多元线性回归异方差问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第九章 多元线性回归的异方差问题,一、异方差及其影响,二、异方差的发现和判断,三、异方差的解决方法,1,一、异方差及其影响,1、异方差的定义：,对于多元线性回归模型，如果随机扰动项的方差并非是不变的常数，则称为存在异方差（heteroscedasticity)。异方差可以表示为 。或,2,两变量线性回归模型的异方差,3,1、异方差的定义,异方差主要出现在截面数据分析中，例如大公司的利润变化幅度要比小公司的利润变化幅度大，即大公司利润的方差比小公司利润的方差大。这取决于公司的规模、产业特点和研究开发支出多少等因素。又如高收入家庭通常比低收入家庭对某些商品的支出有更大的方差。,例6-1：人均家庭支出（cum)和可支配收入（in)的关系模型,给出中国1998年各地区城镇居民平均每人全年家庭交通及通讯支出（cum)和可支配收入（in)的数据，估计两者之间的关系模型,4,2、异方差的影响,1、OLS估计量不再是BLUE，其是无偏和一致的，但并非有效的，即不再具有方差最小性。,2、检验假设的统计量不再成立，建立在t分布和F分布之上的置信区间和假设检验不可靠。,5,二、异方差的发现和判断,（一）残差的图形检验,（二）帕克检验（Park test）,（三）戈里瑟检验（Glejser test）,（四）怀特检验（White test）,6,（一）残差的图形检验,这是一种最直观的方法，它以某一变量（通常取因变量）作为横坐标，以随机项的估计量e或e,2,为纵坐标，根据作出的散点图直观地判断是否存在相关性。如果存在相关性，则存在异方差。通常的方法是先产生残差序列，再把它和因变量一起绘制散点图。,例6-2：,利用该方法绘制上一章关于美国机动车消费量的模型中QMG与残差的散点图。,7,（二）Breusch-Pagan检验,假设回归模型如下：,检验假定线性函数,8,步骤：,1、作普通最小二乘回归（1），不考虑异方差问题。,2、从原始回归方程中得残差,u,i,，并求其平方。,3、利用原始模型中的解释变量作形如上式(2)的回归，记下这个回归的R平方 。,4、检验零假设是,对方程（2）进行F检验,，,或计算,LM,统计量进行检验。,9,（三）戈里瑟检验,1、通常拟合 和 之间的回归模型：,根据图形中的分布选择,2、再检验零假设 0（不存在异方差）。如果零假设被拒绝，则表明可能存在异方差。,10,（四）怀特检验,假设有如下模型：,（3）,基本步骤：,1、首先用OLS方法估计回归方程（3）式。,2、然后作辅助回归：,（4）,11,3、求辅助回归方程的R2值。在零假设：不存在异方差下，White证明了，从方程（4）中获得R,2,值与样本容量（n）的积服从卡方分布,自由度等于（4）式中的解释变量的个数。,4、根据样本计算统计量n*R,2,值，并与所选取的显著性水平进行比较，看是否接受零假设（零假设为残差不存在异方差性）。,5、Eviews计算：View-Residual Tests-White Heteroskedasticity.,应用,：对例6-1进行White异方差检验,（四）怀特检验,12,等价的White检验,（1）用OLS估计模型（3），得到残差和拟合值，计算它们的平方；,（2）做回归,记下这个回归的R平方,（3）构造F或LM统计量并计算p值（前者为 F,2，n3,分布，后者用 分布。,13,（五）实例,使用Wooldridge中的数据HPRICE.RAW中的数据来检验一个简单的住房价格方程中的异方差性。水平变量模型为（分别采用水平变量和其对数项分别进行回归分析）,发现：,采用水平模型存在异方差性，但采用对数模型不存在异方差性。,14,三、异方差的解决方法,加权最小二乘法,模型的重新设定,15,（一）加权最小二乘法,基本思路：赋予残差的每个观测值不同权数，从而使模型的随机误差项具有同方差性。,16,（一）加权最小二乘法,方差已知的情形,假设已知随机误差项的方差为,var,(,u,i,)=,i,2,设权数,w,i,与异方差的变异趋势相反,w,i,=1/,i,将原模型两端同乘以,w,i,。,w,i,使异方差经受了“压缩”和“扩张”变为同方差。,17,（一）加权最小二乘法,方差已知的情形,对于一元线性回归模型,y,=,b,0,+,b,1,x,+,u,，加权最小化残差平方和为,获得的估计量就是加权最小二乘估计量。对于多元线性回归模型y=X,u,，令权数序列w,i,=1/,i,，W为NN对角矩阵，对角线上为,w,i,，其他元素为0。则变换后的模型为,18,（一）加权最小二乘法,方差已知的情形,（1）误差方差与,x,i,成比例,Var,(,u,i,)=,2,*,x,i,其中,2,为常数，这时可以令权序列,（2）误差方差与,x,i,2,成比例,Var,(,u,i,)=,2,*,x,i,2,其中,2,为常数，这时可以令权序列,19,（一）加权最小二乘法,方差已知的情形,实例：住房支出模型,给出由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据，建立住房支出模型，并检验和修正异方差。,（3）其他的与自变量,x,i,的加权形式f(,x,i,),20,（一）加权最小二乘法,方差已知的情形,21,（一）加权最小二乘法,（4）用随机误差项的近似估计量求权重序列,首先利用OLS估计原模型得到残差序列 ，然后利用残差序列的绝对值的倒数序列作为加权序列，即令,实例,：采用该方法修正6-1模型的异方差性,22,（一）加权最小二乘法,OLS是加权最小二乘法的特例,显然，当满足同方差假定时，,w,1,=w,2,=,=w,n,=1/,=常数,即权数相等且等于常数，加权最小二乘法，就是OLS法,。,23,纠正异方差性的一个可行程序,（1）将y对,x,1,x,2,x,k,做回归并得到残差,u,;,（2）将残差进行平方，然后再取自然对数而得到log(u,2,);,（3）做log(u,2,)对,x,1,x,2,x,k,的回归并得到拟合值g；,（4）求拟合值的指数：h=exp(g),（5）以1/h为权数用WLS来估计方程。,在（3）中做log(u,2,)对 的回归本质上是完全一样的,24,实例：,采用Wooldridge中的数据Smoke.Raw中的数据来估计一个对日香烟消费量的需求函数。,基本回归模型如下：,cigs,=,a,0,+,a,1,log(,income,)+,a,2,log(,cigpric,)+,a,3,educ,+,a,4,age,+,a,5,age,2,+,a,6,restaurn,其中,cigs,为每天吸烟的数量；,income,为年收入；,cigpric,为每包香烟的价格（以美分为单位）；,educ,为受教育年数；,age,为年龄；,restaurn,为一个二值变量（若此人居住的州禁止在餐馆吸烟，则取值1，否则取值0）。,25,（二）模型的重新设定,在计量经济学实践中，计量经济学家偏爱使用对数变换解决问题，往往一开始就把数据化为对数形式，再用对数形式数据来构成模型，进行回归估计与分析。,这主要是因为对数形式可以减少异方差和自相关的程度。,26,案例居民储蓄模型估计,1、问题的提出,2、初步模型估计,3、异方差检验,4、异方差模型的估计,加权LS法和模型变换法,27,1、问题的提出,储蓄是居民的,金融消费,，也是满足相应收入水平的“基本生活”以后的,扩展消费,，从具体问题的经验分析，储蓄具有异方差特性。因此建立储蓄模型就不能使用最小二乘法。,28,2、初步模型估计,首先，估计居民储蓄与可支配收入之间的回归模型,29,残差与收入x的散点图,30,3、异方差检验,图示法检验：,残差平方与自变量呈比较典型的喇叭型,31,32,异方差：残差随收入增大而增大,33,4、异方差模型的估计,加权最小二乘法,在分析收入对储蓄的影响的时候，权数变量可以选取,h,i,=,inc,i,于是基本模型,sav,i,=,a,0,+,a,1,inc,i,+,e,i,变为,34,权数序列名,Proce=Equation=Option=选定异方差、给出权数名=OK,同质性,35,加权最小二乘法估计结果,36,加权最小二乘法残差与X的散点图,37,WLS处理后的残差图,38,