(精品)统计学复习

,应用统计学,2.4,参数估计,一、点估计,点估计是根据样本构造一个统计量作为对总体的未知参数,的估计量 ，其观察值称为总体未知参数,的估计值。,在实际中应用的比较多的是用样本均值,估计总体均值,E,（,X,），用样本方差估计总体方差。,用样本均值表示观察现象的平均水平，用样本方差表示数据的分散程度。,二、估计量优劣的评选标准,1,）无偏性,:,2,）有效性,:,比 更为有效。（对两个无偏估计）,3,）一致性：当,n,时，未知参数,的估计量 （,X,1,，,X,2,，,X,n,）依概率收敛于,。即对于任意的正数,0,，有,4,）均方误差：,均方误差通常用,MSE,表示，估计量的误差（偏离真值）的平方的均值称为均方误差，其表达式为：,当估计值是未知参数的无偏估计时，该项为零,例题：样本均值 是总体期望值,E,（,X,）的一致估计量,解：因为 ，由大数定理，对于任意的,0,，有,即证得结论。,三、区间估计,区间估计是根据样本数据来估计总体未知参数,所在的区间,.,置信区间的表达式：,P,L,U,=1-,称（,L,，,U,）为参数,的置信水平为,1-,的置信区间,.,其中,L,和,U,分别称为置信下限和置信上限，都是样本的函数。,1,、总体,X,N,（，,2,）,当已知时，的置信水平为,1-,的置信区间由下面得出：,由此得 的置信水平为,1-,的置信区间为,（一）正态总体均值,的区间估计,2,、未知时，根据定理知,由公式,的置信度为,1-,的置信区间为,（二）总体比例的区间估计,在大样本的情况下，样本比例,p,的分布近似地服从正态分布。即,p,N(P,P(1-P)/n),对于给定的的置信度,1-,，总体比例,P,的,1-,的置信区间为,式中，总体比例用样本比例来估计，且,例：,某厂对一批产品的质量进行抽样检验，采用重复抽样方法抽取样品,200,只，样本的优质品率为,85,，并计算当把握程度为,90,时优质品率的区间范围。,解：已知,n=200,，,p=0.85,，,1,-=0.90,，,Z,/2,=1.645,总体优质品率,P,的置信度为,90,的置信区间为：（,85,4.15,）,即：,80.85,P,89.15,若这批产品有,2000,只，则优质品数大约在,2000,80.85,到,2000,89.15,，即,1617,到,1783,只之间。,（三）正态总体方差,2,的置信区间,均值,未知时，利用定理得 ，由概率公式,则可得,2,的置信度为,1-,的置信区间为,2.5,假设检验,一、假设检验的一般思想,例题：一台包装机包得糖重是一个服从正态分布的随机变量，若某日开工后为检验包装机工作是否正常，随机抽取,9,袋，得到样本的平均值为,0.510,（包装机工作正常时，其均值,=0.5,，且根据经验知糖重的标准差,=0.015,），问机器是否工作正常？,为了检验一个假设（如,p0.01,）是否成立，先假定这个假设成立，如果不合理的现象出现，就否定原来的假设。这里的”不合理”，是基于人们在实践中广泛采用的一个原则，小概率事件在一次观察中基本上不会发生。假设检验包括，参数检验；总体分布的检验等；,假设检验用,反证法的思想,可以设想：当包装机工作正常，样本均值,与总体均值,的差异 不会太大，,否则有理由认为包装机的工作不正常。,差异到底多大才足以使我们对原假设产生怀疑呢？因为 是一个随机变量，如果,H,0,为真，即原假设成立，有,|,解：假设包装机工作正常，即假设,H,0,：,=,0,=0.5,；,H,1,：,0,如果取,比较小,当,H,0,为真时，有,由于小概率事件在一般的情况下不会发生，所以如果发生了，则有理由认为原假设不成立。即拒绝原假设,H,0,，接受备择假设,H,1,，认为包装机的工作不正常。,二、双边检验和单边检验,在上面的例题中的拒绝域是双边的，备择假设：,0,。而有时考虑的问题是总体的均值是否增大（或减小），这是个单边检验检验的问题，即备择假设：,0,(,或,0,左侧检验：原假设,H,0,：,0,：备择假设,H,1,:,0,2,、检验的显著性水平,显著性水平在假设检验中起着非常重要的作用，临界值的确定与之有很大的关系，直接影响到检验的结论。,/2,/2,临界值,临界值,接受区域,拒绝区域,拒绝区域,双侧检验的接受区域和拒绝区域图,临界值,接受区域,拒绝区域,右侧检验的接受区域和拒绝区域图,1,-,临界值,接受区域,拒绝区域,左侧检验的接受区域和拒绝区域图,1,-,三、假设检验的两类错误,2,、第二类错误,第二类错误是指当,H,0,不真时，接受,H,0,，也称“取伪错误”（使用者风险率）。犯第二类错误的概率可以表示为：,P,接受,H,0,|H,0,不真,=,两类错误是不可避免的，当样本容量确定时，减少一类错误的概率就要增加另一类错误的概率，只有在样本容量增加时才能使两类错误同时减少。,1,、第一类错误,第一类错误是指当,H,0,为真时，拒绝,H,0,。也称“弃真错误”。（生产者风险率）。犯第一类错误的概率可以表示为：,P,拒绝,H,0,|H,0,为真,=,不能同时降低,两类错误,!,与,的逆向关系,:,H,0,为真,H,0,为假,接受原假设,H,0,正确决策,第二类错误（概率为,）,拒绝原假设,H,0,第一类错误（概率为,）,正确决策,假设检验中的四种可能情况,犯第一类错误的原因是,小概率事件一般在一次,试验中不可能发生，,所以否定了原假设；,；,犯第二类错误的原因是在一次试验中没有发生小概率事件，也就不能否定原假设。,提出零,(,原,),假设,H,0,与备择（对立）假设,H,1,选择统计量,T=T(X,1,X,2,X,n,),在原假设成立与对立假设成立两种不同情况下，统计量取值范围应有较大不同,对给定的,值,(,通常为,0.05,，,0.01,等，称为显著水平,),确定拒绝,H,0,区域,(,简称拒绝域,),，使得在,H,0,成立情况下，,T,值落入该区域的概率为,检验方法 利用样本计算统计量值，若该值落入拒绝域，则作出拒绝,H,0,结论，否则就作出接受,H,0,结论,.,根据假设和检验水平确定临界值,根据统计量值检验假设是否成立？,四、假设检验的具体步骤,补充内容：总体均值、比例和方差的假设检验,一、,总体方差已知的正态总体均值,的假设检验（,Z,检验）,根据概率知识，若 ，则对总体均值的检验过程为：,总体方差已知正态总体均值的检验表,原假设,H,0,（,已知）,备择假设,H,1,检验统计量,H,0,为真时统计量的分布,H,0,的拒绝域,=,0,0,（双侧检验）,N(0,1),=,0,或（,0,）,0,（右侧检验）,同上,同上,原假设,H,0,（,未知）,备择假设,H,1,检验统计量,H,0,为真时统计量的分布,H,0,的,拒绝域,=,0,0,（双侧检验）,t(n-1),=,0,或（,0,）,0,（右侧检验）,同上,同上,二、总体方差未知的正态总体均值的假设检验（,t,检验）,总体方差未知时对总体均值的检验表（小样本）,原假设,H,0,（,未知）,备择假设,H,1,检验统计量,H,0,为真时统计量的分布,H,0,的,拒绝域,=,0,0,（双侧检验）,N(0,1),=,0,或（,0,）,0,（右侧检验）,同上,同上,总体方差未知时对总体均值的检验表（大样本）,当,n,很大时，,t,分布趋于标准正态分布。一般大于,30,，就可以用标准正态分布近似地代替,t,分布。,原假设,H,0,备择假设,H,1,检验统计量,H,0,为真时统计量的分布,H,0,的,拒绝域,P,=,P,0,P,P,0,（双侧检验）,N(0,1),P,=,P,0,或（,P,P,0,）,P,P,0,（右侧检验）,同上,同上,三、总体比例的假设检验,由于样本比例的分布服从二项分布，在大样本的情况下，二项分布近似地服从正态分布，得出检验表如下：,总体比例的检验表（大样本）,四、总体方差的假设检验（,2,检验）,方差是衡量随机变量的离散程度，主要用于研究或分析生产过程或工作过程的稳定性、均衡性，是在生产过程中质量控制中常用的假设检验问题。常用的分布是正态总体。,原假设,H,0,（,未知）,备选假设,H,1,检验统计量,H,0,为真时统计量的分布,H,0,拒绝域,2,=,0,2,2,0,2,（双边检验）,2,(n-1),2,=,0,2,或,（,2,0,2,）,2,0,2,（右侧检验）,同上,同上,正态总体方差的检验表,临界值,接受区域,拒绝区域,右侧检验的,P,值图示,五、假设检验中的,P,值,假设检验的结论依赖,给定的显著性水平,，由检验水平决定接受原假设的临界值。,从另一角度来说，在检验中根据样本计算出,统计量值,C,，在原假设成立的情况下，计算相应的统计量,大于,C,（右侧检验时）的概率值,P,C,，这个值称为假设检验的,P,值。,P,值,统计量的计算值,C,双侧检验：,计算,2P,C,；,当,P,时，,接受零假设。,左侧检验：,计算,P,时，,接受零假设。,右侧检验：,计算,P,C,；,当,P,时，,接受零假设。,P,值与显著性水平,进行比较，,显然，假设检验的,P,值依赖于检验统计量及其计算值，检验方式（双边或单边）。在实际应用时比较方便，不用查表就可以根据显著性水平作出判断，在统计软件的应用中，给出假设检验的,P,值作为显著性检验值,(,sig,).,例：根据过去资料，某厂生产的产品寿命服从正态分布,N,（,1020,，,100,2,）。现从最近生产的产品中随机抽取,16,件，测得样本的平均寿命为,1080,小时，试在,0.05,的显著性判断这批产品的使用寿命是否有显著提高？,解：,H,0,：,=1020,；,H,1,：,1020,（右边检验）,检验统计量：,由,=0.05,，查表得临界值,Z,=Z,0.05,=1.6452.4=0.0082,当,P,值时，必有,2.4,落入原假设的拒绝域中，故拒绝原假设,H,0,，接受备选 假设,H,1,。所以,P,值称为拒绝原假设的最小显著性水平。,P,值,临界值,注意：临界值与显著性水平 有关，而,P,值只与样本数据有关。,临界值,临界值,/2,/2,未知参数的置信区间,假设检验的接受区域,假设检验的拒绝区域,假设检验的拒绝区域,区间估计与假设检验的比较,补充复习,方差分析,方差分析用于多个总体（大于两个总体）均值的比较问题。,一、方差分析的基本概念,因子：影响研究对象（某些指标）的因素，一般用大写英文字母表示；如,A,、,B,、,C,等。,水平：反映因子所处的状态，指是可以控制的状态。如因子,A,的状态一般用,A,1,，,A,2,等表示；,单因子试验：在试验中所考察的因素只有一个；,假定条件：,1,、在每个水平,i,下，,x,ij,N(,，,）；,2,、,每个水平下的试验次数是任意的；,3,、假设所有总体的方差都是相等；,4,、在原假设下，所有数据都来自同一个正态总体；,5,、所考察的指标是一个随机变量。,二、单因子方差分析原理,单因子方差分析：在一个试验中只考察一个因子，它有,r,个水平，在每一个水平下进行,n,j,次重复试验，其结果列在下表中。,观察值,因 素 水 平,A,1,A,2,A,r,1,2,n,j,x,11,x,12,x,1r,x,21,x,22,x,2r,因素,A,第,j,个水平的平均,如果因子,A,的水平间没有显著差异，则这,n,个数据可以看成是来自于一个正态总体。反之则来自不同的正态总体。设第,i,个水平下的样本平均值为,i,，,i=1,2,r,则,检验因子,A,的水平之间是否有显著差异的问题就是一次假设检验的问题。,方差分析原理,：利用试验数据和总平均差距的离差平方和进行分析，将水平间的偏差平方和和水平内的偏差平方和加以区别，通过比较两类偏差平方和的大小，构造,F,统计量，达到检验的目的。,检验假设：,H,0,：,1,=,2,=,r H,1,:,1,2,r,不全相等,当,H,0,不真时,表示不同水平下的指标有显著差异,或者说因子的作用是非常显著的。,三、离差平方和,若,记总的,数据