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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,最佳选址问题,一、问题的提出,如图,1,，有一条河，两个工厂,P,和,Q,位于河岸,L,（,直线）的同一侧，工厂,P,和,Q,距离河岸,L,分别为,8,千米和,10,千米，两个工厂的距离为,14,千米，现要在河的工厂一侧选一点,R,，在,R,处建一个水泵站，向两工厂,P,、,Q,输水，请你给出一个经济合理的设计方案。,8,l,10,Q,14,P,河,图1,R,即找一点,R,，,使,R,到,P,、,Q,及直线,l,的距离之和为最小。,二、提出方案,8,l,10,Q,14,P,河,图1,水泵站,R,建立在河边（即,L,上），则问题转化为在,L,上找一点,R,，,使,|RP|,|RQ|,为最小。,方案一：,8,l,10,Q,14,P,河,图1,R,水泵站,R,建立在河边（即,L,上），则问题转化为在,L,上找一点,R,，,使,|RP|,|RQ|,为最小。,方案一：,8,l,10,Q,14,P,河,图1,水泵站,R,不建在河边，则问题转化为要在,L,的,P,、,Q,一侧找点,R,，使,R,到,P,、,Q,及,L,的距离之和最小。,方案二：,8,l,10,Q,14,P,河,图2,R,R,三、论证方案,8,l,10,Q,14,P,河,图1,R,8,l,10,Q,14,P,河,图2,R,方案一：,方案二：,、对于方案一：联想平几知识，用光学性质建模：,作点,Q,关于直线,L,的对 称点,Q,，,连,P Q,交,L,于,R,，,则,R,为所求（如图）,这样所需直线输水管的总长度为：,S(R),|PQ|,22.72,千米。,l,P,Q,R,Q,S,三、论证方案,8,l,10,Q,14,P,河,图1,R,8,l,10,Q,14,P,河,图2,R,方案一：,方案二：,2,、对于方案二,P,Q,R,Q,这里建立的是关于,x,、,y,的二元函数模型，但求解困难。,y,x,O,思路一：,图,建立如图的,坐标系，则易得,P,（,0,，,10,）、,Q,（,8,，,8,）,设点,R(x,y),，,则,S(R),|PR|+|RQ|+|RQ|,。,用,判别式法,可得,S(R)21,或,S(R),3.,因为,S(R)0,故,S(R),的最小值是,21,，代入,(1),中得,y,，于是,Q(,2),PQ,的直线方程为,y,，把,y,5,代入得,x,5,，,故,|RP|=10(km),|RQ|=6(km),R,到河岸的距离为,5(km),。,y,x,如图,4,，过,R,作,L/x,轴，则问题,转化为在,L,上找点,R,，,使,RP,RQ,为最小。,作,Q,关于,L,的对称点,Q,，,则,S(R),|RP|,|RQ|,y|PQ|,y,，,取这样的,R,，,使,S(R),|PQ|,y,则,S(R),(1),思路二,P,Q,R,M,l,图,4,Q,思路三：,如图,6,，,AB/L,，,RH L,，设,PRA,QRB,30.,P,Q,R,A,B,C,D,H,图,6,l,联想经典的数学问题，运用费尔马点建模,思路三：,如图,6,，,AB/L,，,RH L,，设,PRA,QRB,30.,设,QB=x,则,PA,x,2,，,AR,(x,2),，,RB,x,由,AB,8,，,得,(x,2),x,8,。,所以,x,3,，,从而,RP,10,PQ,6,RH,5.,P,Q,R,A,B,C,D,H,图,6,l,联想经典的数学问题，运用费尔马点建模,四、论证结论,R,8,l,10,Q,14,P,河,*方案二更经济合理*,即选这样的点,R,，,使,R,到河岸,L,的距离为,5,千米，到工厂,P,的距离为,10,千米，到工厂,Q,的距离为,6,千米，这时所需总水管的长度为,21,千米。,、若将直线,L,缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点,R,，使,R,到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。,五、问题引申,河,P,Q,图,、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图），该如何选点？,、数学建模就是把实际问题数学化。数学模型就是通过抽象和简化，使用数学语言、数学符号对实际现象给予推理、论证，从而得出实际问题结论。,、建模的基本程序是：,实际问题,数学语言,数学符号,实际问题的结论,数学问题的解,数学模型,量化经验,抽象概括,整理,假设,实践检验,运 算,推 理,评 价,检,索,类,比,问,题,解,决,六、小结,
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