静电学总结与习题课

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第七章静电场和恒定电场,一.电场强度 高斯定理,电场强度,是定量描述电场对电荷有作,用力,性质的物理量。,场中某点的电场强度在数值,上等于单位正电荷处于该点,时电场所施的力。,场强叠加原理,在由若干点电荷形成的电场,中，任一点的总场强等于各点电荷在该点单,独产生的场强的矢量和，即,由叠加原理计算场强,3.电场强度的计算,点电荷的电场,点电荷系：,连续带电体：,由高斯定理计算场强,分析电场分布,选择高斯面,对,E,求通量,由场强与电势的微分关系计算场强,可得,具体的，我们计算了具有对称分布的电场的场强,无限长直导线,a,x,P,y,半无限长直导线,a,x,y,P,E,E,半径为,R,的均匀带电球面,R,Q,无限大带电平面,一带电圆环,R,x,P,x,q,二.电势 场强环路定理,无穷远处为电势零点，已知电场的分布，利用上式即可求得电势的分布。,叠加原理,1.场强环路定理,静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零,电场是保守力场，作功与路径无关，只与初、末的位置有关。,2.电势,定义：,点电荷的电势：,连续带电体分布：,电势,差,任意两点 a、b的电势差在数值,上等于单位正试验电荷从a点经任意路径到b点电场力做的功。,电场力做功,3.电场力做功,三.静电场中的导体,导体的静电平衡状态,导体内部及表面上的,电荷都无宏观定向运动的状态，叫做导体的,静电平衡状态。,静电平衡条件,导体内部任一点场强为零；,导体外，表面附近任一点场强方向与表面垂直,。,静电平衡下导体的特性,导体内部的电势处处等于导体表面的电势，整个导体,是个等势体，导体表面是个等势面；,导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体表面上；,导体外，表面附近某点的场强大小为,为该处附近导体的电荷面密度，方向垂直导体表面,2.有导体时的静电场的计算,利用导体的静电平衡条件、高斯定理和,电荷守恒来分析导体上的电荷的重新分布,计算每个区域的电场强度,由电势的定义式来计算某处的电势,四、均匀电介质的电场,由,D,的高斯定理先求,D,利用,D,和,E,的关系，可求得有电介质时的,电场强度,一般地，对于无限大的均匀电介质的电场和完全充满电介质的电场，可直接把前面的公式中的,0,换成 即可。,1.电位移矢量,2.有电介质时电场的计算,五、电容和电场的能量,电容,表征导体储电能力的物理量,孤立导体：,导体组：,平板电容器,d,S,球形电容器,R,1,R,2,柱形电容器,R,1,R,2,L,2.电场能量,由,导体的电势和电量,积分区域遍及电场分布区域,由,电场的场量来求能量,六.稳恒电流和稳恒电场,1.电流强度,单位时间通过某一截面的电量,方向为正电荷,运动的方向,2.电流密度矢量,导体中某点的,电流密度,，数值上等于和该点正电荷定向移动方向垂直的单位面积上的电流强度。方向：该点正电荷定向移动的方向。,正向通过曲面S的电流等,于曲面的电流密度通量。,二者关系：,3.电流连续性方程 电流稳恒条件,电流连续性方程,通过任一闭合曲面的电流密度通量为零，此即为,电流的稳恒条件,。它表明电流从曲面的一侧流进，必定从曲面的另一侧流出，即电流线不能在任何地方中断。,4.电源电动势,5.欧姆定律的微分形式,欧姆定律的,微分形式,例 一,.一球形电容器，内球壳半径为R,1,，外球,壳半径为R,2,，两球壳间充满了相对介电常数为,的各向同性的均匀电介质。设两球壳间电势,差为U,1.,求：1)电容器的电容；,2)电容器储存的能量,R,1,R,2,解:,1)设内球壳带电量为+Q，外球壳带电量为-Q,在两球壳间做一球形高斯面，由D的高斯定理,得：,由：,得：,2)电容器储存的能量(即电场的能量),R,1,R,2,例二,如图所示。一内半径为a，外半径为b 的金属球壳体，带有电量Q，在球壳空腔内距离球心 r 处有点电荷q.设无限远处为电势零点，试求：1)球壳内、外表面上的电荷；2)球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势 ；3)球心O点处的总电势。,a,b,r,q,Q,解：,1)由导体的静电平衡条件、高斯定理和电 荷守恒,可得：内表面,-q,外表面,Q+q,球心处，由内球壳内表面上电荷产生的电势,3)球心处的总电势 利用电势叠加原理可得：,例三,一电荷面密度为 的“无限大”平面，在距离平面a 米远处的一点P的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的。试求：该圆半径的大小。,P,a,R,x,解：,一电荷面密度为,的“无限大”平面，在P,点产生的场强为,(1),而一个圆面积(半径为R)产生的电场可计算如下：,r,r+dr,O,a,P,取一圆环的半径为,r,宽为,dr,其上带电,此圆环在P点的场强为,圆盘在P点的场强为：,(2),由题意：,可求得：,例四,如图所示，在电矩为P的电偶极子的电场,中，将一电量为q,0,的点电荷从A点沿半径为R,的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，),移到B点，,求此过程中电场力所做的功。,A,B,O,R,A,B,O,R,解：,电偶极子的场是静电场，点,电荷q,0,从A经半圆到B电场力作功,与路径无关，只与初、末位置有关,即：,而电偶极子(+q,-q)在A点的电势为,考虑,则：,同理：,负号表示外力作正功电场力作负功,解：,因空间的均匀和各向同性，使电场 具有以球心为中心的,球对称,分布。,的方向沿着半径方向；的大小取决半径大小。,选择与球面同心的，以 为半径的球面为高斯面。,例五：,求均匀带电（）的球体 的电场分布。,1),2),E的方向沿径向,23,解：,可作如图等效代换，再应用叠加原理。,例六：,均匀带电（）的球体 的内部有一偏心的球形空腔 ，求空腔内的电场分布。,根据上题结果有：,匀强电场！,24,例1,一个点电荷Q的电场中，一个检验电荷q,0,从A点移到B，C，D点，B，C，D点在以Q为圆心的圆周如图1，则电场力做功如何？,A,B,C,D,q,0,Q,图1,例2,一点电荷q位于一立方体中心，通过立方体每个表面的电通量是多少？,例3,真空中有一均匀带电的球体和一带电球面，如果它们半径和所带的总电量都相等，则它们的静电能哪个大？还是不能确定？,习题,例4,电场中某区域内电场线如图2所示，将一点电荷从,M点移到N点则下面哪个正确？,1）电场力的功A,MN,02）电势能W,M,W,N,3）电势U,M,U,N,4）电势U,M,U,N,M,N,E,图2,电场力的功和电势能都与电荷的正负有关，,而电场线是指向电势降落的方向，故3）是对的。,例5,一个带电量为q，半径为R的薄金属,壳里充满了相对介电常数为,r,的均匀介质，,球壳外为真空，则球壳的电势为？,1)2),3)4),由电势的积分是从球壳到无穷远，这部分区域是真空，1）是对的。,例6,无限大均匀带电介质平板A，电荷面密度为,1,，将介质移近一导体B，B表面上靠近 p点处的电荷面密度为,2,，p点是极靠近导体B表面的一点，如图3，则 p点的场强是,1)2)3)4),P,2,B,A,1,图3,例7,带电量为Q,0,的导体球外部，有一层相对介常数为,r,的介质球壳，如图4所示，在介质球壳内、外分别有两点P,1,、P,2,，且知OP,1,=r,1,OP,2,=r,2,则D,P1,=D,P2,=E,P1,=E,P2,=,O,r,1,P,1,r,2,P,2,图4,r,例8,一电偶极子由两个等值异号电荷,q组成，这两个,电荷相距为l，把这偶极子放在电场强度为E的均匀外,场中，则外电场作用于电偶极子上的最大力矩M为多,少？若把偶极子从位置=0转到=/2外力作功A为多少？,例9,空气平行板电容器充电后与电源断开，用均匀介,质,r,充满极间，比较充介质前后的,r,1/,r,例10,如图5所示，一无限大均匀带电平面附近设置一,与之平等的无限大平面导体板。已知带电面的电荷面,密度为,，则导体板两表面的感应电荷密度为,1,=,2,=,图5,2,1,-,/2,/2,1/,r,1/,r,例11,两点电荷等量同号相距为a，电量为q,两电荷连,线中点O处场强=；电势=；,将电量为+q,0,的点电荷由连线中点移到无穷远处,电场力作功=；,将电量为-q,0,的点电荷由O点移至无穷远处,电场力作功=。,0,例12,一偶极矩为p的电偶极子放在场强为E的均匀外电,场中，p与E的夹角为,；在此电偶极子绕垂直于(p,E),的平面轴沿角增加的方向转过180,o,的过程中，电场力,作功为多少？,A=-2P,e,E cos,例13,一面积为S，间距为d的平行板电容器，若在其中,插入厚度为d/2的导体板，则其电容为多少？,C=2,0,S/d,例,15,A、B为两个电容值都等于C,0,的电容器，已知A带电量为Q,0,，B带电量为2Q,0,，现将A、B并联在一起后，则系统的能量变化为多少？,例,16,半径为R,1,的导体球带有电,荷q,球外有一个内、外半径为R,2,，,R,3,的同心导体球壳，壳上带有,电荷Q，如图；求：,两球的电势,U,1,和,U,2,；,当两球用导线相连，则两球,的电势,U,1,和,U,2,。,例,14,试计算两根带异号电荷的平行导线单位长度的电容。假设导线 的半径为a，相隔距离为d(da),导线为无限长，电荷均匀分布。,例17,球形电容器由半径为R,1,的导体球和与它同心的,导体壳组成，壳的内半径为R,2,。设球和球壳分别带,电量为+Q和-Q，其间充满了各向同性的均匀电介质，,介质的相对介电常数为,r,，如图。求：,1)介质中的电位移 D场强 E；,2)球和球壳间的电势差,U；,3)电容C；,4)电场的能量。,r,