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几何证明压轴题(中考)1、如图，在梯形 ABCD 中，AB /CD, / BCD=90 ，且 AB=1 , BC=2, tan/ADC=2.(1)求证：DC=BC;(2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且/ EDC=/FBC, DE=BF ,试判断 ECF的形 状，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，当 BE: CE=1 : 2, / BEC=135 时，求 sin/BFE 的值.BCD 90翁军析(1)过A作DC的垂线AM交DC于M,则 AM=BC=2.2又 tan / ADC=2所以 DM 1.即 DC=BC.2(2)等腰三角形.证明：因为 DE DF, EDC FBC,DC BC .所以， DE隼 BFC所以，CE CF, ECD BCF .所以， ECF BCF BCE ECD BCE即 ECF是等腰直角三角形.(3)设 BE k,则 CE CF 2k,所以 EF 2 J2k.因为 BEC 135 ,又 CEF 45 ,所以 BEF 90所以 BF ,k2 (2.2k)2 3kk 1所以 sin BFE - -.3k 3BD是对角线，AG / DB2、已知：如图，在 DABCD 中，E、F分别为边 AB、CD的中点,交CB的延长线于G.(1)求证： ADEA CBF;(2)若四边形 BEDF是菱形，则四边形 AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.解析 (1)二.四边形 ABCD是平行四边形, ./ 1=/ C, AD = CB, AB = CD . 点E、F分别是AB、CD的中点， - AE= 1 AB , CF= 1CD . 22AE = CFADEA CBF .(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形. 四边形ABCD是平行四边形，AD / BC . AG / BD ,.四边形AGBD是平行四边形.四边形BEDF是菱形，. DE=BE .AE = BE ,. AE = BE = DE .1=7 2, / 3=/ 4. / 1+Z 2+Z 3+Z 4=180 , .2/2+2/3=180 .2+Z 3= 90 .即/ ADB =90 .四边形AGBD是矩形3、如图131, 一等腰直角三角尺 GEF的两条直角边与正方形 ABCD 一起.现正方形 ABCD保持不动，将三角尺 GEF绕斜边EF的中点O 按顺时针方向旋转.(1)如图132,当EF与AB相交于点 M, GF与BD相交于点的两条边分别重合在 (点O也是BD中点)N时，通过观察或测量BM, FN的长度，猜想BM, FN满足的数量关系，并证明你的猜想；(2)若三角尺GEF旋转到如图133所示的位置时，线段 FE的延长线与AB的延长 线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点 N,此时，(1)中的猜 想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.图 13 1图 13 2图 13-3解析BM=FN.证明:. GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形,(2)(3)/ABD =/F =45 又. / BOM=Z FON,OB = OF.AOBMA OFN .BM=FN.BM = FN仍然成立.证明：. GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形, ./DBA=/GFE=45 , OB = OF. ./ MBO = Z NFO=135 .又. / MOB = /NOF, AOBMA OFN .BM = FN.4、如图，已知。O的直径AB垂直于弦 CD于E,连结 AD、BD、OC、OD,且OD=5。(1)若 sin / BAD 3 ,求 CD 的长；5(2)若/ADO : / EDO =4: 1,求扇形OAC (阴影部分)的面积(结果保留)。解析(1)因为AB是。O的直径，OD = 5所以/ ADB = 90 , AB = 10BD在 RtAABD 中，sin/BAD AB又sin/BAD 3 ,所以 股 3 ,所以BD 65105AD . AB2 BD 2102 62 8因为/ ADB = 90 , AB XCD所以 DE - AB AD BD , CE DE所以DE 10 8 6所以DE 24 5所以 CD 2DE 48 5(2)因为AB是。的直径，ABXCDc c c c所以 CB BD , AC AD所以/ BAD = / CDB , / AOC = / AOD因为 AO = DO ,所以/ BAD = / ADO所以/ CDB =/ ADO设/ ADO = 4x,则/ CDB = 4x由/ ADO : / EDO = 4: 1,则/ EDO=x因为/ ADO +Z EDO + Z EDB =90所以 4x 4x x 90所以x=10所以/AOD =180 (/ OAD + /ADO) = 100所以/ AOC =Z AOD = 100S扇形OAC10036052125185、如图，已知：C是以AB为直径的半圆。上一点，CHXAB于点H ,直线AC与过B点的切线相交于点 D, E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD中点；(2)求证：CG是。的切线；(3)若FB=FE=2 ,求。O的半径.解析证明：I CH AB , DBX, .AEHsAFB, ACEsadfEHBFAE CE , HE= EC, .1. BF = FDAF FD(2)方法一：连接 CB、OC,. AB是直径，ACB =90 -F是BD中点，/ BCF= / CBF=90 -/ CBA= / CAB= / ACO/ OCF=90 ,. CG 是O O 的切线6 方法二：可证明 OCFA OBF(参照方法一标准得分)解：由 FC=FB=FE 得：/ FCE=/FEC可证得：FA=FG,且AB = BG由切割线定理得：(2+FG) 2=BGXAG=2BG2 Q在RHBGF中，由勾股定理得：BG2 = FG2 BF2由O、Q 得：FG2-4FG-12=0解之得：FGi = 6, FG2=2(舍去).AB =BG= 4再.O O半径为2垃6、如图，已知 O为原点，点A的坐标为(4, 3),OA的半径为2.过A作直线l平行于X轴，点P在直线l上运动.(1)当点P在O O上时，请你直接写出它的坐标;(2)设点P的横坐标为12,试判断直线 OP与。A的位置关系芳说明理由解析解：点P的坐标是（2,3）或（6,3）作AC OP, C为垂足. / ACP=/OBP= 90,/1 = / 1 ACPA OBP,AC AP OB OP在 Rt obp 中，op Job2 bp2AC= 24153 1.941.94/3 米.-23x,在 Rt COD 中,根据勾股定理：OC3x, CD 4（3分）图10D图22 ,3 2x 2 13x212 8.3- x 013x8,3 12 x 1316 3 24AC=2x=13OD22 3xCD242（5分）128,3（7分）即梯子顶端A沿NO下滑了 16向 24米.13（8 分）二点P和点P分别是Rt AOB的斜边 AB与Rt AOB的斜边AB的中点 PA PO PAO PAO PAO PAO ： PAOP A AOP, PAO PAO30o45oPOPAOAOPPOPAOP -AOP 15o-（9 分） （10 分）（11 分）图3 AO A B cos45o 4 -2 2.22AA OA AO （273 272）米.-（12 分）（13 分）
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