二、2直线、平面平行的判定及其性质

第 二 节 ： 直 线 、 平 面 平 行 的 判 定 及 其 性 质第 二 章 ： 点 、 直 线 、 平 面 之 间 的 位 置 关 系 例 2.如 图 ， 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1的 棱 长 为 a,它 的 各 个顶 点 都 在 球 O的 球 面 上 ， 问 球 O的 表 面 积 。A B CDD1 C1B 1A1 O A B CDD1 C1B1A1 O分 析 ： 正 方 体 内 接 于 球 ， 则 由 球 和 正 方 体 都 是 中 心 对 称 图 形 可知 ， 它 们 中 心 重 合 ， 则 正 方 体 对 角 线 与 球 的 直 径 相 等 。略 解 ： 22 222 11 11 34 23,)2()2( 22 : aRS aRaaR aDBRDB DDBRt 得 ：，中变 题 1.如 果 球 O和 这 个 正 方 体 的 六 个 面 都 相 切 ， 则 有 S=。变 题 2.如 果 球 O和 这 个 正 方 体 的 各 条 棱 都 相 切 ， 则 有 S=。 2a 2 2 a关 键 ： 找 正 方 体 的 棱 长 a与 球 半 径 R之 间 的 关 系 知 识 点 一 、 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 ab 复 习 引 入直 线 与 平 面 有 什 么 样 的 位 置 关 系 ？ (1)直 线 在 平 面 内 有 无 数 个 公 共 点 ；(2)直 线 与 平 面 相 交 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ；(3)直 线 与 平 面 平 行 没 有 公 共 点 . a a aA Aa a /a 问 题 1、 观 察 开 门 与 关 门 ， 门 的 两边 是 什 么 位 置 关 系 当 门 绕 着 一 边转 动 时 ， 此 时 门 转 动 的 一 边 与 门 框所 在 的 平 面 是 什 么 位 置 关 系 ？l观 察 问 题 2、 请 同 学 门 将 一 本 书 平 放在 桌 面 上 ， 翻 动 书 的 封 面 ， 观 察封 面 边 缘 所 在 直 线 l与 桌 面 所 在 的平 面 具 有 怎 样 的 位 置 关 系 ？ 桌 面内 有 与 l 平 行 的 直 线 吗 ？l动 手体 验 问 题 3 、 根 据 以 上 实 例 总 结 在什 么 条 件 下 一 条 直 线 和 一 个 平面 平 行 ？探 究归 纳如 果 平 面 外 一 条 直 线 和 这 个 平 面 内 的 一条 直 线 平 行 ， 那 么 这 条 直 线 和 这 个 平 面平 行 符 号 表 示 ： / ababa 平 面 外 的 一 条 直 线 与 此 平 面 内 的 一 条 直 线 平行 ， 则 该 直 线 与 此 平 面 平 行 .直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 定 理 ： ab 线 线 平 行 线 面 平 行将线面平行转化为线线平行解 读 定 理将空间问题转化为平面问题三 个 条 件 不 能 少 例 1、 如 图 , 长 方 体 的 六 个 面 中 ， DCBAABCD (1)与 AB平 行 的 平 面是 _;(2)与 平 行 的 平 面是 _; (3)与 AD平 行 的 平面是 _.AA A C DC 面 、 面BC DC 面 、 面 A C BC 面 、 面 CBA D CBA D 分 析 :OF是 ABE的 中 位 线 ，所 以 得 到 AB/OF. AB CD FO E连 结 OF，例 2. 如 图 ， 四 棱 锥 ADBCE中 ， O为 底面 正 方 形 DBCE对 角 线 的 交 点 ， F为 AE的 中 点 .判 断 AB与 平 面 DCF的 位 置 关 系 ，并 说 明 理 由 . 例 3. 如 图 ， 空 间 四 边 形 ABCD中 ， E、 F分 别 是 AB， AD的 中 点 .求 证 ： EF 平 面 BCD.分 析 ： 要 证 明 线 面 平 行只 需 证 明 线 线 平 行 ， 即在 平 面 BCD内 找 一 条 直线 平 行 于 EF， 由 已 知 的条 件 怎 样 找 这 条 直 线 ？ AB CDE F 证 明 ： EF BD. EF 平 面 BCD.BD 平 面 BCD, AB、 AD的 中 点 ， 在 ABD中 E、 F分 别 是 EF 平 面 BCD， 连 接 BD，已 知 ： 空 间 四 边 形 ABCD中 ， E、 F分 别 是 AB、 AD的 中 点 . 求 证 ： EF/平 面 BCD.AB CDE F注 意 ： 证 线 面 平 行 三 个 条 件 缺 一 不 可 .证 明 步 骤 ：第 一 步 ： 证 线 线 平 行 ； 第 二 步 ： 证 线 面 平 行 _. 如 图 ， 在 空 间 四 边 形 ABCD中 ， E、 F分 别 为 AB、 AD上 的 点 ， 若 ，则 EF与 平 面 BCD的 位 置 关 系 是 FDAFEBAE EF/平 面 BCD AB CDE F变式探究平 行 线 的判 定 定 理 , 分 析 ： 要 证 BD1/平 面 AEC， 即 要 在 平面 AEC内 找 一 条 直 线与 BD1平 行 .根 据 已 知条 件 应 该 怎 样 考 虑 辅助 线 ? 例 . 如 图 ， 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， E为 DD1的 中 点 ， 求 证 :BD1/平 面 AEC.ED1 C1B1A1 D CBA O有 中 点 再 找 中 点 得 中 位 线 如 图 :ABCD为 平 行 四 边 形 ， M,N分 别 是AB,PC的 中 点求 证 MN/面 PAD HPAB C DNM分 析 ： 关 键 在 平 面 PAD内找 MN平 行 线 ， 有 中 点 再中 点 找 中 点 ， 中 点 和 中点 相 连 得 中 位 线 ， 从 而得 到 平 行 线 。变式探究 1.要 证 明 直 线 与 平 面 平 行 可 以 运 用 线 面 平 行 的 判 定定 理 ； 线 线 平 行 线 面 平 行2.能 够 运 用 定 理 的 条 件 要 满 足 三 个 条 件 ：3.运 用 定 理 的 关 键 找 平 行 线 ； 找 平 行 线 又 经 常 会 用 到三 角 形 中 位 线 、 梯 形 的 中 位 线 、 平 行 四 边 形 、 平 行 线的 判 定 定 理 ,平 行 公 理 .(一 般 题 中 有 中 点 再 找 中 点 ,有分 点 再 找 分 点 得 平 行 关 系 .) “ 一 线 面 内 、一 线 面 外 、两 线 平 行 ”规 律 总 结4 数 学 思 想 方 法 ：转 化 化 归 的 思 想 方 法 ：将线面平行转化为线线平行将空间问题转化为平面问题 C1 A CB 1B MN A1 如 图 ， 三 棱 柱 ABC A1B1C1中 ， M、 N分 别 是 BC和 A1B1的 中 点 ， 求证 :MN 平 面 AA1C1C F证 明 ： 设 A1C1中 点 为 F,连 结 NF， FC N为 A1B1中 点 ， M是 BC的 中 点 ， NFCM为 平 行 四 边 形 ,故 MN CF例 ： 21B1C1 NF又 BC B1C1， MC 1/2B1C1 即 MC NF而 CF 平 面 AA 1C1C, MN平 面 AA1C1C, MN 平 面 AA1C1C, 例 ： 在 长 方 体 ABCD A1B1C1D1中 .（ 1） 作 出 过 直 线 AC且 与 直 线BD1平 行 的 截 面 ， 并 说 明 理 由 .（ 2） 设 E， F分 别 是 A1B和B1C的 中 点 ， 求 证 ：直 线 EF/平 面 ABCD. A B CC1DA1 B1D1E FM G H 如 图 所 示 ,正 方 体 ABCD A1B1 C1D1中 ， 侧 面 对 角 线 AB1，BC1上 分 别 有 两 点 E， F， 且 B1E=C1F.求 证 ： EF 平 面ABCD.分 析 ： 根 据 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 定 理 或 平 面 与 平 面平 行 的 性 质 定 理 来 证 明 . 证 明 分 别 过 E， F作 EM AB于 M，FN BC于 N， 连 接 MN. BB1 平 面 ABCD， BB1 AB， BB1 BC， EM BB1， FN BB1， EM FN.又 B1E=C1F， EM=FN，故 四 边 形 MNFE是 平 行 四 边 形 ， EF MN.又 MN 平 面 ABCD EF 平 面 ABCD，所 以 EF 平 面 ABCD. 例 ： 如 图 所 示 ， 已 知 S是 正 三 角 形 ABC所 在 平 面 外 的 一 点 ， 且 SA=SB= SC， SG为 SAB上 的 高 ， D、 E、 F分 别 是 AC、 BC、 SC的 中 点 ， 试 判 断 SG 与 平 面 DEF的 位 置 关 系 ， 并 给 予 证 明 . 解 SG 平 面 DEF， 证 明 如 下 ： 连 接 CG交 DE于 点 H， 连 接 FH， 如 图 所 示 . DE是 ABC的 中 位 线 ， DE AB. 在 ACG中 ， D是 AC的 中 点 ， 且 DH AG. H为 CG的 中 点 . FH是 SCG的 中 位 线 ， FH SG.又 SG 平 面 DEF， FH 平 面 DEF， SG 平 面 DEF.方 法 二 EF为 SBC的 中 位 线 ， EF SB. EF 平 面 SAB， SB 平 面 SAB， EF 平 面 SAB.同 理 可 证 ， DF 平 面 SAB， EF DF=F， 平 面 SAB 平 面 DEF， 又 SG 平 面 SAB， SG 平 面 DEF. 2 3 2 4 :复 习 回 顾一 条 直 线 和 一 个 平 面 有 三 种 位 置 关 系 ：（ 1） 直 线 在 平 面 内 有 无 数 个 公 共 点 。（ 2） 直 线 与 平 面 相 交 有 且 只 有 一 个 公 共 点 。（ 3） 直 线 与 平 面 平 行 没 有 公 共 点 。线 面 平 行 的 判 定 定 理 :如 果 平 面 外 一 条 直 线 和 这 个 平 面 内 的 一 条 直 线平 行 ， 那 么 这 条 直 线 与 这 个 平 面 平 行 。 / 推 理 形 式 : ab aa b ab简 记 ： 线 线 平 行 线 面 平 行 。 abca 那 么 直 线 会 与 平 面 内 那 些 线 平 行 呢 ？思 考 ： 如 果 一 条 直 线 与 平 面 平 行 ， 那 么这 条 直 线 是 否 与 这 平 面 内 的 所 有 直 线 都平 行 ？由 直 线 与 平 面 平 行 可 知 ， 这 条 直 线 与 这 个 平 面 内的 任 意 一 条 直 线 都 没 有 公 共 点 ， 所 以 它 们 只 能 平行 或 异 面 。 2 6 请 观 察 长 方 体 中 A1B1 、 AB和 平 面 ABB1A1 、 平面 ABCD的 位 置 关 系 ， 你 能 从 中 得 到 什 么 启 发 ？A B CDA1 B1 C1D1E F 2 7 ba, ,/ a a ba b 已 知 :直 线求 证 :证 明 ： /a a 与 没 有 公 共 点b 又 因 为 在 内a b 与 没 有 公 共 点a b 又 与 都 在 平 面 内 且 没 有 公 共 点/a b 2 8 直 线 和 平 面 平 行 的 性 质 定 理如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 平 行 ,经 过 这条 直 线 的 平 面 和 这 个 平 面 相 交 ,那 么 这条 直 线 和 交 线 平 行 。ba/ ba注 意 ：1、 定 理 三 个 条 件 缺 一 不 可 。2、 简 记 :线 面 平 行 线 线 平 行 。, ,aa b 2 9 l mn 例 、 设 平 面 、 、 两 两 相 交 ，且 ，若 ， 求 证 ： mnl ,，ml / /n l转 化 思 想 ： 线 线 平 行 线 面 平 行 线 线 平 行/l mlm / /ll n ln 3 02. 线 线 平 行 线 面 平 行 1.直 线 与 平 面 平 行 的 性 质 定 理总 结 ： ba/, ,aa b 3 1A B A1 D B1 D1 P C C1 M N 1 1 1 1 1 11 11 1, ,/ABCD ABC D P BB B BPA BA M PC BC NAC AC BMN ABCD 长 方 体 中 ， 点 （ 异 于 、 ）求 证 ： (1) 平 面（ 2） 平 面 3 2 A B A1 D B1 D1 P C C1 M NABCDMN 面/ 1 1/AC AC B 平 面1 1/AC AC B平 面 AC ACP平 面1 1AB PA MPC BC N 1 1ACP AC B MN 平 面 平 面/AC MNMN ABCD平 面AC ABCD平 面 1 1 1 1/AC AC A A CC 连 结 、 ， 在 长 方 体 中1 1AACC 四 边 形 是 平 行 四 边 形1 1 /AC AC 1 1AC AC平 面1 1 1 1AC AC平 面证 明 ： 3 3A B A1 D B1 D1 P C C1 M N 3 4A B A1 D B1 D1 P C C1 M N 1 1 1 1 1 11 11 1, ,/ABCD ABC D P BB B BPA BA M PC BC NAC AC BMN ABCD 长 方 体 中 ， 点 （ 异 于 、 ）求 证 ： (1) 平 面（ 2） 平 面 3 511 1 1 11 AACC CCPBNCPNNCCPBN AAPBMAPMMAAPBM NCPNMAPM ABCDAC ABCDMN MNAC 面 面 / ABCDMN 面/A BA1 D B1D1 P CC1M N 3 6 我 们 今 天 有 哪 些 收 获 ？ 还 有 什 么 疑 惑 ？2、 直 线 和 平 面 平 行 的 性 质 定 理3、 直 线 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 和 性 质 定 理 可 以进 行 “ 线 线 平 行 ” 和 “ 线 面 平 行 ” 的 相 互 转 化 ，实 现 空 间 问 题 平 面 化线 线平 行 在 平 面 内作 或 找 一直 线 线 面平 行 经 过 直 线 作 或 找平 面 与 平 面 相 交直 线 线 线平 行小 结 ：1、 直 线 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 3 7 / .( )l l 11.判 断 题 ：（ ） 直 线 平 行 于 平 面 内 无 数 条 直 线 ， 则 (2) a 若 直 线 在 平 面 外 ， 则 a/ ( )(3) / , , / .( )l b b l 若 直 线 则 (4) / , ,a b b a 若 直 线 则 平 行 于 内 无 数 条直 线 ( ）2.平 行 于 同 一 平 面 的 两 直 线 的 位 置 关 系 是 （ ） A. 一 定 平 行 B.平 行 或 相 交C. 相 交 D.平 行 、 相 交 或 异 面 D(1)l 可 能 在 内 (2)a 可 能 与 相 交(3)l 可 能 在 内 (4)平 行 公 理 可 以 保 证 3 8 1 /(2)34 /0 1 2 3l ll la aA B C D 下 列 命 题 正 确 的 个 数 是 （ ）（ ） 若 直 线 上 有 无 数 个 点 不 在 平 面 内 ， 则若 直 线 与 平 面 平 行 ， 则 与 平 面 内 的 任 意 一 直 线 平 行（ ） 两 条 平 行 线 中 的 一 条 直 线 与 一 个 平 面 平 行 ， 那 么另 一 条 也 与 这 个 平 面 平 行（ ） 若 一 直 线 和 平 面 内 一 直 线 平 行 ， 则（ ） 个 （ ） 个 （ ） 个 （ ） 个 3 9不 平 行内 有 无 数 条 直 线 与） 平 面（ 平 行内 有 且 只 有 一 条 直 线 与） 平 面（ 垂 直内 有 且 只 有 一 条 直 线 与） 平 面（ 垂 直 的 直 线内 不 存 在 与） 平 面（ ， 那 么平 面如 果 直 线 aD aC aB aA a / 例 ： 两 个 全 等 的 正 方 形 ABCD和 ABEF所 在 的 平 面 相 交于 AB， M AC， N FB， 且 AM FN， 求 证 ： MN平 面 BCE.思 路 点 拨 方 法 一 ： 过 M作 MP BC，过 N作 NQ BE， P、 Q为 垂 足 (如 图 1 )，连 结 PQ. MP AB， NQ AB， MP NQ.又 NQ BN CM MP， 四 边 形 MPQN是 平 行 四 边 形 . MN PQ.又 PQ 平 面 BCE， 而 MN 平 面 BCE， MN 平 面 BCE. 方 法 二 ： 过 M作 MG BC， 交 AB于 G(如 图 2 )， 连 结 NG. MG BC， BC 平 面 BCE，MG 平 面 BCE， MG 平 面 BCE.又 AM FN， AC BF， ， GN AF BE， 同 样 可 证 明 GN 平 面 BCE. MGNG G， 平 面 MNG 平 面 BCE.又 MN 平 面 MNG， MN 平 面 BCE. 如 图 ， 正 方 体 ABCDA1B1C1D1中 ， 侧 面 对 角线 AB1， BC1上 分 别 有 两点 M， N.且 B1M C1N.求 证 MN 平 面 ABCD. 证 明 ： 方 法 一 ： 分 别 过 M、 N作 MM AB于 M， NN BC于 N，连 结 MN. BB1 平 面 ABCD， BB1 AB， BB1 BC. MM BB1 ， NN BB1 . MM NN， 又 B1 M C1 N， MM NN. 故 四 边 形 MMNN是 平 行 四 边 形 ， MN MN，又 MN 平 面 ABCD， MN 平 面 ABCD， MN 平 面 ABCD. 方 法 二 ： 过 M作 MG AB交 BB1 于 G， 连 接 GN， 则 ， B1 M C1 N， B1 A C1 B， ， NG B1 C1 BC.又 MGNG G， ABBC B， 平 面 MNG 平 面 ABCD，又 MN 平 面 MNG， MN 平 面 ABCD. （ 1） 平 行 （ 2） 相 交 平 面 与 平 面 有 几 种 位 置 关 系 ？ 分 别 是 什 么 ？知 识 点 三 ： 平 面 与 平 面 平 行 的 判 定 认 识 1 如 果 两 个 平 面 平 行 ， 那 么 其中 一 个 平 面 内 的 所 有 直 线 一 定 都 和另 一 个 平 面 平 行 认 识 2 如 果 一 个 平 面 内 的 所 有 直 线都 和 另 一 个 平 面 平 行 ， 那 么 这 两 个平 面 平 行 对 面 面 平 行 的 认 识 （ 1） 中 的 平 面 ，不 一 定 平 行 。如 图 ， 借 助 长 方体 模 型 ， 平 面ABCD中 直 线 AD平行 平 面 BCCB，但 平 面 ABCD与 平面 BCCB不 平 行 。探 究 ： 平 行 吗 ？与则 平 行 ，与内 有 一 条 直 线） 、 若（ a1 探 究 ： 平 行 吗 ？与则 平 行分 别 与、内 有 两 条 直 线） 、 若（ ,2 ba P Q如 果 平 面 内 的 两 条 直 线 是 相 交的 直 线 ， 两 个 平 面 会 不 会 一 定平 行 ？如 果 平 面 内 的 两 条 直 线 是 平 行 直 线 ， 平 面 与 平 面 不 一 定 平 行 。 如 图 ， AD PQ，AD 平 面 BCCB， PQ BCCB， 但 平 面 ABCD与平 面 BCCB不 平 行 。 平 面 与 平 面 平 行 的 判 定 定 理 ： 一 个 平 面 内 有 两 条 相 交 直 线 与 另 一 个 平 面 平行 ,则 这 两 个 平 面 平 行 .简 述 为 ： 线 面 平 行 面 面 平 行 a b A /即 ： a b b/ a/ a b=A 线 不 在 多 ， 重 在 相 交 直 线 的 条 数 不 是 关 键直 线 相 交 才 是 关 键 abP判 定 定 理 剖 析 ： 判 定 定 理 :一 个 平 面 内 两 条 相 交 直 线 分 别平 行 于 另 一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平 行 . / 321结 论 ： 平 行 分 别 和 相 交 两 条内 有条 件 要 点 ： 直 线符 号 语 言 ： / ba Pbaba 证 题 思 路 ： 要 证 明 两平 面 平 行 ， 关 键 是 在其 中 一 个 平 面 内 找 出两 条 相 交 直 线 分 别 平行 于 另 一 个 平 面 . 练 习 ： 判 断 下 列 命 题 正 确 与 否 。1） 如 果 一 个 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行 于另 一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平 行 2） 如 果 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 平 行 于另 一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平 行 3） 如 果 一 个 平 面 内 的 无 数 条 直 线 平 行于 另 一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平 行 4） 如 果 一 个 平 面 内 的 任 何 一 条 直 线 都平 行 于 另 一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面平 行 （ 5） 若 平 面 内 的 两 条 直 线 分 别 与 平 面 平 行 ， 则 与 平 行 ；（ 6） 若 平 面 内 有 无 数 条 直 线 分 别 与 平 面 平 行 ， 则 与 平 行 ；（ 7） 平 行 于 同 一 直 线 的 两 个 平 面 平 行 ；（ 8） 两 个 平 面 分 别 经 过 两 条 平 行 直 线 ， 这 两 个 平 面 平 行 ；（ 9） 过 已 知 平 面 外 一 条 直 线 ， 必 能 作 出 与 已 知 平 面 平 行 的 平 面 （ 10） 与 同 一 条 直 线 所 成 角 相 等 两 个 平 面 平 行 . （ 11） 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 个 平 面 平 行 .（ 12） 平 行 于 同 一 平 面 的 两 个 平 面 平 行 . 例 ： 如 图 ， 在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1中 ，E、 F分 别 是 棱 BC与 C1D1的 中 点 。 求 证 ：面 EFG/平 面 BDD1B1. C1D1 B1A1 CD A B F E G 分 析 ： 由 FG B1D1易 得 FG 平 面 BDD1B1同 理 GE 平 面 BDD1B1 FG GE G故 得 面 EFG/平 面 BDD1B1证 题 思 路 ： 要 证 明 两 平 面 平 行 ， 关 键 是 在 其 中 一 个平 面 内 找 出 两 条 相 交 直 线 分 别 平 行 于 另 一 个 平 面 . 例 、 已 知 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1，求 证 ： 平 面 AB1D1 平 面 C1BD.分 析 ： 在 四 边 形 ABC1D1中 ，AB C1D1且 AB C1D1故 四 边 形 ABC1D1为 平 行 四 边 形 .即 AD1 BC1思 路 ： 只 要 证 明 一 个 平 面 内 有 两 条 相 交 的 直 线与 另 一 个 平 面 平 行 D1 B1A1 C1 C D A B 证 明 ： ABCD-A1B1C1D1是 正 方 体 , D1C1/A1B1， D1C1=A1B1, AB/A1B1， AB=A1B1, D1C1/AB， D1C1=AB, 四 边 形 D1C1BA为 平 行 四 边 形 , D1A/C1B, 又 D1A 平 面 C1BD， C1B 平 面 C1BD， D 1A/平 面 C1BD, 同 理 D1B1/平 面 C1BD,又 D1A D1B1=D1, D1A 平 面 AB1D1 , D1B1 平 面 AB1D1, 平 面 AB1D1/平 面 C1BD. 第 一 步 ： 在 一 个 平 面 内 找 出 两 条 相 交 直 线 ；第 二 步 ： 证 明 两 条 相 交 直 线 分 别 平 行 于 另 一 个 平面 。第 三 步 ： 利 用 判 定 定 理 得 出 结 论 。 m nm n m/ ,n/ / 判 断 下 列 命 题 是 否 正 确 ， 错 的 举 反 例 。（ 1） 已 知 平 面 ， 和 直 线 ， 若 ， ，则 反例 mn/ / （ 2） 一 个 平 面 内 两 条 不 平 行 的 直 线 都 平 行 于 另 一 个 平 面 ；则 3 分 别 在 两 个 平 行 平 面 内 的 两 条 直 线都 平 行 4 如 果 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 平 行 于另 一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平 行 5 如 果 一 个 平 面 内 的 任 何 一 条 直 线 都平 行 于 另 一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面平 行 例 :在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ，若 M、 N、 E、 F分 别 是 棱 A1B1， A1D1，B1C1， C1D1的 中 点 ， 求 证 ： 平 面 AMN/平 面 EFDB。 A B CA1 B1 C1D1D MN EF线 面 平 行 面 面 平 行线 线 平 行 ././,/ , , 求 证 ： ； ；已 知 ： dbca dc Pbaba ba dcP./ ,/,/, ././ ,/, baPbaba ba caac 同 理证 明 ：例 ： 证 明 面 面 平 行 的 方 法 有 ：1 面 面 平 行 的 定 义 ；2 面 面 平 行 的 判 定 定 理 ： 如 果 一 个 平 面 内 有 两 条 相 交 直线 都 平 行 于 另 一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平 行 ；3 利 用 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 个 平 面 平 行 ；4 两 个 平 面 同 时 平 行 于 第 三 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平行 ；5 利 用 “ 线 线 平 行 ” 、 “ 线 面 平 行 ” 、 “ 面 面 平 行 ” 的相 互 转 化 1、 如 图 ： 三 棱 锥 P-ABC, D,E,F分 别 是 棱PA， PB， PC中 点 ，求 证 ： 平 面 DEF 平 面 ABC。 PD E FA B C2、 如 图 ， B为 ACD所 在 平 面 外 一 点 ， M，N， G分 别 为 ABC， ABD， BCD的 重心 ， 求 证 ： 平 面 MNG 平 面 ACD。 BA C D NM G NM FEDCBA H例 ： 如 图 所 示 ， 平 面 ABCD平 面 EFCD = CD， M、 N、 H 分 别 是 DC、 CF、 CB 的 中 点 ， 求 证 平 面 MNH / 平 面 DBF AD1D C BA1 B1C1 A D1D CBA1 B1 C1EF G 如 图 所 示 ， 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 (1)求 证 ： 平 面 A1BD 平 面 B1D1C；(2)若 E、 F分 别 是 AA1、 CC1的 中 点 ，求 证 ： 平 面 EB1D1 平 面 FBD.思 维 点 拨 ： (1)证 BD 平 面 B1D1C， A1D 平 面 B1D1C；(2)证 BD 平 面 EB 1D1， DF 平 面 EB1D1. 【 例 】证 明 ： (1)由 B 1B綊 DD1， 得 四 边 形 BB1D1D是 平 行 四 边 形 ， B1D1 BD， 又 BD 平 面 B1D1C， B1D1 平 面 B1D1C， BD 平 面 B1D1C.同 理 A1D 平 面 B1D1C.而 A1DBD D， 平 面 A1BD 平 面 B1D1C. (2)由 BD B1D1， 得 BD 平 面 EB1D1.取 BB1中 点 G， 得 AE綊 B1G， 从 而 B1E AG.又 GF綊 AD， AG DF. B1E DF， DF 平 面 EB1D1.又 BDDF D， 平 面 EB 1D1 平 面 FBD. 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC A1B1C1中 ， D是 BC上 一 点 ，且 A1B 平 面 AC1D， D1是 B1C1的 中 点 求 证 ： 平 面 A1BD1 平 面 AC1D.变 式 3：证 明 ： 如 图 所 示 ， 连 结 A1C交 AC1于 E. 四 边 形 A1ACC1是 平 行 四 边 形 ， E是 A 1C的 中 点 ， 连 结 ED. A1B 平 面 AC1D， 平 面 A1BC 平 面 AC1D=ED， A1B ED. E是 A1C的 中 点 ， D是 BC的 中 点 D1是 B1C1的 中 点 ， BD1 C1D， A1D1 AD， 又 A 1D1 BD1=D1， 平 面 A1BD1 平 面 AC1D. 当 AB与 CD异 面 时 ， 设 平 面 ACD=DH， 且 DH=AC. ， 平 面 ACDH=AC， AC DH， 四 边 形 ACDH是 平 行 四 边 形 ，在 AH上 取 一 点 G， 使 AG GH=CF FD，又 AE EB=CF FD， GF HD， EG BH，又 EGGF=G， 平 面 EFG 平 面 . EF 平 面 EFG， EF .综 上 ， EF . (2)解 ： 如 图 所 示 ， 连 接 AD， 取 AD的 中 点 M， 连 接 ME， MF. E， F分 别 为 AB， CD的 中 点 ， ME BD， MF AC，且 ME= BD=3， MF= AC=2， EMF为 AC与 BD所 成 的 角 (或 其 补 角 )， EMF=60 或 120 ， 在 EFM中 由 余 弦 定 理 得 ，12 12 【 方 法 规 律 】1 直 线 和 平 面 平 行 时 ， 注 意 把 直 线 和 平 面 的 位 置 关 系 转 化 为 直 线 和 直 线 的位 置 关 系 ， 直 线 和 平 面 平 行 的 性 质 在 应 用 时 ， 要 特 别 注 意 “ 一 条 直 线 平行 于 一 个 平 面 ， 就 平 行 于 这 个 平 面 的 一 切 直 线 ” 的 错 误 结 论 2 以 求 角 为 背 景 考 查 两 个 平 行 平 面 间 的 性 质 ， 也 可 以 是 已 知 角 利 用 转 化 和降 维 的 思 想 方 法 求 解 其 他 几 何 参 量 3 线 面 平 行 和 面 面 平 行 的 判 定 和 性 质 ： 4 要 能 够 灵 活 地 作 出 辅 助 线 或 辅 助 平 面 来 解 题 对 此 需 强 调 两 点 ： 第 一 ，辅 助 线 、 辅 助 面 不 能 随 意 作 ， 要 有 理 论 根 据 ； 第 二 ， 辅 助 线 或 辅 助 面 有什 么 性 质 ， 一 定 要 以 某 一 性 质 定 理 为 依 据 ， 决 不 能 凭 主 观 臆 断 ， 否 则 谬 误 难免 . 【 高 考 真 题 】(2009福 建 卷 )设 m， n是 平 面 内 的 两 条 不 同 直 线 ； l1， l2是 平 面 内 的两 条 相 交 直 线 ， 则 的 一 个 充 分 而 不 必 要 条 件 是 ( )A m 且 l1 B m l1且 n l2C m 且 n D m 且 n l2 【 规 范 解 答 】解 析 ： 选 项 A作 条 件 ， 由 于 这 时 两 个 平 面 中 各 有 一 条 直 线 与 另 一 个 平 面 平 行 ， 不 能得 到 ， 但 却 能 得 到 选 项 A， 故 选 项 A是 必 要 而 不 充 分 条 件 ； 选 项 B作 条 件 ，此 时 m， n一 定 是 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 (否 则 ， 则 推 出 直 线 l1 l2， 与 已 知 矛 盾 )，这 就 符 合 两 个 平 面 平 行 的 判 定 定 理 的 推 论 “ 一 个 平 面 内 如 果 有 两 条 相 交 直 线 分 别 平行 于 另 一 个 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 ， 则 这 两 个 平 面 平 行 ” ， 故 条 件 是 充 分 的 ， 但 是在 时 ， 由 于 直 线 m， n在 平 面 内 的 位 置 不 同 ， 只 能 得 到 m， n与 平 面 平 行 ， 得不 到 m l 1， n l2的 结 论 ， 故 条 件 是 不 必 要 的 ， 故 选 项 B中 的 条 件 是 充 分 而 不 必 要 的 ； 选 项 C作 条 件 ， 由 于 m， n只 是 平 面 内 的 两 条 不 同 直 线 ， 这 两 条 直 线 可 能 相 互平 行 ， 故 得 不 到 的 必 然 结 论 ， 这 个 条 件 是 不 充 分 的 ， 但 却 能 得 到 选 项C， 故 选 项 C是 必 要 而 不 充 分 条 件 ； 选 项 D作 条 件 ， 由 n l2可 得 n ， 平 面 内的 直 线 m， n分 别 与 平 面 平 行 ， 由 于 m， n可 能 平 行 ， 得 不 到 的 必 然 结 论 ，故 这 个 条 件 是 不 充 分 的 ， 当 时 ， 只 能 得 到 m 但 得 不 到 n l2， 故 条 件 也不 是 必 要 的 ， 故 选 项 D中 的 条 件 是 既 不 充 分 也 不 必 要 的 答 案 ： B 本 题 是 教 材 上 两 个 平 面 平 行 的 判 定 定 理 的 推 论 ， 隐 含 了 一 个 必 然 关 系 “ m，n为 相 交 直 线 ” 而 设 计 出 来 的 ， 目 的 是 考 查 考 生 对 两 个 平 面 平 行 关 系 及 充 分必 要 关 系 的 掌 握 【 探 究 与 研 究 】 解 本 题 很 容 易 出 现 把 充 分 而 不 必 要 条 件 判 断 为 必 要 而 不 充 分 条 件 的 错 误 ， 问 题的 根 源 是 作 为 选 择 题 ， 在 题 目 的 叙 述 上 和 一 般 问 题 中 的 叙 述 正 好 相 反 在 一 般问 题 的 叙 述 中 往 往 是 给 出 条 件 P， Q后 ， 设 问 P是 Q的 什 么 条 件 ， 其 解 决 方 法 是看 P Q、 Q P能 不 能 成 立 ， 确 定 问 题 的 答 案 ， 但 在 选 择 题 中 却 把 “ P是 Q的 什么 条 件 ” 中 的 条 件 P放 到 了 选 项 中 ， 而 把 Q放 在 了 题 干 中 ， 这 就 容 易 使 考 生 误以 为 “ Q是 P的 什 么 条 件 ” ， 导 致 错 解 题 目 考 生 在 解 决 充 要 条 件 的 问 题 时 一定 要 注 意 题 目 中 所 说 的 什 么 是 P， 什 么 是 Q. 解 决 这 类 空 间 线 面 位 置 关 系 的 判 断 题 ， 要 善 于 利 用 常 见 的 立 体 几 何 模 型 (如 长 方体 模 型 ， 空 间 四 边 形 模 型 ) 作 为 选 择 题 要 善 于 排 除 最 不 可 能 的 选 项 ， 如 选 项 A、C， 通 过 简 单 的 回 顾 两 个 平 面 平 行 的 判 定 定 理 ， 首 先 就 可 以 排 除 ， 选 项 D和 选 项C基 本 一 致 ， 也 可 以 排 除 ， 就 剩 下 了 选 项 B.解 答 选 择 题 要 学 会 排 除 法 . (2009 山 东 卷 )如 图 ， 在 直 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1中 ， 底 面 ABCD为 等 腰 梯形 ， AB CD， AB 4， BC CD 2， AA1 2， E、 E1、 F分 别 为 棱 AD、 AA1、AB的 中 点 ， 求 证 ： 直 线 EE1 平 面 FCC1.思 维 点 拨 ： 在 平 面 FCC 1中 找 一 条 线 平 行 于 EE1或 证 平 面 ADD1A1 平 面 FCC1均 可 . 【 例 】 证 明 ： 证 法 一 ： 取 A1B1的 中 点 为 F1， 连 结 FF1， C1F1， 由 于 FF1 BB1 CC1，所 以 F1 平 面 FCC1， 因 此 平 面 FCC1即 为 平 面 C1CFF1.连 结 A1D， F1C， 由 于A1F1 D1C1 CD， 所 以 四 边 形 A1DCF1为 平 行 四 边 形 ， 因 此 A1D F1C.又EE1 A1D， 得 EE1 F1C， 而 EE1平 面 FCC1， F1C平 面 FCC1， 故 EE1 平 面FCC1. 证 法 二 ： 因 为 F为 AB的 中 点 ， CD=2， AB=4， AB CD，所 以 CD AF， 因 此 四 边 形 AFCD为 平 行 四 边 形 ， 所 以 AD FC.又CC 1 DD1， FCCC1=C， FC平 面 FCC1， CC1平 面 FCC1， 所 以 平 面ADD1A1 平 面 FCC1， 又 EE1平 面 ADD1A1， 所 以 EE1 平 面 FCC1. 如 图 所 示 ， 在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1中 ， O为 正 方 形 ABCD的 中 点 ， 求 证 ： B1O 平 面 A1C1D.变 式 1：证 明 ： 分 别 连 结 BD和 B1D1， 则 O BD且 A1C1B1D1 O1. BB 1綊 DD1， BB1D1D是 平 行 四 边 形 BD綊 B1D1， OD綊 O1B1.连 结 O1D， 则 四 边 形 B1ODO1是 平 行 四 边 形 ， B1O DO1. DO1 平 面 A1C1D， B1O 平 面 A1C1D，且 B 1O DO1， B1O 平 面 A1C1D. 已 知 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 点 P是 平 面 ABCD外 一 点 ， M是 PC的 中 点 ，在 DM上 取 一 点 G， 过 G和 AP作 平 面 交 平 面 BDM于 GH， 求 证 ： AP GH.思 维 点 拨 ： 先 将 三 角 形 中 位 线 的 线 线 平 行 关 系 转 化 为 线 面 平 行 ，然 后 由 线 面 平 行 转 化 为 所 要 证 明 的 线 线 平 行 【 例 】证 明 ： 如 图 所 示 ， 连 结 AC， 交 BD于 O， 连 结 MO， 由 ABCD是 平 行 四 边 形 得 O是 AC的 中 点 又 M是 PC的 中 点 ，知 AP OM， AP 平 面 BMD， DM 平 面 BMD， 故 PA 平 面 BMD.由 平 面 PAHG平 面 BMD GH， 知 PA GH. 如 图 所 示 ， 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 (1)求 证 ： 平 面 A1BD 平 面 B1D1C；(2)若 E、 F分 别 是 AA1、 CC1的 中 点 ，求 证 ： 平 面 EB1D1 平 面 FBD.思 维 点 拨 ： (1)证 BD 平 面 B1D1C， A1D 平 面 B1D1C；(2)证 BD 平 面 EB 1D1， DF 平 面 EB1D1. 【 例 】证 明 ： (1)由 B 1B綊 DD1， 得 四 边 形 BB1D1D是 平 行 四 边 形 ， B1D1 BD， 又 BD 平 面 B1D1C， B1D1 平 面 B1D1C， BD 平 面 B1D1C.同 理 A1D 平 面 B1D1C.而 A1DBD D， 平 面 A1BD 平 面 B1D1C. (2)由 BD B1D1， 得 BD 平 面 EB1D1.取 BB1中 点 G， 得 AE綊 B1G， 从 而 B1E AG.又 GF綊 AD， AG DF. B1E DF， DF 平 面 EB1D1.又 BDDF D， 平 面 EB 1D1 平 面 FBD. 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC A1B1C1中 ， D是 BC上 一 点 ，且 A1B 平 面 AC1D， D1是 B1C1的 中 点 求 证 ： 平 面 A1BD1 平 面 AC1D.变 式 3：证 明 ： 如 图 所 示 ， 连 结 A1C交 AC1于 E. 四 边 形 A1ACC1是 平 行 四 边 形 ， E是 A 1C的 中 点 ， 连 结 ED. A1B 平 面 AC1D， 平 面 A1BC 平 面 AC1D=ED， A1B ED. E是 A1C的 中 点 ， D是 BC的 中 点 D1是 B1C1的 中 点 ， BD1 C1D， A1D1 AD， 又 A 1D1 BD1=D1， 平 面 A1BD1 平 面 AC1D. ab ,求 证 :已 知 : a b ,a .b 所 以证 明 : 因 为 , 所 以 与 没 有 公 共 点 ,ab因 而 交 线 , 也 没 有 公 共 点 ,a b又 因 为 , 都 在 平 面 内 ,a .b知 识 点 四 、 两 个 平 面 平 行 的 性 质 : 如 果 两 个 平 行 平 面 同 时 和 第三 个 平 面 相 交 ， 那 么 它 们 的 交 线 平 行 性 质 定 理 ： 合 作 探 究 ：如 果 两 个 平 面 平 行 ， 那 么（ ） 一 个 平 面 内 的 直 线 是 否 平 行 于 另 一 个 平 面 ?（ ） 分 别 在 两 个 平 面 内 的 两 条 直 线 是 否 平 行 ？ 对 于 第 一 个 问 题 根 据 线 面 平 行 和 面 面 平 行 的 概念 可 知 正 确 第 二 个 问 题 有 两 中 可 能 ： 分 别 是 平 行 或 异 面 .（ 3） 平 行 于 同 一 个 平 面 的 两 个 平 面 是 否 平 行 。 结 论 2:平 行 于 同 一 个 平 面 的 两 个 平 面 平 行 。 / 结 论 1： 如 果 两 个 平 面 平 行 ， 那 么 一个 平 面 内 的 直 线 一 定 平 行 于 另 一 个 平面 。两 个 重 要 结 论 ： 例 .已 知 两 条 直 线 和 三 个 平行 平 面 都 相 交 ， 求 证 所 截得 的 线 段 对 应 成 比 例 a b ABC DEF1E 1F已 知 :求 证 : AB DEBC EF , b 直 线 和 分 别 交于 点 A、 B、 C和 点 D、 E、 F，a分 析 : 过 点 A作 平 行 于 直 线 的直 线 交 于 点 和 ， b, 1F1E连 接 1,BE 1,CF 1,EE,AD 1.FF和 b a A ab 判 定 定 理 :一 个 平 面 内 两 条 相 交 直 线 分 别 平 行 于 另一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平 行 . 结 论 ： 1、 如 果 两 个 平 面 平 行 ， 那 么 一 个 平 面 的 直 线一 定 平 行 于 另 一 个 平 面 。结 论 ： 2、 平 行 于 同 一 个 平 面 的 两 个 平 面 平 行 。 推 论 ： 如 果 一 个 平 面 内 有 两 条 相 交 直 线 分 别 平 行 于另 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 ， 那 么 这 两 个 平 面 平 行 . 线 面 平 行面 面 平 行线 线 平 行 如 果 两 个 平 行 平 面 同 时 和 第三 个 平 面 相 交 ， 那 么 它 们 的 交 线 平 行 性 质 定 理 ： 例 ： 平 面 /平 面 ， 直 线 a， b相 交 于 点 S， 且 直 线 a分 别 交 、 于 点 A、 B， 直 线 b分 别 交 、 于 点 C、 D,已 知 AS=1， BS=2， CD=9， 求 线 段 CS的 长 。 ab SBD ACb aS BD A C 例 :1.判 断 下 列 命 题 是 否 正 确 ,并 说 明 理 由 .(1).过 已 知 平 面 外 一 点 ,有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 平 面 平 行 . ( )(2)过 已 知 平 面 外 一 条 直 线 ,必 能 作 出 与 已 知 平 面 平 行 的 平 面 . ( ) 2.六 棱 柱 的 表 面 中 ,互 相 平 行 的 面 最 多有 _对 . 4 3.求 证 :夹 在 两 个 平 行 平面 间 的 平 行 线 段 相 等 . A A B B已 知 : , ,BBAA ,B .B ,A ,A 求 证 : AA BB 证 明 : ,BBAA因 为, .AB AB 连 结 .AA BB 所 以 经 过 ， 能 确 定 一 个 平 面 ， 记 为 平 面 AB AB ABAABB 是 平 行 四 边 形 .AA BB AB BBAA 例 如 图 : 已 知 正 方 体 求 证 : 1 1 1/ .B AD BC D平 面 平 面 1 1 1 1.ABCD ABC D定 理 的 应 用证 明 : 为 正 方 体 D1C1/ AB ， 且 D1C1 = AB， D1C1AB为 平 行 四 边 形 ， 则 D1A/C1B. 1111 DCBAABCD 1 1 1 1D A C BD C B C BD 又 平 面 ， 平 面 ，1 1 1 1,D A D B D又所 以 平 面 AB1D1/平 面 C1BD.所 以 ， D1A/平 面 C1BD， 同 理 ， D1B1/平 面 C1BD， D1 C1A1A B CD B1 例 2 已 知 ： 如 图 ， / ， 点 P是 平 面 ， 外 一 点 ， 直 线 PAB, PCD分 别 与 ， 相 交 于 点 A,B和 C,D: 求 证 ： (1)AC/BD; (2)已 知 PA=4,AB=5,PC=3,求 PD的 长 。A DB CP