角平分线及其画法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,15.4,角的平分线,岳西县莲云中心学校 储岳普,问题,1,：,如图，,S,区离公路与铁路交叉处,500,米，要在,S,区建一个贸易市场，使它位于铁路和公路交叉中间，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为,120000,）,问题情境,s,应建在角平分线上,问题,2,：,怎样作出一个角的平分线？,方法一：,对折法,轴对称图形,方法二：,度量法,量角器,方法三：,尺规作图,直尺、圆规,探究,1,：,A,O,仔细观察步骤,基本作图：平分已知角,已知,：,(,如图,),求作,：,的角平分线,OC.,已知,：,(,如图,),求作,：,的角平分线,OC.,证明,:,连结,MC,NC,由作法知,:,在,OMC,和,ONC,中,OM=ON,MC=NC,OC=OC,OMCONC(SSS),AOC=BOC,即,:OC,是的角平分线,.,基本作图：平分已知角,作法,：,1,、以,O,为圆心，适当长为半径作弧，交,OA,于,M,，交,OB,于,N,。,2,、分别以,M,、,N,为圆心，大于 的长为半径在角的内部作弧，两弧在,AOB,内部交于点,C,。,3,、作射线,OC,，射线,OC,即为所求。,1,2,MN,A,B,O,M,N,C,A,B,O,A,O,E,B,C,P,D,将,AOB,对折,再折出一个直角三角形,(,使第一条折痕为斜边,),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论,?,可以看一看,第一条折痕是,AOB,的平分线,OC,第二次折叠形成的两条折痕,PD,PE,是角的平分线上一点到,AOB,两边的,距离,这两个距离相等,.,问题,3,：折一折,探究,2,：,画一画、量一量,按照,做一做,的顺序画,AOB,的折痕,OC,过点,P,的垂线段,PD,、,PE,，并度量所画,PD,、,PE,是否等长？,同学甲,、,乙谁的画法是正确的,?,猜想：,角,平分线上的点,到这个角的两边距离相等,.,已知,:,(,如图,),C,平分,P,是,OC,上一点,PDOA,PEOB,求证,:,PD=PE,证明,:,C,平分,P,是,OC,上一点（已知）,D,P=B,P,（角平分线定义）,PDOA,PEOB,（已知）,ODP=OEP=90,（垂直的定义）,在,OPD,和,OPE,中,DOP=BOP,（已证）,ODP=OEP,（已证）,OP=OP,（公共边）,ADCABC (,S),（全等三角形对应边相等）,E,D,O,A,B,P,C,角平分线的性质定理：,定理,1,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,B,A,D,O,P,E,C,定理应用所具备的,条件,：,（,1,）角的平分线；,（,2,）点在该平分线上；,（,3,）垂直距离。,定理的作用：,证明线段相等。,应用定理的书写格式：,OP,是 的平分线,PD=PE,（,在角的平分线上的点,到这个角的两边的距离相等。,）,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,如图，,AD,平分,BAC,（已知）,=,，,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（,）,练习：,如图，,DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（,）,AD,平分,BAC,DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，（）,DB,DC,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,B,思考：,如图所示,OC,是,AOB,的平分线,P,是,OC,上任意一点,问,PE=PD?,为什么,?,O,A,E,D,C,P,PD,PE,没有垂直,OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等,.,，,1,、在,RtABC,中，,BD,是角平分线，,DEAB,，垂足为,E,，,DE,与,DC,相等吗？为什么？,A,B,C,D,E,2,、如图,OC,是,AOB,的平分线,点,P,在,OC,上,PDOA,PEOB,垂足分别是,D,、,E,PD=4cm,则,PE=_cm.,A,D,O,B,E,P,C,知识应用,3,、已知,:,如图,在,ABC,中,AD,是它的角平分线,且,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是,E,F.,求证,:EB=FC.,B,A,E,D,C,F,知识应用,4,、已知：如图，,ABC,中，,C=90,，,AD,是,ABC,的角平分线，,DEAB,于,E,，,F,在,AC,上,BD=DF,，,求证：,CF=EB,。,应用与提高,证明：,AD,平分,CAB,DEAB,，,C,90,（已知）,CD,DE (,角平分线的性质,),在,tCDF,和,RtEDB,中,CD=DE,（已证）,DF=DB,（已知）,RtCDFRtEDB (HL),CF=EB,（全等三角形对应边相等）,问题,1,：,如图，要在,S,区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处,500,米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为,120000,）,解决问题,s,解：作夹角的角平分线,OC,，截取,OD=2.5cm,D,即为所求。,D,C,s,小结：,这节课我们学到了什么？在生活中有那些用到了我们今天学到的知识。,1,、,如何作已知角的平分线,2,、角,平分线上的点,到这个角的两边距离相等,.,作业：同步练习,思考,:,1,、由角平分线的作法，你能作出,“,过一点作已知直线的垂线吗,”,？,2,、角平分线性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？,