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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.3、偏导数与高阶偏导数,1.3.1偏导数的概念,定义1 设函数 在点 的某一邻域内有定义，当 固定在 ,而 在 处有增量 时，相应地函数有增量,如果,存在，则称此极限为函数 在点 处对 的,偏导数,，记为,或,同理,可定义,函数 在点 处对 的偏导数，为,记为 ，,或,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,1.3.2偏导数的计算,由偏导数的定义可知,函数对某一自变量的偏导数就是把其他变量暂时视为常数时函数对这个自变量的变化率.因此偏导数的计算与一元函数和求导数没有不同.,解,证,原结论成立,解,不存在,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,1.3.3、偏导数存在与连续的关系,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导,连续，,多元函数中在某点偏导数存在,连续，,例,1.3.4,1.3.4、偏导数的几何意义,如图,过,作平面,截此曲面得一曲线,几何意义:,例,1.3.5,求曲线,在 处的切线与,y,轴正向之间的夹角,.,解,由偏导数的几何意义有,有,可得,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,1.3.5、高阶偏导数,解,解,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？看下面的例子,.,问题：,因此有,再由偏导数定义可得,由以上两个例子可以看出,混合偏导数相等是有条件的,这个条件如下,解,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,（偏增量比的极限）,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,三、小结,思考题,思考题解答,不能.,例如,练 习 题,练习题答案,
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