矩阵分解4矩阵的奇异值分解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,4 矩阵的奇异值分解,矩阵的奇异值分解在矩阵理论中的重要性是不言而喻的，它在最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题、广义逆矩阵问题和统计学等方面都有十分重要的应用。,一.预备知识,为了论述和便于理解奇异值分解，本节回顾线性代数有关知识,。,定义2.14 若实方阵Q满足 ,则称Q是正交矩阵.,定义2.15 若存在正交矩阵P,使得 ,则称A正交相似于B.,定义2.16 共轭转置矩阵记为 ,即 .,定义2.17 若 ,则称A为Hermit矩阵.,定义2.18 设 ,若 ,则称A为正规矩阵.,定义2.19 设 ,若 ,则称A为酉矩阵.,定义2.20 设 ,若存在酉矩阵P,使得,则A称酉相似于B.,性质1 若A是n阶实对称矩阵， 是的特征值，则恒存在正交阵Q，使得,而且Q的n个列向量是的一个完备的标准正交特征向量系。,性质2 若 ，是非奇异矩阵，则存在正交阵P和Q，使得,其中.,.,性质3 (1) 设 ,则 是Hermit矩阵,且其特征值均是非负实数;,(2) ;,(3) 设 , 则 的充要条件为 .,把性质2中的等式改写为,称上式是A的正交对角分解.,性质4 (1) 设 ,则A酉相似于对角阵的充分必要条件是A为正规矩阵;,(2) 设 ,且A的特征值都是实数,则正交相似于对角矩阵的充要条件A是为正规矩阵.,二.矩阵的奇异值分解,现在开始论述矩阵的奇异值分解。,定义2.21 设 ， 的特征值为,则称 是A的奇异值；规定零矩阵0的奇异值都是0.,定理2.9,设 , 则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V,使得 （2.41）,其中矩阵 ,而数,是矩阵A的所有非零奇异值.称式（2.41）是矩阵A的奇异值分解.,证 根据性质3, 是Hermit矩阵,且其特征值均是非负实数,且,记为,显然, 是 正规矩阵.根据性质4,存在n阶酉矩阵V,使得,或,其中:,设V有分块形式,则有,即,由 ,得,或,其中.,由 ,得 或,令 ，则,根据线性代数理论知，可将两两正交的单位列向量,扩充为 的标准正交基,，记矩阵 ，则,是m阶酉矩阵，且,于是,所以,(证毕),由上述定理的证明过程可知,A的奇异值是由A唯一确定的,但是,由于酉矩阵U和V是不唯一的,故A的奇异值分解(2.41)式也是不惟一的.,例10 求矩阵 的奇异值分解.,解: 可以求得矩阵,的特征值是 ,对应的特征向量可取为,，于是可得,，奇异值为 ， ，且使得,成立的正交矩阵为,， 其中,经计算,将 扩张成 的正交标准基,则A的奇异值分解是,例11 设矩阵 ，求它的奇异值分解.,解 经过计算，矩阵,的特征值为 ,对应的特征向量分别是,，,从而正交矩阵,以及 ，,计算,，,构造,.,的奇异值分解是,.,三. 正交相抵矩阵,定义2.22 设 ,若存在m阶正交矩阵U和n阶正交矩,阵V,使得 ,则称A与B正交相抵.,在上述定义中,若A和B都是n阶方阵,U=V,则,即A与B正交相似.可见正交相似概念是正交相抵概念的特殊情况.,定理2.10 正交相抵的两个矩阵具有相同的奇异值.,证 若 ,则,上式表明 与 相似,而相似矩阵有相同的特征值,所以A与B有相同的奇异值.证毕,直接验证可知, 正交相抵具有自反性、对称性和传递性，因此，所有正交相抵的矩阵构成了正交相抵等价类。在正交相抵等价类中的任一矩阵A，奇异值分解 中的矩阵都是相同的，D称为正交相抵等价类中的标准形矩阵。,