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专题 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 【核心素养分析】 1.理解命题的概念。 2.了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。 4.重点考查数学抽象、逻辑推理能力的核心素养。 【知识梳理】 知识点一 命题及其关系 1命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判 断为假的语句叫做假命题 2四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 知识点二 充分条件与必要条件 1充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 qp p 是 q 的必要不充分条件 pq 且 qp p 是 q 的充要条件 pq p 是 q 的既不充分也不必要条 件 pq 且 qp 【特别提醒】 1充要条件的两个结论 (1)若 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 r 的充分不必要条件，则 p 是 r 的充分不必要条件 (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 q 是綈 p 的充分不必要条件 2一些常见词语及其否定 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 【典例剖析】 高频考点一 四种命题及其相互关系 例 1、（2020福建三明一中模拟）命题“若 x21，则1x1”的逆否命题是() A若 x21，则 x1 或 x 1 B若1x1，则 x21 或 x1 D若 x1 或 x1，则 x21 【答案】D 【解析】命题的形式是“若 p，则 q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈 q，则綈 p”的形式， 所以“若 x21，则1x1”的逆否命题是“若 x1 或 x1，则 x21”故选 D. 【规律方法】由原命题写出其他三种命题的方法 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命 题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命 题。 【变式探究】 （2020浙江杭州十四中模拟）有下列四个命题，其中真命题是( ) “若 xy1，则 lg xlg y0”的逆命题； “若 abac，则 a(bc)”的否命题； “若 b0，则方程 x22bxb2b0 有实根”的逆否命题； “等边三角形的三个内角均为 60”的逆命题 A B C D 【答案】B 【解析】 “若 xy1，则 lg xlg y0”的逆命题为“若 lg xlg y0，则 xy1”，该命题为真命题； “若 abac，则 a(bc)”的否命题为“若 abac，则 a 不垂直(b c)” ，由 abac 可得 a(bc) 0，据此可知 a 不垂直(bc)，该命题为真命题； 若 b0，则方程 x22bxb2b0 的判别式 ( 2b)24(b2b) 4b0，方程有实根，为真 命题，则其逆否命题为真命题； “等边三角形的三个内角均为 60”的逆命题为“ 三个内角均为 60的三角形为等边三角形”，该命题为 真命题 综上可得，真命题是.故选 B. 高频考点二 充分条件与必要条件的判断 例 2、(1)(2019 高考天津卷 )设 xR，则“x25x0”是“|x 1|1”的() A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (2)(2019高考北京卷 )设函数 f(x)cos xbsin x(b 为常数)，则“b0”是“f(x)为偶函数”的() A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】(1)B(2)C 【解析】(1)由 x25x0 可得 0 x5，由|x1|1 可得 0 x2.由于区间(0，2)是(0 ，5)的真子集，故 “x25x0”是 “|x1|1 ”的必要而不充分条件 (2)b0 时，f(x)cos x，显然 f(x)是偶函数，故“b0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x) 是偶函 数，则有 f(x)f(x) ，即 cos(x)bsin(x)cos xbsin x，又 cos(x)cos x，sin(x) sin x，所以 cos x bsin xcos xbsin x，则 2bsin x0 对任意 xR 恒成立，得 b0，因此“b0”是“f(x)是偶函数” 的必要条件因此“b0”是“f(x)是偶函数” 的充分必要条件，故选 C. 【规律方法】充要条件的判断方法 (1)定义法：根据 pq，q p 进行判断. (2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 . (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这 个方法特别适合以否定形式给出的问题. 【变式探究】（2020吉林长春外国语学校模拟）设 xR，则“2x0”是“(x1)2 1”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】2x0，则 x2，(x1)2 1，则1x1 1，即 0 x2，据此可知，“2x0”是 “(x1)21” 的必要不充分条件 高频考点三 充分条件、必要条件的应用 例 3、 （2020湖南株洲二中模拟）已知 Px|x 28x200，非空集合 Sx|1mx1m.若 xP 是 xS 的必要条件，求实数 m 的取值范围。 【解析】由 x28x200，得2x10， P x|2x10. xP 是 xS 的必要条件，则 SP. 解得 m3. 1 m 2，1 m10，) 又 S 为非空集合，1m1m，解得 m0. 综上，m 的取值范围是0，3. 【方法技巧】根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键点 (1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等 ,得到关 于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组) 求出参数的值或取值范围. (2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验 ,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的 取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 【变式探究】 （2020山西平遥中学模拟）若关于 x 的不等式|x1|a 成立的充分条件是 0 x4 ，则实 数 a 的取值范围是 () Aa1 Ba3 Da3 【答案】D 【解析】|x1|a ax1a 1ax1a，因为不等式|x1|a 成立的充分条件是 0 x4，所以 (0，4) (1a， 1a)，所以 a3，故 D 正确。 1 a0，1 a4) a1，a3)
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