特征根不一定是实数，且复数 根是共轭出现的.,例如 则,得特征值,(2)一般,n,阶矩阵有,n,个特征根.包括实根和成对的共轭复根（均可能是一重或多重根）,属于实矩阵,A,的复特征根的特征向量也是复向量，求法与实特征向量并无不同。,例如，属于特征值 的特征向量为：,且 仍然是矩阵,分别对应于 的特征向量。,若 可逆，则 有特征值,有特征值,为x的多项式，则 有特征值为,假定 是,n,阶矩阵 的,n,个特征值,则,关于特征值的一些性质,称为矩阵的,迹,（,trace,）,比较得：,由上式知，矩阵,A,为奇异矩阵的充分必要条件是,A,的特征值至少有一个为零.,例3,A,左乘 式两端：,1,左乘 式两端：,例4,课后思考题,解,思考题解答,方法一,方法二,方法三,设,A,2,=,A,则,A,的特征值只能是0或1.,证明,设,Ax,=,l,x,.,l,是,A,的特征值.则,A,2,x,=,l,Ax,=,l,2,x,.又有,A,2,x,=,Ax,=,l,x,故得,l,x,=,l,2,x,即(,l,-,l,2,),x,=0.由于,x,是非零向量,故,l,-,l,2,=0,即,l,=0或,l,=1.,
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