随机样本和抽样分布

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,参数估计,回归分析,推断,统计学,假设检验,其余还有：方差分析、聚类分析、因子分析等,4.1.1,总体与样本,总体,研究对象全体元素组成的集合,所研究对象的某个,(,或某些,),数量指标的全体,它是一个随机变量,(,或多维随机变量,).,记为,X,.,X,的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.,6.1,一、基本概念,样本,从总体中抽取的部分个体,.,称 为总体,X,的一个容量为,n,的样本观测值,或称样本的一个实现,.,用 表示,n,为,样本,容量,.,样本空间,样本所有可能取值的集合,.,个体,组成总体的每一个元素,即总体的每个数量指标,可看作随机,变量,X,的某个取值.用,表示,.,若总体,X,的,样本 满足,:,一般,对,有限总体,放回抽样,所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用,不放回抽样,代替,.,而代替的条件是,(1),与,X,有相同的分布,(2),相互独立,则称 为简单随机样本.,简单随机样本,N,/,n,10.,总体中个体总数,样本容量,设总体,X,的分布函数为,F,(,x,),则样本,若总体,X,的,d.f.,为,f,(,x,),则,样本,的联合,d.f.,为,的联合分布函数为,设 是取自总体,X,的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量,为,统计量,.,若,是一个样本值,称,的,一个样本值,为统计量,统计量,例,是,未知参数,若,已知,则为统计量,是统计量,其中,是一样本,则,但,不是统计量,.,常用统计量,为,样本均值,为,样本方差,为,样本标准差,设,是来自总体,X,的容量,为,n,的样本,称统计量,为,样本的,k,阶,原点矩,例如,例,从一批机器零件毛坯中随机地抽取,10,件,测得其重量为,(,单位,:,公斤,):,210,243,185,240,215,228,196,235,200,199,求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩,.,解,令,例,1,则,确定,统计量的分布,是数理统计的基本问题之一,.,正态总体,是最常见的总体,本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言,.,抽样分布,二、统计中常用分布,(1),正态分布,特别地,则,若,则,若,若,X,i,相,互,独,立,中心极限定理,标准正态分布的,分位数,定义,分布的,分位数,.,若 ，则称,u,为标准正态,正态分布的双侧,分位数,.,若,则称,u,/2,为标准,标准正态分布的,分位数图形,u,常用,数字,/2,/2,u,/,2,-u,/,2,(2),分布,(,n,为自由度,),定义,设,相互独立,且都服从标准正态分布,N,(,0,1,),则,n,=1,时,其密度函数,为,n,=2,时,其密度函数,为,为参数为,1/2,的指数分布,.,一般,其中，,在,x,0,时收敛，称为,函数，具有性质,的密度函数,为,自由度为,n,的,n=,2,n=,3,n=,5,n,=10,n,=15,例,分布的性质,2,0.05,(10),n=,10,(3),t,分布,(,Student,分布,),定义,则称,T,服从自由度为,n,的,T,分布,.,其,密度函数,为,X,Y,相互独立,设,t,分布的图形,(,红色的是标准正态分布,),n,=,1,n,=,20,t,分布的性质,1,f,n,(,t,),是偶函数,2,T,分布的,分位数,t,与双测,分位数,t,/,2,均,有表可查,.,n=,10,t,-t,t,/2,-t,/2,/2,/2,(4),F,分布,则称,F,服从为,第一自由度,为,n,第二自由度,为,m,的,F,分布,.,其密度函数为,定义,X,Y,相互独立，,设,令,F,分布的性质,例如,事实上,故,求,F,(n,m,),例,证明,证,三、抽,样分布的某些结论,(),一个正态总体,与,相互独立,设,总体,样本为,(),，,(,1,),(,2,),(,II,),两个正态总体,令,相互独立,的简单随机样本,.,设,与,分别是来,自正态总体,与,的,则,若,则,(,3,),则,相互独立,的简单随机样本,.,设,与,分别是来,自正态总体,与,的,与,相互独立,(,4,),的概率不小于,90%,则样本容量至少取多少,?,例,设,为使样本均值大于,70,解,设样本容量为,n,则,故,令,得,即,所以取,例,从正态总体,中，抽取了,n=,20,的样本,(1),求,(2),求,解,(1),即,故,(2),故,例,设,r.v.,X,与,Y,相互独立，,X N,(0,16),Y N,(0,9),X,1,X,2,X,9,与,Y,1,Y,2,Y,16,分别是取自,X,与,Y,的简单随机样本,求,统计量,所服从的分布,.,解,从而,例,在总体 中,随机抽取一个容量,为,36,的样本,求样本均值 落在,50.8,到,53.8,之间的概率,.,解,故,例,2,例,设总体,X,的概率密度函数为,为总体的样本,求,(1),的数学期望与方差,(2),(3),解,(1),例,3,近似,(3),由中心极限定理,(2),