因式分解(高级篇)十字相乘

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,因式分解（高级篇）,因式分解的其他常用方法,知识结构,因式分解常用方法,提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法,拆项添项法,配方法,待定系数法,求根法,一、提公因式法,只需,找到,多项式中的,公因式,，然后用,原多项式除以公因式,，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。,提公因式法,随堂练习：,1,）,15(,m,n,)+13(,n,m,),2,）,4(,x,+,y,)+4(,x,3,y,),二、公式法,只需发现多项式的,特点,，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法,结合,或多种公式,结合,。,接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。,常用公式,1,、,(,a,+,b,)(,a,b,)=,a,2,b,2,（,平方差公式）,2,、,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,（完全平方公式）,3,、,(,a,+,b,+,c,),2,=,a,2,+,b,2,+,c,2,+2,ab,+2,ac,+2,bc,4,、,a,3,+,b,3,=(,a,+,b,)(,a,2,ab,+,b,2,),（立方和公式）,及,a,3,b,3,=(,a,b,)(,a,2,+,ab,+,b,2,),（立方差公式）,5,、,(,a,+,b,),3,=,a,3,+3,a,2,b,+3,ab,2,+,b,3,（完全立方和公式）,6,、,(,x,+,p,)(,x,+,q,)=,x,2,+(,p,+,q,),x,+,pq,7,、,x,2,+,y,2,+,z,2,+,xy,+,xz,+,yz,公式推导,三、十字相乘法,前面出现了一个公式：,(,x,+,p,)(,x,+,q,)=,x,2,+(,p,+,q,),x,+,pq,我们可以用它进行因式分解,（适用于二次三项式）,例,1,：因式分解,x,2,+4,x,+3,可以看出常数项,3=,1,3,而一次项系数,4=,1,+,3,原式,=(,x,+1,)(,x,+3,),暂且称为,p,、,q,型因式分解,例,2,：因式分解,x,2,7,x,+10,可以看出常数项,10=,(2),(5),而一次项系数,7=,(2),+,(5),原式,=(,x,2,)(,x,5,),这个公式简单的说，,就是把常数项拆成两个数的乘积，,而这两个数的和刚好等于一次项系数,十字相乘法,随堂练习：,1,）,a,2,6,a,+5 2,）,a,2,5,a,+6,3,）,x,2,(2,m,+1),x,+,m,2,+,m,2,特点：,二次项系数为,1,三、十字相乘法,试因式分解,6,x,2,+7,x,+2,。,这里就要用到,十字相乘法,（适用于二次三项式）,。,既然是二次式，就可以写成,(,ax,+,b,)(,cx,+,d,),的形式。,(,ax,+,b,)(,cx,+,d,)=,所以，需要将,二次项系数,与,常数项,分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。,ac,ad,+,bc,bd,=17,3,x,2,+11,x,+10,6,x,2,+7,x,+2,2,3,1,2,4,+3,=7,6,x,2,+7,x,+2=(,2,x,+,1,)(,3,x,+,2,),1,3,5,2,2,+15,=11,1,3,2,5,5,+6,3,x,2,+11,x,+10=(,x,+,2,)(,3,x,+,5,),(,ax,+,b,)(,cx,+,d,)=,ac,ad,+,bc,bd,=6,5,x,2,6,xy,8,y,2,试因式分解,5,x,2,6,xy,8,y,2,。,这里仍然可以用,十字相乘法,。,1,5,2,4,4,10,5,x,2,6,xy,8,y,2,=(,x,2,y,)(,5,x,+,4,y,),简记口诀：,首尾分解，交叉相乘，求和凑中。,十字相乘法,随堂练习：,1,）,4,a,2,9,a,+2,2,）,7,a,2,19,a,6,3,）,2(,x,2,+,y,2,)+5,xy,2,课时,四、分组分解法,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些,变换,达到因式分解的目的。,例,1,：因式分解,ab,ac,+,bd,cd,。,解：原式,=,(,ab,ac,),+,(,bd,cd,),=,a,(,b,c,),+,d,(,b,c,),=,(,a,+,d,),(,b,c,),还有别的解法吗？,四、分组分解法,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些,变换,达到因式分解的目的。,例,1,：因式分解,ab,ac,+,bd,cd,。,解：原式,=,(,ab,+,bd,),(,ac,+,cd,),=,b,(,a,+,d,),c,(,a,+,d,),=(,a,+,d,),(,b,c,),例,2,：因式分解,x,5,+,x,4,+,x,3,+,x,2,+,x,+1,。,解：原式,=(,x,5,+,x,4,+,x,3,)+(,x,2,+,x,+1),=(,x,3,+1),(,x,2,+,x,+1),=,(,x,+1)(,x,2,x,+1),(,x,2,+,x,+1),立方和公式,分组分解法,随堂练习：,1,）,xy,xz,y,2,+2,yz,z,2,2,）,a,2,b,2,c,2,2,bc,2,a,+1,回顾例题：,因式分解,x,5,+,x,4,+,x,3,+,x,2,+,x,+1,。,另解：原式,=(,x,5,+,x,4,)+(,x,3,+,x,2,)+(,x,+1),=(,x,+1)(,x,4,+,x,2,+1),=(,x,+1)(,x,4,+2,x,2,+1,x,2,),=(,x,+1),(,x,2,+1),2,x,2,=,(,x,+1),(,x,2,+,x,+1),(,x,2,x,+1),*,五、拆项、添项法,怎么结果与刚才不一样呢？,因为它还可以继续因式分解,拆项添项法对数学能力有着,更高的要求,，需要,观察,到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的,预见性,，尝试较多，做题较繁琐。,最好能根据现有多项式内的项,猜测,可能需要使用的公式，有时要根据形式,猜测,可能的系数。,五,*,、拆项添项法,例,因式分解,x,4,+4,解：原式,=,x,4,+,4,x,2,+4,4,x,2,=(,x,2,+2),2,(2,x,),2,=(,x,2,+2,x,+2)(,x,2,2,x,+2),都是平方项,猜测使用完全平方公式,完全平方公式,平方差公式,拆项添项法,随堂练习：,1,）,x,4,23,x,2,y,2,+,y,4,2,）,(,m,2,1)(,n,2,1)+4,mn,配方法,配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式,配成完全平方式,，再用平方差公式进行分解。,因式分解,a,2,b,2,+4,a,+2,b,+3,。,解：原式,=(,a,2,+4,a,+4)(,b,2,2,b,+1),=(,a,+2),2,(,b,1),2,=(,a,+,b,+1)(,a,b,+3),配方法,(,拆项添项法,),分组分解法,完全平方公式,平方差公式,六*、待定系数法,试因式分解,2,x,2,+3,xy,9,y,2,+14,x,3,y,+20,。,通过十字相乘法得到,(2,x,3,y,)(,x,+3,y,),设原式等于,(2,x,3,y,+,a,)(,x,+3,y,+,b,),通过比较两式同类项的系数可得：,解得：，原式,=(2,x,3,y,+4)(,x,+3,y,+5),待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。,=3,=14,10,+4,2,x,2,+3,xy,9,y,2,+14,x,3,y,+20,双十字相乘法,双十字相乘法适用于,二次六项式,的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。,因式分解,2,x,2,+3,xy,9,y,2,+14,x,3,y,+20,。,2,1,3,3,6,3,4,5,=3,12,15,原式,=(,2,x,3,y,+,4,)(,x,+,3,y,+,5,),七*、求根法,设原多项式等于零，解出方程的解,x,1,、,x,2,，则原式就可以分解为,(,x,x,1,)(,x,x,2,)(,x,x,3,),更多的方法需要同学们自己去寻找,!,多练才能拥有自己的解题智慧,!,综合训练,(,一,),综合训练,(,二,),2,、,x,2,y,y,2,z,+,z,2,x,x,2,z,+,y,2,x,+,z,2,y,2,xyz,因式,分解后的结果是,(),。,A.(,y,z,)(,x,+,y,)(,x,z,)B.(,y,z,)(,x,y,)(,x,+,z,),C.(,y,+,z,)(,x,y,)(,x,+,z,)D.(,y,+,z,)(,x,+,y,)(,x,z,),3,、因式分解,x,3,+6,x,2,+11,x,+6,。,综合训练,(,三,),总结训练,(,一,),总结训练,(,二,),