第2章 模糊逻辑控制

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第2章 模糊逻辑控制,模糊控制在定程度上模仿了人的控制，它不需要有准确的控制对象模 型。因此它是一种智能控制的方法。 例如，一个操作员通过观察仪表显示对过程进行控制，仪表显示反映了过程的输出 量。当操作员通过仪表观察到输出量发生变化时，他根据所积累的知识和操作经验作lYf 决策，并采取相应的控制动作。这是一个从过程变化到控制行动之间的映射关系。这个映 射是通过操作员的决策来实现的，这个决策过程并不是通过精确的定量计算，而是依靠定 性或模糊的知识。例如，若控制的过税是水箱中的水温，检测仪表给出的是精确量，譬如 80，操作员将这个精确量转化为头脑巾的极它；量，比方说“温度偏高”，他使用这个概念 与头脑中已有的控制经验和模式相队配，得到。温度偏高应该加入较多冷却水”的推断，进 而操作员需将“加入较多冷臼J水”这个模糊概念给出定量解释，譬如说加入冷却水的流量 应为10M”小，然后技此定量值控制执行装置，从而完成了整个控制过程纳一个循环。这里 人采用了一种模糊的控制方法，其中包含了人的智能行为。显然人并不是按照某种控制算 法加以精确的计算，而且人也不可能有这样的记忆和计算能力，能在极短时间内完成较为 夏杂的汁算。 本章所要介绍的模糊控制即是模伤亡述人的控制过程，其中包含了入的控制经验相 知识。因而从这个意义上说，模糊控制也是一种智能控制。模糊控制方法既可用于简单的 控制对象，也可用于复杂的过程。,21 概 述,211 模糊控制与智能控制,21 2 模糊整合与模糊数学的概念,上面所举的人进行控制的例子中，“温度偏高”中的“偏高”、“加入较多冷却水”中的 “较多”等都是一些模糊的概念，而利用这些模糊概念最终却能实现稳定的控制。如何描述 这些模糊的慨念，并对它们进行分析、推理，这正是模糊集合与模糊数学所要解决的问题。 模糊集合理论的产生和发展到现在不过是40年的历史，但它已经逐步地渗入到自然 科学和社会科学的各个领域，并日取得了引入注目的成果。笼统地说，模糊集合是一种特别定义的集合，它可用来描述模糊现象。有关模糊集合、模糊逻辑等的数学理论，称之为模 糊数学。 模糊性也是一种不确定性，但它不同于随机性，所以模糊理论不同于概率论。模糊性通常是指对概念的定义以及语言意义的理解上的不确定性。例如，“老人”、“温度高”、“数 量大”等所含的不确定性即为模糊性。可见，模糊性主要是人为的主观理解上的不确定性，而随机件则主要反映的是客观上的自然的不确定性，或者是事件发生的偶然性。偶然性与模糊性具有本质上的不同，它们是不同情况下的不确定性。例如“明天有雨”的不确定性 是由今天的预测产生的，时间过去了，到明天就变成确定的了。再有“掷一下骰子是4点” 的不确定性是根据掷之前推测发生的，实际做一下掷骰子实验，它就是确定的事件了。但 是“老人”、“气温高”等的不确定性，即使时间过去了、即使做了实验，它仍然是不确定的， 这是由语言意义模糊性的本质所确定的。,模糊集合是一种特别定义的集合，它与普通集合既有联系也有分别。对于普通集合来 说，任何一个元素要么属于该集合，要么不属于，非此即彼，界限分明，决无模棱两可。而对 于模糊集合来说，一个元素可以是既属于又不属于，亦此亦彼，界限模糊。例如，一个人到 苹果园去摘苹果，如果规定比2两重的苹果算作“大”苹果，这是普通集合的概念。因此，若 摘到一个25两的苹果，可以毫不犹豫地说这是一个“大”苹果，若摘到一个L 9两的 果，也可以毫不犹豫地说它不是“大”苹果。这就是关于“大”的两值逻辑，是用精确的量作 为边界来划分属于还是不属于该集合。如果规定差不多土2两重的苹果为“大”苹果，这是 一个模糊集合的恢念。这时若摘到一个2i两的苹果，可以不加思索地算作“大”苹果。那 么对于L 9两的苹果呢，这就需要人为的决定了。你可以说它不够“大”，但若这个苹果园 中“大”的苹果不够多的话，将它勉强算作“大”苹果也不为过。这就是关于“大”的连续值逻 辑，是用人为的量作为边界来划分属于还是不属于该集合。 从L述例子可以看到，模糊性是人们在社会交往和生产实践中经常使用的，它提供了 定性与定量、主观与客观、模糊与清晰之间的一个人为折衷。它既不同于确定性，也不同于 偶然性和随机性。概率论是研究随机现象的，模糊数学则是研究模糊现象的两者部属于 不确定t数学。应当特别注意的一点是，不可认为模糊数学是模糊的概念，它是完完全全 精确的，它是借助定量的方法研究模糊现象的工具。,2.1. 3 模糊控制的发展和应用概况,美国教授查德(1AZandeh)1965年首先提出了模糊集合的概念，由此开创了模糊 数学及其应用的新纪元。模糊控制是模糊集合理论应用的一个重要方面。1974年英国教 授马丹尼(EHMamd8ni)首先将模糊集合理论应用于加热器的控制，其后产生下许多 应用的例于。其中比较典型的有：热交换过程的控制，暖水工厂的控制，污水处理过程控 制，交通路口控制，水泥窑控制，飞船飞行控制，机器人控制，模型小车的停靠和转弯控制， 汽车速度控制，水质净化控制，电梯控制，电流和核反应堆的控制，并且生产出厂专,用的模 糊芯片韧模糊计算机。在模糊控制的应用方面，E1本走在了前列。日本在国内建立了专门 的模糊控制研究所日本仙台的一条地铁的控制系统采用了模糊控制的方法取得了很好 的效果。日本还率先将模糊控制应用到日用家电产品的控制，如照相机、吸尘器、洗衣机 等，模糊控制的应用在日本已经相当普及。下面具体介绍几个典型的应用。,Sugeno的模糊小车,模糊自动火车运行系统,模糊自动集装箱吊车操纵系统,模糊逻辑芯片和模糊计算机,模糊控制无论从理沦相应用方面均己取得了很大的进展，但与常规控制理论相比仍 然显得很不成熟，当己知系统的模型时，已有比较成熟的常规控制理论和方法来分析和设 计系统。但是目前尚未建立起有效的方法来分析和设计模糊系统，它还主要依靠经验和试 凑。因此现在有产客人正在进行研究，试图把许多常规控制的理论和概念推广到模糊控制 系统，如能控性、稳定性等。近来的另外个研究方向则是如何使模糊控制器具有学习能力。在这方面，模糊逻辑与神经网络相结合是一个位得注意的动向，两者的结合既M川模 拟人的控制功能又可以如人那样具有较强的对环境变化的适应能力和学习能力。这是一 个很有前途的发展方向。,22 模糊集合及其运算,上节介绍了模糊性的概念例如到苹果园去摘“大苹果”，这里“大苹果”便是 个 模糊的概念。如果将“大苹果”看作是一个集合则“大苹果”便是一个模糊集合。如前所述 若认为差不多比2两重的苹果称之为“大苹果”，那么，25两的苹果应毫无疑问地属于 “大苹果”，如对此加以量化，则可设其属于的程度为1.2.1两苹果属于“大苹果”的程度譬如说为0.7，2两苹果居于的程度为0.5，1.9两的苹果届于的程度为0.3等等。以后称属 于的程度为隶属度函数，其值可在01之间连续变化。可见，隶属度函数反映了模糊集合 中的元素属于该集合的程度。若模糊集合“大苹果”用大写字母A表示，隶属度函数用,表示。A中的元素用x表示,则,A,(x)便表示x属于A的隶属度，对上面的数值例子可写成,2.2.1 模糊集合的定义及表示方法,隶属度函数也可用图形来描述，如图2.1所示. 若将“大苹果”看成普通集合，,即硬性规定凡比2两重的都算“大苹果”小于2两都不算“大苹果”，则其隶属,度函数如图2.1中的虚线所示。它仅取两个值0,1.可见,普通集合是模糊集合,的一个特例。,由此，不难给出 如下的关于模糊集合的定义。,定义,给定论域X，Ax是X中的模糊集合的含义是,这样的隶属度函数表示其特征的集合。若A (x)接近1，表示x属于A的程度高， ,A,(x)接近0,表示X属于A的程度低。在上面的定义中，论域x指的是所讨论的事物的全体。如在摘苹果的例子中，论域x 指的是重量X0的全体。,模糊集合的表示方法,序偶,紧凑形式,模糊集合的例子,例2.1,在整数12，10组成的论域中，,即论域X1,2,3,4,5,6,7,8,9,10设A表示模糊集合“几个”。并设各元素的隶属度函数依次为,这里论域X是离散的，则A可表示为,或者,例2.2,若以年龄为论域，并设X0，200。设O表示模糊集合“年老”，,Y表示模糊集合“年青”。己知“年老”和“年青”的隶属度函数分别为,其隶属度函数曲线如图22所示。,这里论域X是连续的，因而模糊集合O可表示为,或者,模糊集合y可以表示为,或者,名词术语,1台(Support)集合。它定义为,其意义为论域X中所有使,A,(x),0 的x的全体。,如在例21中，模糊集合“几个”的台集合为,显然，台集合为普通集合，即,2,截集.它定义为,A,和 分别称为模糊集合A的强,截集和弱,截集。显然，,截集也是普通集合，且,3正则(normal)模糊集合。如果,则称A为正则模糊集合.,4.,凸(convex)模糊集合。如果,则称A为凸模糊集合。,5.分界点(crossover point) .使得,的点x称为模糊集合A的分界点.,6.单点模糊集合(singleton)。在论域x中，若模糊集合的台集合仅为一个点且在该点的隶属度函数,A,(x) 1，则称A为单点模糊集合.,2.2.2 模糊集合的基本运算,1模糊集合的相等,若有两个模糊集台A和B，对于所有,则称模糊集合A与模糊集会B相等，记作AB。,均有,2模糊集合的包含关系,若有两个模糊集台A和B，对于所有的,均有,则称A包含于B或A是B的子集，记作,3模糊空集,若对所有,均有,则称A为模糊空集 。,4模糊集合的并集,若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的,均有,则称C为A与B的交集，记为,5.模糊集合的交集,若有三个模糊集合A和B,对于所有的,均有,则称B为A的补集，记为,7.,模糊集合的直积(Cartesian product)。,若有两个模糊集台A和B，其论域分别为X和Y，则定义在积空间,XY上的模糊集合AB为A和B的直积，其隶属度函数为,或者,两个模糊集合直积的概念可以很容易推广到各个集合。,例2.3,设论域X=x,1, x,2, x,3, x,4, 以及模糊集合,求,解：,2.2.3模糊集合运算的基本性质,1分配律,2 结合律,3 交换律,4吸收律,5.幂等律,6.同一律,其中x表示论域全集，,表示空集。,7.达摩根律,8.双重否定律,以上运算性质与普通集合的运算性质完全相同，但是在普通集合,中成立的排中律和 矛盾律对于模糊集合不再成立，即,9,截,集到模糊集合的转换,即,2.2.4 模糊集合的其它类型运算,1代数和,若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的,均有,2.代数积,3.有界和,4.有界差,5.有界积,6.强制和,7.强制积,2.3 模糊关系,2.3.1 模糊关系的定义及表示,定义：n元模糊关系R是定义在直积,上的模糊集合.,它可表示为,例2.4,设X是实数集合，并,对于“y比x大得多”的模糊关系,R，其隶属度函数可以表示为,而对于“x和y大致相等”这样的模糊关系R，其隶属度函数可表示为,模糊关系的表示方法-矩阵和图,当,是有限集合时，定义在XY上的模糊关系R可用如下的nm阶,矩阵来表示,若用图来表示模糊关系时，则将x,i,，y,j,作为节点，在x,i,到y,i,的连线,上标上,R,(x,i,， y,j,) 的值这样的图便称为模糊图。,例2.5,设X为家庭中的儿子和女儿，Y为家庭成员中的父亲和母亲，对于,“子女与父母长得相似”的模糊关系R，可以用如下的模糊矩阵和,如图23所示的模糊图来表示。,父,子,女,母,0.8,0.6,0.3,0.3,图2.3 例2.5的模糊图,几个特殊的模糊关系及其矩阵表示,逆模糊关系,模糊矩阵表示：,恒等关系,模糊矩阵表示：,零关系,模糊矩阵表示：,全称关系（universe relation）,模糊矩阵表示：,2.3.2 模糊关系的合成,设X、Y、Z是论域，R是X到丫的一个模糊关系，S是Y到Z的一个,模糊关系，则R 到S的合成T也是一个模糊关系，记为,它具有隶属度,其中V是并的符号，它表示对所有y取极大值或上界值“,*,”是二,项积的符号，因此上面的合成称为最大-星合成(msx-star,composition)。其中二项积其子“*”可以定义为以下几种运算，,其中,交,代数积,有界积,强制积,若二项积采用求交运算,当论域X、Y、Z为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成,来表示。设,则,例26,已知子女与父母的相似关系模糊矩阵为,要求子女与祖父母的相似关系模糊矩阵。,按最大最小合成规则,合成关系的基本性质,24 模糊逻辑与近似推理,2.4.1 语言变量,L.A.查德(Zadah)为语言变量给出了如下的定义：,语言变量由一个5元组(x，T(x)，U,G,M)来表征。其中x是变量的,名称,U是X 的论域，T(x)是语言变量值的集合，每个语言变量值,是定义在沦域U上一个模糊集合，G是语法规则用以产生语言,变量x的值的名称，M是语义规则，用于产生模糊集合的隶属度,函数。,例如,，若定义“速度”为语言变量，则2T(速度)可能为,T(速度)慢，适中，快，很慢，稍快,上述每个模糊语言如慢、适中等是定义在论域U上的一个模糊集合。,设论域U0,160，则可认为大致低于60km/h为“慢”，80kmh左,右为“适中”，大于100kmh以上为 “快”,。这些模糊集合可以,用因2.4所示的隶属度函数图来描述.,速度,0.5,1,慢,适中,快,60 80 100 速度/km.h,-1,图2.4 模糊语言变量”速度”的隶属度函数,修饰词及相应的隶属度表示,修饰词 “极”、 “非”、“相当”、“比较”、“略“、“稍微”,设原来的模糊语言为A，其隶属度函数为,A,则,2.4.2模糊蕴含关系,最常见的模糊关系是模糊规则,它实质上是模糊蕴含关系.,在近似推理中主要采用以下模糊蕴含推理方式:,其中A,A,B,B均为模糊语言.,前提2”如果x是A则y是B”表示了A与B 之间的模糊蕴含关系,记作,模糊蕴含关系常用运算方法,1)模糊蕴含最小运算,1)模糊蕴含积运算,例,设语言变量,它们的取值分别”大”中”小”.相应的隶属度分别为,若有一条模糊规则为,求该规则的模糊蕴含关系R,采用模糊蕴含最小运算,采用模糊蕴含积运算,2.4.3 近似推理,结论B是根据模糊集合A和模糊蕴含关系A,B,的合成推导来的，,因此可得如下的近似推理关系：,其中R为模糊蕴含关系，它可采用上面所列举的任何一种运算方法;,“。”是合成运算符。,若人工调节炉温，有如下的经验规则：“如果炉温低，则应施加,高电压”。试问当炉温为“低”、“非常低”、“略低”、“不低”时，应,施加怎样的电压?,例2.7,解：这是典型的近似推理问题，设x和y分别表示模糊语言变量,“炉温”和“电压”，并设x和y论域为,设A表示炉温低的模糊集合，且有,设B表示高电压的模糊集合，且有,从而模糊规则可表述为:“如果x是A则y是B”。设A,分别表示A、,非常A、略A和非A， 则上述问题便变为如果x是A,，则B,应是什么。,下面分别用不同的模糊组合关系运算法来进行推理。,1 模糊蕴含最小运算法R,C,2 模糊蕴含积运算法R,P,2.4.4 句子连接关系的逻辑运算,1 句子连接词 and,在模糊逻辑控制中，常常使用如下的广义肯定式推理方式:,在前提2中的前提条件“x是4and y是B”可以看成是直积空间XY上,的模糊集合，并记为AB，其隶属度函数为,或者,这时的模糊蕴含关系可记为AB,C .,对于结论C,可用如下的近似推理求出:,其中R为模糊蕴含关系，它可用上面所定义的任何种模糊蕴含,运算方法。“。”为合成运算符。,2 句子连接词 also,如果x是A,i,and y是B,i,则z是C,i,” (il，2，n),25 基于控制规则库的模糊推理,2.5.1 MIMO模糊规则库的化简,对于多输入多输出(MIMO)系统，其规则具有如下的形式：,其中,可以表示为如下的模糊蕴含关系：,于是规则R可以表示为,可见规则库月R可看成由r个子规则库所组成，每一个子规则库由m,个多输入单输出 (MISO)的规侧所组成。由于每个子规则是互相独,立的，因此下面只需考虑其中一个 MISO子规则库的近似推理问题。,2.5.2 模糊推理的一般步骤,不失一般性，考虑如下的两个输入一个输出的模糊系统,其中x,y和z是代表系统状态和控制量的语言变量，A,i,、B,i,和C,i,分别,是x,y和z的语言取值。x,y和z的论域分别为X,Y和Z。,模糊控制规则“如果x是A,i,and y是B,i,则z是C,i,”的模糊蕴含关系R,i,定义为,即,其中“A,i,and B,i,”是定义在XY上的模糊集合A,i, B,i,，,R,i,(A,i,and B,i,),C,i,，是定义在XYZ上的模糊蕴含关系。,考虑M条模糊控制规则的总的模糊蕴含关系为,(取连接词 “also”为求并运算),最后求得推理的结论为,其中,或者,“。”是合成运算符，通常采用最大-最小合成法。,2.5.2 论域为离散时模糊推理计算举例,例2.8 已知一个双输入单输出的模糊系统，其输入量为x和y，输出,量为z,其输入输出关系可用如下两条模糊规则描述：,R,1,：如果x是A,1,and y是B,1,则z是C,1,R,2,：如果x是A,2,and y是B,2,则Z是C,2,现己知输入为x是A,and y是B,，试求输出量z。这里x,y,z均为,模糊语言变量,且已知,解：由于这里所有模糊集合的元素均为离散量，所以模糊集合可,用模糊向量来描述,模糊关系可用模糊矩阵来描述。,(1)求每条规则的蕴含关系R,i,=(A,i,and B,i,),C,i,(i1，2),