高中数学试题:平面向量单元复习题(一)

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平面向量单元复习题(一)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1下列命题正确的是 ( )A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a,b满足|a|b|且a与b同向,则abD.对于任意向量a、b,必有|ab|a|b| 2如图,四边形ABCD中,则相等的向量是( )A. 与 B. 与C. 与 D. 与 3下列命题中,正确的是 ( )A.若|a|b|,则ab B.若ab,则a与b是平行向量C.若|a|b|,则ab D.若a与b不相等,则向量a与b是不共线向量 4已知a5b,2a8b,3(ab),则 ( )A.A、B、D三点共线B.A、B、C三点共线C.B、C、D三点共线D.A、C、D三点共线 5当|a|b|0且a、b不共线时,ab与ab的关系是 ( )A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 6如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,在向量,中与共线的向量有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个 7若M是ABC的重心,则下列向量中与共线的是 ( )A. B. C. D.3 8已知正方形的边长为1,a,b,c,则|abc|等于( )A.0 B.3 C. D.2 9已知a,b,c,d,且四边形ABCD为平行四边形,则 ( )A.abcd0B.abcd0C.abcd0D.abcd0 10已知D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点,且a,b,c,则下列各式:cb ab ab 0其中正确的等式的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11如图,M、N是ABC的一边BC上的两个三等分点,若a,b,则_ _. 12已知向量a、b不共线,实数x、y满足向量等式3xa(10y)b2xb(4y4)a,则x_,y_.13设a表示“向东走4 km”,b表示“向北走3 km”,则ab表示_.14a、b是给定的不共线的向量,且,则向量x_,y_.15已知ABCDEF为正六边形,且a,b,则用a,b表示为_.16已知四个力F1(2,1),F2(3,2),F3(4,3),F4作用于物体的同一点,若物体受力后保持平衡,则F4_. 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)如图,ABCD是一个梯形,ABCD,且AB2CD,M、N分别是DC和AB的中点,已知a,b,试用a、b表示和.18(本小题满分14分)已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证4.19(本小题满分14分)四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F,求证:()20(本小题满分15分)在ABC中,DEBC,与边AC相交于点E,ABC的中线AM与DE相交于点N,设a,b,试用a,b表示.21 (本小题满分15分)对于两个向量a,b,求证:|a|b|ab|a|b|.平面向量单元复习题(一)答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1D 2D 3B 4A 5B 6C 7C 8D 9B 10C二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11(ba) 124 2 13向东偏北arcsin方向走5 km.14ab,ab 15ab 16(1,2)三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)如图,ABCD是一个梯形,ABCD,且AB2CD,M、N分别是DC和AB的中点,已知a,b,试用a、b表示和.【解法一】 连结CN,则AN DC四边形ANCD是平行四边形.b,又0babaab【解法二】 0即:a(a)(b)0,ba又在四边形ADMN中,有0,即:ba(a)0,ab.【评注】 比较两种解法,显然解法二更简捷.18(本小题满分14分)已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证4.【证明】 E是对角线AC与BD的交点,.在OAC中,同理有,.四式相加可得:4.19(本小题满分14分)四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F,求证:()【证法一】 E、F分别为DA、BC的中点.,又0 0 ,得2()()()02()()【证法二】 连结EC,EB ,得20()又 ,得(),又0,().20(本小题满分15分)在ABC中,DEBC,与边AC相交于点E,ABC的中线AM与DE相交于点N,设a,b,试用a,b表示.【解】 因为M为BC的中点,所以有()(ba)(ab),因为,.根据向量共线的充要条件,存在实数和,使得(ba),(ab)因为a(ba)()ab根据基本定理有,解方程得,可得(ba).21 (本小题满分15分)对于两个向量a,b,求证:|a|b|ab|a|b|.【证明】 (1)若a、b中有一个为0时,不等式显然成立.(2)若a,b都不等于0时,作a,b,则ab.当a、b不共线时,如图(1)有| (1)即:|a|b|ab|a|b|.当a、b共线时1若a、b同向,如图(2)有 (2)|即:|ab|a|b|.2若a,b反向时,如图(3)有 (3)|即:|a|b|ab|综上可知:|a|b|ab|a|b|.
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