复变函数与积分变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 泰勒级数,一、泰勒定理,二、将函数展开成泰勒级数,三、典型例题,四、小结与思考,1,一、泰勒定理,其中,泰勒级数,泰勒展开式,定理,设,在区域,内解析,为,内的一,为,到,的边界上各点的最短距离,那末,点,时,成立,当,2,说明,:,1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(,想一想,为什么?,),4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.,(,为什么?,),3,因为解析，可以保证无限次可各,阶导数的连续性;,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就,要比实变函数广阔的多.,注意,问题：,利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数,，,展开式是否唯一？,4,那末,即,因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.,5,二、将函数展开成泰勒级数,常用方法,:,直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,6,例如，,故有,7,仿照上例,8,2.间接展开法:,借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.,9,例如，,10,附,:,常见函数的泰勒展开式,11,12,例1,解,三、典型例题,13,上式两边逐项求导,14,例2,分析,如图,15,即,将展开式两端沿,C,逐项积分,得,解,16,例3,解,17,例4,解,18,例5,解,19,例6,解,即微分方程,对微分方程逐次求导得:,20,21,五、小结与思考,通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记,五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成,泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数,展开成泰勒级数.,22,奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?,思考题,23,奇函数的泰勒级数只含,z,的奇次幂项,偶函数,的泰勒级数只含,z,的偶次幂项.,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,24,泰勒资料,Born:,18 Aug 1685 in Edmonton,Middlesex,England,Died:,29 Dec 1731 in Somerset House,London,England,Brook Taylor,25,