高等数学A-第2章-11-1(导数的基本概念)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,第,2,章 一元函数微分学,高等数学,A,2.1,导数及微分,2.1.1,引例,2.1.2,导数概念,2.1.3,导数的几何意义,2.1.4,可导与连续的关系,2.1.5,求导数的例题 导数基本公式表,微积分学,(calculus),以研究函数的微分和积分及其应用为主的一门,数学学科,微分学,1.物体运动时要求出它在任一时刻的速度和加速度,2.研究光线通过透镜的规律时要求出光滑曲线上给定,点的切线和法线,3.研究炮弹的射程时要求出函数的最大值和最小值,积分学,研究曲线的长度、物体的体积、曲面的面积、,以及天体间的引力等,2.1,导数及微分,2.1.1,引例,切线问题,速度问题,2.1.2,导数的概念,定义,左右导数定义,区间上导函数定义,用导数定义求函数导数,用定义求导步骤,用定义求导数习例,1-5,2.1.3,导数的意义,几何意义,物理意义,2.1.4,可导与连续的关系,2.1.5,求导数的例题,导数基本公式,求导数的习例,8-11,连续函数不存在导数举例,导数基本公式,内容小结,课堂思考与练习,导数及微分,一,.,引例,1.,切线问题,割线的极限位置,切线,割线,MN,的斜率为,2.,速度问题,二、导数定义,(,变化率,),定义,:,注意,:,单侧导数,(,左右导数,),左导数,:,右导数,:,注：,单侧导数经常在研究分段函数分段点和区间端点的,可导性时碰到,并且有结论,:,(,导函数,),(2),速度是路程函数的导数,即,用定义求函数导数,步骤,:,用导数定义求函数导数习例,解,:,由导数定义得,解,:,注意,:,解,:,解,:,解,:,切线方程,:,法线方程,:,几何意义,注意,:,此时切线与,x,轴平行,;,此时切线与,x,轴垂直,.,(2),当导数存在时,一定能够找到切线,;,反之,当有切线时,不一定导数存在,!,解,:,割线的斜率为,所求点为,(2,4).,物理意义,(,非均匀变化量的瞬时变化率,),变速直线运动,:,路程对时间的导数为物体的瞬时速度,.,交流电路,:,电量对时间的导数为电流强度,.,非均匀的物体,:,质量对长度,(,面积,体积,),的导数为物体的线,(,面,体,),密度,.,三、函数的可导性与连续性的关系,定理,:,-,可导必连续,证明,:,注意,:,解,:,四、求导数的习例,解,:,所以,f,(,x,),在,x,=0,处连续,.,解,:,因为,f,(,x,),在,x,=1,处连续,可得,由,f,(,x,),在,x,=1,处可导,可得,解,:,解,:,连续函数不存在导数举例,0,例如,0,1,例如,例如,0,1,1/,1/,导数基本公式,（已学求导公式）,:,内容小结,1.,导数的实质,:,3.,导数的几何意义,:,4.,可导必连续,但连续不一定可导,;,5.,已学求导公式,:,6.,判断可导性,不连续,一定不可导,.,直接用导数定义,;,看左右导数是否存在且相等,.,2.,增量比的极限,;,切线的斜率,;,思考题,1,函数,在连续点不可导有哪些类型？,2,函数,在点,可导，是否函数在点,的某个邻域内每一点可导？,3,符号,与,4.,求哪些函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义？,在点,不可导，则曲线,在点,不存在切线。,5.,若函数,是否有区别？,思考题参考答案,课堂练习：习题,2.1,第,2,题,(1)(2),、第,6,题、第,7,题,练习参考答案,