高数第七章题库微分方程

第十二章微分方程答案一、 选择题1.下列不是全微分方程的是A. (x2 y)dx (x2y)dyB.2、(y 3x )dx (4 y x)dy 032C. 3(2x 3xy )dx2(2x2y2.若y3是二阶非齐次线性方程（1）： y的齐次线性方程（2）的两个线性无关的特解,A. c1ylc2 y2是(2)的通解3.)dy 0P(x)yD. 2x(yex1)dx ex dy 0Q（x） f （x）的一个特解，y1，y2是对应那么下列说法错误的是（c1, C2 ,c3为任意常数）B.cyi丫3是（1）的解c. gwc2y2 qy3是 的通解 d.卜列是方程xdx ydyy2y3是（i）的解My2dx的积分因子的是DA. x22y b.C. X2y2D.1x2-丫24方程dxyx d2y2xe1的通解应包含得独立常数的个数为(A) 2(B) 3(C) 4(D) 05.已知方程yp(x)y0的一个特解y cos2x ,则该方程满足初始特解y(0) 2的特解为（C ）.(A) y cos2x 2(B)y cos2x 1 (C) y 2cos2x (D)y 2cos x1 31 26T 嘤 e2x1的通解应包含得独立常数的个数为(A) 2(B) 3(C) 4(D) 07.设线性无关的函数y1，y2,y3都是微分方程yP(x)y q(x)yf （x）的解，则该方程的通解为 （D ）.(A) y Ci y1y3(B)yGy1c2 y2(Ci C2)y3(C) y Gy1(1ci C2)y3(D)yGy1c2 y2(1 C1 C2)y38.设方程y 2y3y_I，*f（x）有特解y ,则其通解为（Bx 3x(A) c1ec2e(B)c1e3xc2ey*x3x(C) cxec2xey*(D)xce3xc2ey*9.微分方程y y cot x0的通解为（A(A)csin x (B)csinx(C)ccosx(D)cosx10.方程cos x的通解为(A)sin xc1xC2(B)sin xox c2(C)cosxCiX(D)cosxox 0211.xe 的通解为12.13.(A)(C)(B)cxc2(D)cxc2微分方程(A) 1(C) 34xy0的阶是（卜列微分方程中,（B） 2（D） 4属于可分离变量方程的是(A)xsin xy dx ydy(B)ln(C)dy xsinydx(D)14.方程y 2y0的通解是A.y sin 2x2xy 4e ；C.y ce2xD.15.下列函数中的（D ）是微分方程式7y12y 0的解。A. y x3；B.C.2xy e ;D.3xe16.以 ex 和 exsinX为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是（ D ）(A)y 2y(B) y 2y 2y 4（C）y y（D）无这样的方程。217. y 2y y x1的特解y*可设为(C )2*xz_。_(A)yexAx2 Bx C y* Ax3 Bx2 Cx D(C) y* Ax2 Bx C (D) y*xex Ax2 Bx Cty cos 2t18 .若 4 是方程y 4y sin 2t的一个特解，则该方程的通解是( A )y(A)C1sin 2t c2cos2t ；cos2ty(B)1sin 2t 工 cos2t c14y Ci C2t e 2t :cos2t(0 c c 4y(D)2tGe2tc2e-cos2 t419 .下列各微分方程中是一阶线性方程的是（ B ）12（A）xyy x（B）y xy sin x2(C) yy x(D) y xy 020.方程y 2y 5y sin2x的特解可设为(D )2(A)y x asin 2x( b) y asin2x(C)y x asin 2x b cos2x )y asin 2x bcos2x二、 填空题1、以y q c2t c3t2 et （ G,a,c3为任意常数）为通解的常微分方程是,3,2,d y 3d y 3dx3323dtdtdt2、若1,x2,x4是某个二阶非齐次线性常微分方程的三个特解，那么该方程的通解是,2.、，4c（x1） c2 （x1） 1 （G,c2 为任息常数）113 .微分万程dy y2cosxdx的通解： y 1sin x c4 .微分方程xdy ydx y2eydy的通解是：x y（c ey）1x5 . 被分方程ydx+（y-x）dy=0 的通解是：一 In y c2yy” 4y 0。 26 .以y cos2x sin 2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是dy7 .解形如dxx的微分方程，求解时可作的变量代换xuy u xu8 .微分方程y 4y 3y 0的通解y=_C1ex C2e3x9 .微分方程 y+2y / +2y=0的通解是 _ y e x C1 cosx C2 sinx10、微分方程 y 10y 34y 0 的通解是 _ y e 5x (c1cos3x c2 sin 3x) _计算题1.解方程(x 1)dy解：将方程改写为电dx首先求齐次方程包xn 1ny e (x 1),这里n为常数。nxny e (x 1)。1dx x 1y 0的通解为y c(x 1)n再设 y c(x)(x 1)n,于曰dydxdc(M(x 1)n n(x 1)n 1c(x),带入原方程，得 dxdc(x)dx于是原方程通解为ex,即 c( x)C , C为任意常数。x y (eC)(x 1)n。d 32.解方程Wdt3解：特征方程为1,1 居。22于是原方程解为C1e21.3e2 Q cost2css/)任意常数 23.解方程近dx解：作变量代换y x y xtgU,y x dy dxdu xdx则原方程变为duxu u tgu。即 dxdutgudx ，口,解得 xsin u此外还有解 tgu0 ,即sinu 0。于是方程通解为sinu cx,这里c为任意常数。代回原来变量，得原方程通解sinY cx5x4 .解方程dy 一 J2dx 2x y解：将原方程改写为dx 2x y，即dx 2x y。 dy y dy ydx 2c先求出齐次方程 x的通解为x cy 。dy y再设 x c( y)y2, dx dy答y2 2c(“代入原方程得等解得c(y) In y C , C为任意常数。所以原方程通解为x y2(C ln y)5#5 .解方程：xdy 2 xy y(x 0)2解：将方程改写为以2 y y (x dx x x0),作代换y xdy duu, x u ,则原方程 dx dxdududx父为 x 2 Ju o即尸 。dx2,ux于是得此方程通解为而 ln( x) c,即 u ln( x)此外方程还有解u 0。代回原来的变量，得原方程通解 y xln(2c , (ln( x) c 0),这里c为任意常数。2 .x) c (ln( x) c 0)与 y 0 5#.4. 2d xd x6 .解万程25x0 dt4dt2解：特征方程为(2 1)20 ,有两个二重根i ,原方程的四个实值解分别是cost,t cost,sin t,tsint。故通解为x (c1 c2t)cost (c3 c4t)sint, c1,c2,c3,c4 为任意常数4#7 .设二阶可微函数y满足方程 y 6y4e4x , y(0)=1 , y(0) 1,求y3解：由题知对应齐次方程的特征方程为r2 6r 0解得 r10, r2 6于是对应齐次方程的通解为y c1 c2e6x设非齐次方程的特解为：Y* ke4x1把它代入所给方程，得k 12所以：y*-e4x2故已知方程的通解为 y c1 c2e6x ge4x又 f (0) 1 , f (0)= 1故 c1 c2 2即：y 1(1 e6x e4x)78 .求微分万程y 4y 3y 2e x的通解3解：由题知对应齐次方程的特征方程为r 2 4r 3 0解得 r11 , r23于是对应齐次方程的通解为y c1e x c2e 3x *因1是特征根，故设非齐次方程的特解为：Y axe . . *把它代入所给方程，得a 1 , 所以：Y xe故已知方程的通解为 y ce x c2e 3x xe x79 .求效分方程 y 2y y xex的通解3解：由题知对应齐次方程的特征方程为r2 2r 1 0,解得 r1r21。于是对应齐次方程的通解为y cex C2xex因1是重特征根，故设非齐次方程的特解为：*2 xY (ax b)x%x把它代入所给方程，得a 1, b=0 , 所以：Y* 1x3ex661 c故已知万程的通解为 y c1ex c2xex -x3ex7#12610.求微分方程y 3y 3xex的通解。3解：与所给方程对应的齐次方程为y 3y 0,它的特征方程为r2 3 0 ，解的它的特征根为 ri 3i,r23.由于这里1不是特征方程的根，所以应设特解为y* (box bi)ex .把它代入所给方程，得xxx(2bo bi box)e3(box bi)e3xe ,比较两端得系数，得4bo 3,2b0 4b1 0.一33由此求得b03,h3.4833于是求得原方程得一个特解为y* (3x 3)ex .所以原方程的通解为y g cos3x C2 sin3x (-3x 3)ex .7#11 .求微分方程2y y y 2ex的通解。3解：齐次方程2y” y y 0的特征方程为2r2 r 1 0,解得r1 1,r21,x一一所以对应的齐次方程的通解为y*c1e1c2e。因f(x) 2ex,1不是特征方程的根，所以可设原方程的一个特解为% bex,代入原方程，得x x x x2be be be 2e ,解得b 1,由此求得一个特解为% ex,所以原方程的通解为xx xy c1e2 c2ee .7#12 .求微分方程y 2y 5y ex sin 2x的通解。3解：所给方程对应的齐次方程为y 2y 5y 0,它的特征方程为r2 2r 5 0 ,其根为721 2i ,对应的齐次方程的通解为. x ，y* e (c1 cos2x c2sin 2x).因为 f (x) ex sin2x,1,2,i是特征方程的单根，所以设特解为x -% xe (acos2x bsin2x).4a2b)sin 2x,.(% ex(ax 2bx a)cos2x (bx 2ax b)sin 2x, (% ex(4bx 3ax 2a 4b)cos2x ( 4ax 3bx将%代入所给非齐次方程，得x -e (4bcos2x4asin 2x)xe sin 2x.比较上式各同类项的系数，得a 4,b0.故特解为%- xex cos2x.4所求通解为y ex(c1 cos2xc2 sin 2x1xcos2x). 4dy13 .解微分方程dx解:二_dxSTidxdxdx C14.求微分方程2y22x3e 的通解。解：该微分方程的特征方程为r2 2r r 0特征根为重根r1r2齐次方程的通解为yc1xxc2 e o2不是特征根，故设方程的特解为 y *则有 y2Aex.y 4AexAe 2x2 x2 x2 x c 2x代入原方程有：4Ae4 AeAe 3eA 1y 得 3,所以方程的特解为y 3由此得方程的通解为CiXC21 2x3e15 .解微分方程：1 ex yy ex2,exdx1 2xydyy In 1 e In C解： 1 ex22y18.求微分方程(1 ex)yy ex满足y (0) =1的特解。解： 2Cln 1 ex#16 .求微分方程y 9y 3x2的通解.解：原方程对应的齐次方程的特征方程为2 9 0,特征根为13,23,故齐次方程的通解为y ge 3x C2e3x ，其中c1，C2为任意常数.设原方程的一个特解为yAx2 Bx C ,代入原方程得_2 _ 22A 9(AxBx C) 3x9A 31比较系数得 B 0 ，解得AB 0, C32A 9C 0227由此得原方程的通解为1 2 y - x3227C1e3xC2e3x。17、求微分方程y 2y 3y 2x 1的通解。解：2 23 (3) (1) 0, 1 3, 2y C1e3x C2ex设y* Ax B, y* A, y* 0212A 3Ax 3B 2x 1,A ，B ,39通解：y C1e3x C2ex包 1(C1,C2为任意常数)39ydy2y2exdx1 exln(1 ex)C,特解为：y2 21n(1ex) 1 21n2.19.求微分方程y 2y/ 3y 1 ex的通解。解：由2 2r 3 0解彳导13,r2 1齐次通解为y Ce3x C2ex*v设两个牛寸斛为y1 a, y2 Axe1 x4Xe11*1y2求导代入原万程得 a -, A 一，则两特解为y1-343c11原方程的通解为y C1e3x C2ex 3y -cx cx ci 所以 3621、解微分方程xy y x2 exy| 1 1214v 14v解：y e；dx xexe Fdx Cx ex C代入y|x1 1得y x ex 1 e5 1xex 3 4220.求微分方程 x 1 y 2xy 0的通解。2解：设y p,则y p2代入方程为：x 1 p 2xp 0dp 2xdx分离变量：px2 12积分：ln p ln x 1 ln c2则 p y c x 1解：r2 3r 0,得 r 0,r3齐次通解为y CiC2e 3x3为特征单根，故设特解为* 3xAxe3x3xAe 3Axey*6Ae 3x 9 Axe 3x代入原方程得A 1则特解为yxe3x所以原方程通解为y C1C2e3x3xxe