种群的相互竞争模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,种群的相互竞争模型,1.模型建立,当某个自然的环境中只有一种生物的群体(种群)生存时,我们常用Logistic模型来描述它的数量的演变过程,即,易知,x,=,N,是自治系统(1)的稳定的平衡点.它表示当时间,t,趋于无穷时,x,(,t,),N,.,如果一个自然环境中存在两个或两个以上的种群,它们之间的关系大致可分为以下几种:相互竞争,相互依存,弱肉强食(食饵与捕食者),也可能毫无关系.前几种情形我们来一一研究它们,最后一种情形不用研究.下面我们种群的相互竞争模型.先研究两个种群的相互竞争模型.,模型假设,设甲乙两个种群都生活在同一个自然环境中,其数量变化服从Logistic规律.,记:,x,1,(,t,),x,2,(,t,)分别是甲乙两个种群的数量,r,1,r,2,分别是甲乙两个种群的固有增长率,N,1,N,2,分别是甲乙两个种群的最大容量,于是对种群甲我们有,于是对种群甲我们有,这里,1,的意义是:单位数量的乙(相对于N,2,而言)消耗的供养甲的食物量为单位数量的甲(相对于N,1,)消耗的供养甲的食物量的,1,倍.,类似,我们有,于是我们得到模型,这里,1,2,一般是相互独立的.在某些特殊的情形下,我们有,1,2,=1.,其中的第三个平衡点是在,1,2,1的情形下才会得到.,按照判断平衡点的稳定性的方法,我们先看矩阵,稳定条件,其它平衡点类似处理.,我们由此得到结论:,不稳定,稳定条件,q,p,平衡点,注意到平衡点的定义我们可以看出,它是一个局部的性质.对于非线性方程(4)所描述的种群竞争,我们更关心的是平衡点的全局稳定性,即不论初值如何,平衡点都是稳定的.这需要在上面得到的局部稳定性的基础上辅之以相轨线分析.,下面我们根据,1,2,的不同取值范围,直线,=0,=0,的相对位置,讨论如下:,在代数方程组（5）中，记,我们看到,两条直线将第一象限分成了三个部分,在每一区域内导数符号能够确定:,O,O,O,O,O,O,O,O,最终结论:,不稳定,全局稳定条件,q,p,平衡点,结果解释,:(我们只解释第一个),1.,1,1.,1,1意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙,于是乙终将灭绝,种群甲将趋于最大容量,于是将趋于平衡点P,1,.,这里,1,的意义是:单位数量的乙(相对于N,2,而言)消耗的供养甲的食物量为单位数量的甲(相对于N,1,)消耗的供养甲的食物量的,1,倍.,种群的相互依存模型,自然界中处于同一环境下的两个种群相互依存的现象是很多的.如植物与昆虫之间,昆虫可以帮助植物充分授粉,而昆虫也在此过程中获得食物(花粉).人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系.,假设种群甲可以独立存在,服从Logistic规律增长,种群乙的存在有助于甲的增长,因此甲的数量,x,1,(,t,)满足,假设种群乙离开了甲便不能独立存在,设其死亡率为r,2,于是其独立存在时的数量,x,2,(,t,)满足,现在甲为乙提供食物,于是甲对乙的增长有促进作用,故,这样模型为,二维自治系统的稳定性理论,结论:,p0,q0,时,平衡点是稳定的,;,P0,或,q0,时,平衡点是不稳定的,.,