增加开环零、极点对根轨迹的影响

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4-5,增加开环零、极点对根轨迹的影响,（一）前言,既然根轨迹是系统特征方程的根随着某个参数变动在,s,平面上移动的轨迹，那么，根轨迹的形状不同，闭环特征根就不同，系统的性能就不一样。工程上，为了改善系统的性能，往往需要对根轨迹进行改造。,从前面的分析可知，系统根轨迹的形状、位置完全取决于系统的开环传递函数中的零点和极点。因此，可通过增加开环零、极点的手段来改造根轨迹，从而实现改善系统性能的目的。,根据根轨迹的绘制法，增加开环零、极点和偶被子对系统根轨迹的影响总结如下。,（二）增加开环零点对根轨迹的影响,(1),改变了根轨迹在实轴上的分布。,(2),改变了根轨迹渐近线的条数、倾角及截距。,(3),若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近，构成开环偶极子，则两者相互抵消。因此，可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点。,(4),根轨迹曲线将向左偏移，有利于改善系统的动态性能，而且，所加的零点越靠近虚轴，影响越大。,由绘制根轨迹的法则，增加一个开环零点，对系统的根轨迹有以下影响：,（三）增加开环极点对根轨迹的影响,(1),改变了根轨迹在实轴上的分布。,(2),改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距。,(3),改变了根轨迹的分支数。,(4),根轨迹曲线向右偏移，不利于改善系统的动态性能。所增加的极点越靠近虚轴，这种影响就越大。,由绘制根轨迹的法则，增加一个开环极点，对系统的根轨迹有以下影响：,（三）增加开环耦极子对根轨迹的影响,(1),开环偶极子对离它们较远的根轨迹形状及根轨迹增益,Kg,没有影响，因为从偶极子至根轨迹远处某点的向量基本相等，它们在幅值条件及相角条件中可以相互抵消。,(2),若开环偶极子位于,s,平面原点附近，则由于一般选取（配置）的闭环主导极点离坐标原点较远，它们对系统主导极点的位置及增益,Kg,均无影响。但是，开环偶极子将显著地影响系统的稳态误差系数，从而在很大程度上影响系统的静态性能。其原因如下：,开环偶极子是指一对距离很近的开环零、极点，它们之间的距离比它们的模值小一个数量级左右。为系统增加一对开环偶极子，其效应有：,其中，,K,为开环放大系数，,Kg,为根轨迹增益。由,K,与系统误差系数,K,p,K,v,K,a,的关系，系统的稳态误差取决于,K,的大小。现增加一极点比零点更靠近虚轴的偶极子,-z,c,-p,c,，且,z,c,p,c,0,。,（三）增加开环耦极子对根轨迹的影响,其中，,K,c,1,。上式表明，加入偶极子后，系统的开环放大系数提高了,K,c,倍，显然对提高静态性能大有好处。,【,例,1】,已知某系统的开环传递函数为,若给此系统增加一个开环极点,-p=-2,，或增如一个开环零点,-z=-2,；分别讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。,解：开环传递函数，原系统,G,k,(s),，增加极点的系统,G,p,(s),，,增加零点的系统,G,z,(s),：,分别绘制各系统的根轨迹得：,（三）增加开环耦极子对根轨迹的影响,可见，增加极点后根轨迹及其分离点都向右偏移；增加零点后使根轨迹及其分离点都向左偏移。,原来的二阶系统，,Kg,从,0,变到无穷大时，系统总是稳定的。增加一个开环极点后，当,Kg,增大到一定程度时，有两条根轨迹跨过虚轴进入,s,平面右半部，系统变为不稳定。当轨迹仍在,s,平面左侧时，随着,Kg,的增大，,阻,尼角增加，,变小，振荡程度如剧，特征根进一步接近虚轴，衰减振荡过程变得很缓慢。总而言之，增加开环极点对系统动态性能是不利的。,（三）增加开环耦极子对根轨迹的影响,在工程设计中，常采用增加零点的方法对系统进行校正。,增加开环零点的效应恰恰相反，当,Kg,从,0,变至无穷大时根轨迹始终都在,s,左半平面，系统总是稳定的。随着,Kg,的增大，闭环极点由两个负实数变为共颇复数，以后再变为实数，相对稳定性比原系统更好；阻尼角变小，,更大。因此系统的超调量变小，调节时间变短，动态性能有明显的提高。,【,例,2】,单位反馈系统的开环传递函数为,试用根轨迹法讨论增加开环零点对系统稳定性的影响。,解：此系统有,3,个开环极点：,-,p,1,=-,p,2,=0,，,-,p,3,=-10,，无开环零点。按根轨迹绘制法则得出的根轨迹草图如下。,其中有两条报轨迹分支始终位于平面右半部，这说明无论,K8,取何值，系统均不稳定。这种系统属结构性不稳定系统。,（三）增加开环耦极子对根轨迹的影响,其中有两条根轨迹分支始终位于,s,平面右半部，这说明无论,Kg,取何值，系统均不稳定。这种系统属结构性不稳定系统。,若在系统中增加一个负实数的开环零点，使系统的开环传递函数变为：,设,-,z,c,在,-10,到,0,之间，增如零点后的系统根轨迹如图,b,所示。当,Kg,由,0,变至无穷时，,3,条根轨迹全部落在,s,平面左半部，系统总是稳定的。由于闭环特征根是共扼复数，故阶跃响应呈衰减振荡形式。,（三）增加开环耦极子对根轨迹的影响,若增加的开环零点,-,z,c,-10,，系统的根轨迹如图,c,所示。根轨迹虽然向左弯了一些，但仍有,2,条根轨迹始终在,s,平面的右半部，系统仍无法稳定。,因此，引入附加开环零点的数值要适当，才能比较显著地改善系统的性能。,