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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高二,2,69,班,双曲线及其标准方程,问题提出,1.,椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？,定义：,平面内与两个定点,F,1,，,F,2,的距离的和等于常数（大于,|F,1,F,2,|,）的点的轨迹,标准方程,:,2.,在椭圆中，参数,a,，,b,，,c,的相互关系是什么？,a,2,b,2,c,2,3.,我们已经知道了平面内与两个定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，平面内与两个定点的距离之差为常数的点的轨迹是什么？就成为一个新的研究课题,.,探究（一）：,双曲线的概念,实验：,取一条两边等长的拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点,F,1,，,F,2,上，把笔尖放在拉头点,M,处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线,C,.,F,1,F,2,M,F,如图,(A),，,|MF,1,|-|MF,2,|,=,2a,(a0),上面两条曲线合起来叫做,双曲线,由可得：,|MF,1,|-|MF,2,|=2,a,（,差的绝对值,）,如图,(B),，,|MF,2,|-|MF,1,|=2,a,(a0),1.,试用集合的形式表述双曲线的定义,.,P,=,M,|,|,|,MF,1,|,MF,2,|,|,=2,a,，,a,为常数,2.,如果去掉绝对值结果如何？,若,|,MF,1,|,MF,2,|=2,a,，,则表示双曲线的,右支,若,|,MF,2,|,MF,1,|=2,a,，,则表示双曲线的,左支,想一想,双曲线的定义,:,平面内,到两定点,F,1,F,2,的距离,差的绝对值,等于,常数,（小于 ）的点的轨迹叫做,双曲线,。,两个定点,F,1,，,F,2,叫做双曲线的焦点,.,焦距,:,2,a,2c,说明,:,思考：为什么要满足,2,a,2,c,呢？,由三角形知识有这样的点,M,不存在,F,1,F,2,（,3,）若2,a,=0,呢？,F,1,F,2,|,MF,1,|,MF,2,|=0,则,M,的轨迹,是F,1,F,2,的垂直平分线,（二）双曲线方程的推导,基本步骤：,（,1,）,建,系,（,2,）,设,点,（,3,）,限,式,（,4,）,代,换,（,5,）,化,简、证明,F,1,M,F,2,双曲线方程的推导,F,2,y,O,M,F,1,x,双曲线的标准方程,x,y,O,(,a,0,b,0),称为双曲线的标准方程,它表示中心,在原点，焦点在,x,轴上的双曲线,.,焦点：,F,1,(,c,0)，,F,2,(,c,0),F,1,M,F,2,焦距,:,思考：中心在原点，焦点在,y,轴,上的双曲线的标准方程是什么？,标准方程：,(,a,0,b,0),焦点：,F,1,(0,c,)，,F,2,(0,c,),思考：,a,b,c,有何关系？,c,2,=,a,2,+,b,2,c,最大，,a,与,b,的大小无规定,F,1,F,2,定义,图象,方程,焦点,a.b.c,的关系,谁正谁是,a,焦点跟着正的跑,M,定 义,方 程,焦 点,a.b.c的关系,F,（,c,，,0,）,F,（,c,，,0,）,a0,，,b0,，但,a,不一定大于,b,，,c,2,=a,2,+b,2,ab0,，,a,2,=b,2,+c,2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF,1,|,|MF,2,|=2a,|MF,1,|+|MF,2,|=2a,椭 圆,双曲线,F,（,0,，,c,）,F,（,0,，,c,）,例,1,：若方程 表示的曲线,是双曲线，求,k,的取值范围,.,题后感悟,若方程,则,mn,0,n,0;,若表示在,y,轴上的双曲线，,则,m,0.,表示双曲线,k,|,-2k 5,例2,：,已知双曲线两个焦点分别为,F,1,(5，0)，,F,2,(5，0)，双曲线上一点,P,到点,F,1,，,F,2,的距离之差的绝对值等于,6,，求双曲线的标准方程.,解：因为双曲线的焦点在,X,轴上，所以,它的标准方程可设为,因为,2a=6,2c=10.,所以,a=3,c=5,b,2,=5,2,-3,2,=16.,所以双曲线的标准方程为,待定系数法,用,待定系数法,求双曲线方程的方法和步骤：,根据条件确定,a,b,的值；,写出双曲线的方程,.,根据题意，设出标准方程；,根据焦点的,位置设出标准方程）,若焦点位置不确定时设一般方程为,mx,2,+ny,2,=1,(,mn,0,),例：,求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过,P(4 2 ,3 3),和,Q(4 3,6),两点的双曲线方程,求不能确定焦点所在的轴的双曲线方程,因为,P,Q,在双曲线上,所以,32 m+27 n=1,48 m+36 n=1,解得,m =-n=,所以双曲线的方程为,1,16,1,9,解：设双曲线的一般方程为,mx,2,+ny,2,=1,其中,mn0,x,0,所求双曲线方程为,定义法,1,双曲线定义中注意的,三个问题,(1),注意定义中的条件,2,a,|,F,1,F,2,|,不可缺少,若,2,a,|,F,1,F,2,|,，则动点的轨迹是以,F,1,或,F,2,为端点的射线；,若,2,a,|,F,1,F,2,|,，则动点的轨迹不存在,(2),注意定义中的常数,2,a,是小于,|,F,1,F,2,|,且大于,0,的实数若,a,0,，则,动点的轨迹是线段,F,1,F,2,的中垂线,(3),注意定义中的关键词“,绝对值,”,.,若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支,
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