点和直线-画法几何基础

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第1章 点和直线,第1章 点和直线,1.1 点的投影,1.2 两点的相对位置,1.3 直线的投影,1.4 线段的实长和对投影面的倾角,1.5 点、直线与直线的相对位置,本章小结,投影法及其分类,投影法及其分类,一、投影法的基本知识,P,投射线,投射中心,投影,A,S,a,投影法的分类,：,中心,投影法和,平行,投影法,中心投影法,二、中心投影法,投射线都由一点出发的投影法叫,中心投影法，所得的投影叫中心投影。,投射线,物体,投影面,投影,投射中心,S,中心投影法,投,射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。,度量性较差。,投 影 特 性,物体位置改变，投影大小也改变。,中心投影法立体感强，常用来绘制建筑物,或产品的立体图，也称之为,透视图,。,平行投影法,三、平行投影法,投射线都互相平行的投影法叫平行,投影法，所得的投影叫平行投影。,平行投影法：,正投影法,斜投影法,平行投影法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。,度量性较好。,工程图样多数采用正投影法绘制。以后将,“正投影”,简称为,“投影”,。,投影法小结,投影法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,1.1 点的投影,P,b,A,P,采用多面投影,过空间点,A,向投影面,P,作垂线，交点,a,唯一确定。,B,3,B,2,B,1,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,1.1,点的投影,反之，已知投影,b,，,不能确定空间点,B,。,四个分角,两个互相垂直的平面将空间划分为,四个分角,：,第一分角、第二分角、第三分角和第四分角,。,X,V,H,O,正（立）投影面,水平投影面,点的三面投影,H,W,V,二、点的三面投影,投影面,正立投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧立投影面（简称侧面或W面）,投影轴,O,X,Z,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,Y,点的三面投影,H,W,V,O,X,Z,Y,空间点A在三个投影面上的投影,a,点,A,的正面投影,a,点,A,的水平投影,a,点,A,的侧面投影,a,a,a,A,注意,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,点的三面投影,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,x,a,a,z,a,y,组成,了一个长方体,aa,y,=,a,a,z,= x,=,A,a,（,A到W面的距离,）,a,a,x,=,a,a,y,= z,=,A,a,（,A到H面的距离,）,= y,=,A,a,（,A到V面的距离,）,aa,x,=,a,a,z,投影面的展开,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,x,a,a,z,a,y,不动,向下翻,向右翻,投影面展开,W,V,H,a,YW,a,YH,a,z,a,Y,W,Z,X,Y,H,O,a,a,x,a,投影面的展开,点的投影规律,a,a,OZ,轴,a,a,OX,轴,Y,w,Z,a,z,a,X,a,Yw,O,a,a,x,a,YH,a,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,x,a,a,z,a,y,aa,y,=,a,a,z,= x,=,A,a,（,A到W面的距离,）,a,a,x,=,a,a,y,= z,=,A,a,（,A到H面的距离,）,= y,=,A,a,（,A到V面的距离,）,aa,x,=,a,a,z,Y,H,投影面和投影轴上点的投影,投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。,原点上的点 （0、0、0）,投影轴上点：空间点的坐标值有两个为零。,X 轴上点 （X、0、0）,Y 轴上点 （0、Y、0）,Z 轴上点 （0、0、Z）,一般位置点,空间点的三个坐标值,X,、,Y,、,Z,均不为零，称该点为,一般位置点,。,特殊位置点,投影面和投影轴上点的投影,X,Z,O,V,H,M,m,k,n,n,N,n,m,m,k,K,k,Y,W,Z,X,Y,H,O,k,k,k,n,n,n,m,m,m,投影面和投影轴上点的投影,W,Y,例1：已知,A,点的坐标(20,15,10),B,点的坐标 (30,10,0)，,C,点的坐标(15,0,0),作出各 点的三面投影图。,B点在H面上，C点在X轴上,a,a,a,Y,H,Z,X,Y,W,20,10,15,b,b,b,c,c,c,例2：已知点的两个投影，求第三投影。,通过作45辅助线使,a,a,z,=aa,x,a,b,b,b,a,a,Y,H,Z,X,Y,W,O,H,W,V,O,X,Z,Y,两点的相对位置指两点在空间的,上下、前后、左右,位置关系。,1.2,两点的相对位置,上,右,下,左,上,下,后,前,左,前,右,后,一、两点的相对位置的确定,Z,X,Y,H,O,Y,W,上,下,后,前,后,前,左,右,判断方法,x,坐标大的在左,y,坐标大的在前,z,坐标大的在上,B,点在,A,点之前、之右、之下。,Z,b,a,a,a,b,b,X,Y,W,o,Y,H,例如图，已知点A的三投影，另一点B在点A上方8mm，左方12mm，前方10mm处，求点B的三个投影。,a,a,a,Y,H,Z,X,Y,W,O,b,b,b,作图步骤：,1)在,a,上方8mm ,左方12mm处确定,b,；,2)作,b,b,OX,且在,a,前方10mm处确定,b,；,3)按投影关系求得,b,点A、B对H面的投影重合，,二、重影点的投影,X,V,H,B,a,b,a,d,A,c,(b),c,(d,),D,C,点C、D对V面的投影重合。,a (b),b,a,c,d,c,(d,),重影点,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,对,水平投影面，,对正面投影面，,对侧面投影面，,前遮后,上遮下,左遮右,X,o,a,b,b,b,两点确定一条直线，将两点的,同面投影,用直线连接，就得到直线的同面投影。, 直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,B,A,a,b,直线投影面,重合为一点,积 聚 性,直线投影面,反映实长,ab,=,AB,直线投影面,投影长变短,ab,=,AB,.cos,A,B,a,b,A,C,B,a,(,b,) (,c,),1.3,直线的投影,a,a,Y,H,Z,X,Y,W,O, 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,平行于某一投影面而,与其余两投影面倾斜,投影面垂直线,正平线,(V,H,W),侧平线,(W,H,V),水平线,(H,V,W),正垂线,(V,H,W),侧垂线,(W,H,V),铅垂线,(H,V,W),统称特殊位置直线,垂直于某一投影面,取决于直线与三个投影面的相对位置。,一般位置直线,( H , V,W),与三个投影面都倾斜,H,V,W,直线与投影面夹角,与H面的夹角:倾角,与W面的夹角:倾角,a,b,A,B,a,b,与V面的夹角:倾角,a,b,W,H,V,一般位置直线(H ,V,W,),三个投影都倾斜于投影轴，且都小于实长。,投影特性,各个投影与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。,a,b,A,B,a,b,a,b,Z,Y,H,a,O,X,b,Y,W,a,b,a,b,V,H,W,投影面平行线,水平线,(H,V,W),实长, 平行于投影面反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。, 另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴。,投影特性,a,b,A,B,X,Z,O,Y,H,Y,W,b,a,a,b,a,b,b,a,b,a,侧平线,正平线,实长,实长,b,a,a,b,a,b,b,a,a,b,b,a,例 如图，已知直线,EF,为水平线,30, 实长为20 mm，试完成直线,EF,的三面投影。,本题有几解？,实长 20 mm,f,e,e,f,X,O,f,e,Y,H,Y,W,Z,投影面平行线,名称,立体图,投影图,投影特性,水平线,（,H）,正平线,（,V,）,侧平线,（,W）,(1)a,b,OX,a,b,OY,W,；(2)ab=AB；(3)反映夹角,、,大小,(1)abOX,a,b,OZ；(2)a,b,=AB；(3)反映夹角,、,大小,(1)abOY,H,a,b,OZ；(2)a,b,=AB；(3)反映夹角,、,大小, 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影,，,反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。, 垂直于投影面 ，投影积聚为一点,。,投影特性,a,b,a,b,c,(,d,),c,d,d,c,e,f,e,f,e,(,f,),a,(,b,),投影面垂直线,名称,立体图,投影图,投影特性,铅垂线,（,H）,正垂线,（,V）,侧垂线,（,W）,(1)H投影为一点，有积聚性；(2)a,b,OX,a,b,OY,W,；(3)a,b,=,a,b, =AB,(1)V投影为一点，有积聚性；(2)ab,OX,a,b,OZ,；(3)ab,=,a,b, =AB,(1)W投影为一点，有积聚性；(2)ab,OY,H,a,b,OZ,；(3)ab,=,a,b, =AB,特殊位置直线,水平线,O,a,实长,b,a,X,b,铅垂线,c,cd,X,d,O,实长,一般位置直线,O,e,e,X,f,f,1.4,直线段的实长和对投影面的倾角,一般位置直线的投影，既不能反映该线段的实长，又不能反映对投影面的倾角。本节介绍用,直角三角形法,求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。,H,V,a,a,A,b,B,b,一、几何分析,B,1,A,1,(a),立体图,(b),投影图,Y,A,Y,B,Z,B,Z,A,B,a,b,X,a,b,O,直角三角形法,在直角三角形,AB,1,B,中,，AB,1,=ab, B,1,B=Bb-Aa,特殊位置直线,水平线,O,a,实长,b,a,X,b,铅垂线,c,cd,X,d,O,实长,一般位置直线,O,e,e,X,f,f,1.4,直线段的实长和对投影面的倾角,一般位置直线的投影，既不能反映该线段的实长，又不能反映对投影面的倾角。本节介绍用,直角三角形法,求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。,H,V,a,a,A,b,B,b,一、几何分析,B,1,A,1,(a),立体图,(b),投影图,Y,A,Y,B,Z,B,Z,A,B,a,b,X,a,b,O,直角三角形法,在直角三角形,AB,1,B,中,，AB,1,=ab, B,1,B=Bb-Aa,二、作图方法,有两种作图方式。,(1) 求直线AB的实长和倾角,B,0,AB实长,(c),b,0,AB实长,a,b,X,a,b,O,A,0,b,B,0,=,bb,0,b,0,A,0,=,a,b,(2) 求直线AB的实长和倾角,AB实长,B,0,(d),a,0,A,0,AB实长,a,b,a,X,b,O,a,A,0,=,aa,0,a,0,B,0,=,a,b,三、三个直角三角形的含义,X,a,b,b,a,Y,w,O,Y,H,b,a,Z,AB实长,AB实长,AB实长,Z,水平投影,实长,X,侧面投影,实长,Y,正面投影,实长,在直角三角形中，一直角边为直线在某投影面上的投影长度，另一直角边为直线两端点到某投影面的距离差，斜边为该直线的实长，距离差所对应的角是直线对投影面的倾角。这种利用直角三角形求一般位置直线实长和倾角的方法叫,直角三角形法,。（对应于求、有三个不同的三角形）,例1：已知线段,AB,的实长,L,和,a,b,及端点,A,的水平投影,a,，,求线段,AB,的水平投影,ab,。,a,a,X,b,O,A,B,L,b,2,b,1,A,0,有两解,利用,Z,和,AB,L,，确定,ab,的长度，求出,b,。,L,Z,水平投影,实长,例1：已知线段,AB,的实长,L,和,a,b,及端点,A,的水平投影,a,，,求线段,AB,的水平投影,ab,。,a,a,X,b,O,A,B,L,b,2,b,0,b,1,R,L,A,0,利用,a,b,和,AB,L,，确定,A、B,两点的,Y,坐标差，从而求出,b,；,有两解,Y,正面投影,实长,利用,e,f,和实长，确定,E、F,两点的,Y,坐标差，从而求出,f,。,或利用,Z,和实长，确定,ef,的长度，求出,f,。,例2：已知线段,EF,的,投影,e,f,及,e,，,实长35mm，,完成它的,投影,。,X,O,Y,H,Y,W,f,e,e,f,e,Z,f,实长35,Z,水平投影,实长,Y,正面投影,实长,点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。,点分割线段成定比。即：,AC:CB=,ac,:,cb,=,a,c,:c,b,=,a,c,:c,b,定比定理,1.5,点、,直线与直线的相对位置,一、直线上的点,H,c,V,A,B,a,b,a,b,C,W,a,c,b,c,a,c,X,Y,W,Y,H,b,O,Z,b,a,c,b,a,c,例1：判断点C是否在线段AB上。,c,a,b,c,a,b,a,b,c,a,b,c,在,不在,c,a,a,b,c,b,c,不在,利用定比定理,另一判断法,?,a,b,ac,:,cb,=,a,c,:c,b,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：,（利用第三投影）,解法二：,（利用定比定理）,a,a,b,b,k,a,b,k,k,a,a,b,b,k,k,例3：如图，已知线段,AB,的投影,（,ab,a,b,),试在线段,AB,上,取一点,C,，,使,AC,之长等于给定长度,L,，,求点,C,的投影,（,c,和,c,）。,a,b,X,a,b,O,B,0,C,0,c,c,（1）先用直角三角形法求出线段AB的实长,a,B,0,；,作图,步骤：,（2）在,a,B,0,上自,a,点起截取长度为L得C,0,点；,（3）自C,0,点作,b,B,0,的平行线，与,a,b,交于点,c,；,（4）自,c,点引投影连线，与,a,b,交于,c,点，,c,和,c,即为所求。,L,分析,：,accbaccb12，可用比例作图法作图。,作图步骤：,1）过a(或b)任作一直线aB,1,（或bB,1,) ；,2）在aB,1,上取C,1,，使aC,1,C,1,B,1,12；,3）连接B,1,、b；,4）过C,1,作C,1,cB,1,b，与ab交于c；,5）过c作X轴的垂线与ab交于c。,则c、c即所求分点C的投影。,例,3,：,在AB线段上取一点C，使ACCB12，求点C的投影。,e,k,f,e,k,1,k,f,K,1,E,1,X,例2 已知直线EF及点K的二投影，是判断点K是否在直线EF线上。,分析：,根据直线上的点的投影性质来解题。因EF是侧平线，所以此题有两种解法:(1)画出其W投影，观察k,是否在ef上；（2）不做W投影，而用比例作图法判断点K。,作图步骤：,1）在H投影上，过f（或e）任作一条直线fE,1,;,2) 在,fE,1,上取f,K,1,=f,k,K,1,E,1,= k,e,;,3) 连接,E,1,e，过K,1,作直线平行于E,1,e，与fe交于k,1,；因已知投影k与,k,1,不重合，所以点K不在直线EF上。,H,V,二、两直线的相对位置,平行、相交、交叉（异面）, 两直线平行,空间两直线平行，则其,三面投影,必相互平行，反之亦然。,b,c,d,a,A,C,D,B,a,c,d,b,c,d,a,b,O,X,ab,cd,，,a,b,c,d,，,a,b,c,d,AB,CD,d,a,c,b, 两直线相交,若空间两直线相交，则其三面投影必相交，且交点的投影符合点的投影特性。,交点是两直线的共有点,V,X,H,k,k,K,a,c,d,b,O,D,C,A,B,a,c,b,d,c,a,b,d,b,a,c,d,k,k,d,k,k,d,例1：过C点,作水平线,CD与AB相交。,先作正面投影,c,a,b,b,a,c,c,d,a,b,c,d,例2：判断直线AB、CD的相对位置。,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合点的投影特性。,判断方法？, 应用定比定理, 利用侧面投影,b,a, 两直线交叉,不相交！,交点不符合点的投影规律！,c,a,b,d,O,X,a,c,b,d,a,c,A,C,V,b,H,d,D,B,b,d,a,c,c,a,b,d,b,a,c,d,a,c,c,A,a,C,V,b,H,d,d,D,B,b,O,X,1(2),投影特性,：, 同面投影可能相交，但,“交点”,不符合点的投影规律,。,“交点”,是两直线上的一对,重影点的投影,。,2,1,1(2),4,3(4 ),3,3,4,3,(,4,),1,2,情况,立体图,投影图,投影特性,平行两直线,相交两直线,相错两直线,若空间两直线相互平行，则其各同面投影也一定相互平行。反之，若两直线的各同面投影相互平行，则此两直线在空间一定相互平行,若空间两直线相交，则其各同面投影也一定相交，且交点一定符合点的投影规律。反之，若两直线的各同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则此两直线在空间一定相交,若两直线既不平行又不相交，为相错直线。它可能有一个或两个同面投影相互平行；也可能有一个、两个或三个同面投影相交，但其交点不符合点的投影规律，这些电都是重影点,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同面投影互相平行，空间直线不一定平行。,a,b,c,d,c,b,a,d,d,b,a,c,b,d,c,a,a,b,c,d,c,a,b,d,三、垂直两直线的投影（直角投影定理）,若直角的两边同时平行于某个投影面，则此直角在该投影面上的投影仍为直角。,若直角有一边平行于某个投影面(另一边不垂直于该投影面)，则此直角在该投影面上的投影仍为直角。此投影特性，称为直角投影定理。,1.,垂直相交两直线,X,O,a,b,c,a,c,b,H,B,C,A,c,b,a,AB,H,面,c,AB,BC,，,且,AB,H ，,则有,ab,bc,三、垂直两直线的投影（直角投影定理）,直角投影定理,当相交两直线,互相,垂直,（即成直角）,，且其中一条直线,平行,于某投影面，则两直线在,该投影面,上的投影仍,互相,垂直,。,相交两直线在某一投影面上的投影互相,垂直,（即成直角）, 且其中有一条直线,平行,于该投影面，则这两直线在,空间,必互相,垂直,。,注,：该定理也适合空间,垂直交叉,两直线。,逆定理,直角投影定理,一、垂直相交的两直线的投影,定理一,垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。,定理二,相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,二、交叉垂直的两直线的投影,定理三,相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。,定理四,两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,二、交叉垂直的两直线的投影,AB,MN,且,AB,H ，,则有,ab,mn,c,X,O,a,b,a,c,d,d,例1 判断两直线是否垂直,X,O,b,a,a,a,b,b,b,a,a,a,b,b,b,c,c,c,d,c,d,c,c,相交垂直,相交垂直,交叉垂直,交叉垂直,a,b,b,c,AB,V,ab,b,c,AB,H,ab,b,c,AB,H,a,b,b,c,AB,V,O,例2试求,A,点至水平线,BC,的距离。,k,k,相交垂直,AK,BC,BC,H,c,a,b,a,c,X,b,Z,AK,所求距离,ak,b,c,分析：,1.作投影,2.求实长,例 过点,A,作线段,EF,的垂线,AB,，并使,AB,平行于,V,面。,b,b,a,a,f,e,e,f,X,O,分析：,AB,EF,，,AB,V,则有,a,b,e,f,AB,V,则有,a,b,OX,例 过点,E,作线段,AB、CD,的公垂线,EF,。,c,b,b,a,c,d,d,f,e,e,f,X,O,a,c,X,O,a,b,b,a,c,d,d,例 求,AB、CD,两直线的公垂线,EF,。,f,e,e,f,分析：,1、,AB,是铅垂线,，,水平投影具有积聚性。,又,EF,AB,，,所以,EF,H,2、,EF,CD,，,EF,H,，,则有,ef,cd,例 已知菱形,ABCD,的一条对角线,AC,为一正平线， 菱形的一边,AB,位于直线,AM,上，求该菱形的投影。,X,O,a,c,m,c,b,a,k,m,d,k,b,d,分析：,AC,BD,，,AC,V,则有,a,c,b,d,小结,A,B,D,C,AB,CD,A,D,B,C,菱形,正方形,等腰三角形,C,A,B,A,B,D,C,M,AB,CD,A,D,B,C,b,例题10, 作三角形,ABC,，,ABC,为直角，使,BC,在,MN,上，且,BC,AB,=2,3。,b,c,AB,a,b,|,y,A,-y,B,|,b,c,=BC,c,a,a,习P5(3) 在,EF,上求一点,P,，使,P,点与,H、V,面的距 离之比为3：2。,p,f,e,e,f,X,O,f,e,p,p,Y,H,Y,W,习P8(3) 以正平线,AC,为对角线作一正方形,ABCD,，,B,点距离,V,面为45mm。,a,a,X,O,c,b,d,b,c,d,k,k,b,45,Y,BK,BK,=,AK,=,a,k,b,k,B,C,A,D,AB,CD,A,D,B,C,K,