线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量

上传人:nu****n 文档编号:249730141 上传时间:2024-10-30 格式:PPT 页数:29 大小:517KB
返回 下载 相关 举报
线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量_第1页
第1页 / 共29页
线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量_第2页
第2页 / 共29页
线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量_第3页
第3页 / 共29页
点击查看更多>>
资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,特征值、特征向量、矩阵的相似,第五章第一节,矩阵的特征值与特征向量,工程技术中的振动问题和稳定性,往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题.特征值、特征向量的概念,不仅在理论上起着十分重要的作用,而且可以直接应用于许多实际问题。,定义,设,A,为复数域,C,上的,n,阶矩阵,如果存在数,0,C,和,非零,的,n,维向量,X,0,使得,AX,0,=,0,X,0,就称,0,是矩阵,A,的,特征值,(eigenvalue),X,0,是,A,的属于(或对应于)特征值,0,的,特征向量,(eigenvecter),.,注意,:,特征值问题是对方阵而言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵.,AX,0,=,0,X,0,(1),特征向量一定是非零向量.,(2),特征向量是属于某一个特征值的,它不能同时属于两个不同的特征值.,(3),有了一个特征向量,就可以有无穷多个特征向量.,特征值和特征向量的性质,性质1,若,X,1,和,X,2,都是,A,的属于特征值,l,0,的特征向量,则,X,1,+,X,2,也是,A,的属于,l,0,的特征向量(其中,X,1,+,X,2,0,),证明:,性质2,若,X,0,是,A,的属于特征值,l,0,的特征向量,则,kX,0,也是,A,的属于,l,0,的特征向量(其中数,k,0,),证明:,性质3,若,X,0,是,A,的属于特征值,l,0,的特征向量,则,证明,再继续施行上述步骤 次,就得,如何求得矩阵,A,的特征值和特征向量呢,?,式子,AX,=,l,X,(,l,E,-,A,),X,=0,.由于,X,是非零向量,故齐次线性方程组,(,l,E,-,A,),X,=0,有非零解,而这等价于,|,E,-,A,|=0.,定义 称,为,A,的,特征多项式,它是以,l,为未知数的一元,n,次多项式,也记为,f,(,l,).,称,|,l,E,-,A,|=0为,A,的,特征方程,.,E,-,A,称为,A,的,特征矩阵,。,性质4,X,0,是,A,的属于特征值,l,0,的特征向量,性质5,l,0,是,A,的特征值,我们举例说明求特征值、特征向量的步骤.,特征值、特征向量的求法,例1,求矩阵,A,的特征值和特征向量,第一步:写出矩阵A的特征方程,求出全部特征值(注明重数).,解,所以,A,的特征值为,当 时,解方程组 .,由,二重特征值,第二步:对每个特征值,代入齐次线性方程组,求,基础解系,。,得同解方程组(用消元法或直接对系数矩阵作初等变换均可),解得基础解系,所以,对应于 的全部特征向量为,得同解方程,当 时,解方程组 ,,由,求得基础解系为,所以,对应于 的全部特征向量为,注意,(1)实矩阵的特征根不一定是实数,且复数 根是共轭出现的.,例如 则,得特征值,(2)一般,n,阶矩阵有,n,个特征根.包括实根和成对的共轭复根(均可能是一重或多重根),属于实矩阵,A,的复特征根的特征向量也是复向量,求法与实特征向量并无不同。,例如,属于特征值 的特征向量为:,且 仍然是矩阵,分别对应于 的特征向量。,若 可逆,则 有特征值,有特征值,为x的多项式,则 有特征值为,假定 是,n,阶矩阵 的,n,个特征值,则,关于特征值的一些性质,称为矩阵的,迹,(,trace,),比较得:,由上式知,矩阵,A,为奇异矩阵的充分必要条件是,A,的特征值至少有一个为零.,例3,A,左乘 式两端:,1,左乘 式两端:,例4,课后思考题,解,思考题解答,方法一,方法二,方法三,设,A,2,=,A,则,A,的特征值只能是0或1.,证明,设,Ax,=,l,x,.,l,是,A,的特征值.则,A,2,x,=,l,Ax,=,l,2,x,.又有,A,2,x,=,Ax,=,l,x,故得,l,x,=,l,2,x,即(,l,-,l,2,),x,=0.由于,x,是非零向量,故,l,-,l,2,=0,即,l,=0或,l,=1.,
展开阅读全文
相关资源
正为您匹配相似的精品文档
相关搜索

最新文档


当前位置:首页 > 图纸专区 > 课件教案


copyright@ 2023-2025  zhuangpeitu.com 装配图网版权所有   联系电话:18123376007

备案号:ICP2024067431-1 川公网安备51140202000466号


本站为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有。装配图网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知装配图网,我们立即给予删除!