切线长定理与圆内切三角形

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,切线长定理,问题,.,经过平面上的一个点，作圆的切线会有哪些情形？,O,O,O,P,P,P,A,一,.,新课引入,B,由此得：,若点在圆上，可作圆的一条切线；若点在圆内，不可作圆的切线；若点在圆外，可作圆的两条切线，,经过圆外一点作圆的切线，这,一点,和,切点,之间的,线段的长,叫做,圆的切线长,P,A,B,O,切线与切线长的区别与联系：,切线是一条与圆相切的直线,切线是长线段,切线长是指,切线上,某一点与切点间的线段的长。,1.,切线长的定义,二,.,合作探究,O,若从,O,外的一点引两条切线,PA,，,PB,，切点分别是,A,、,B,，连结,OA,、,OB,、,OP,，你能发现图中有哪些相等的量？,P,PA=PB,OPA=OPB,证明：,PA,，,PB,与,O,相切，点,A,，,B,是切点,OAPA,，,OBPB,即,OAP=OBP=90,OA=OB,，,OP=OP,RtAOPRtBOP(HL),PA=PB OPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,A,B,A,P,O,。,B,M,若连结两切点,A,、,B,，,AB,交,OP,于点,M.,你又能得出什么新的结论,?,并给出证明,.,OP,垂直平分,AB,证明：,PA,，,PB,是,O,的切线,点,A,，,B,是切点,PA=PB OPA=OPB,PAB,是等腰三角形，,PM,为顶角的平分线,OP,垂直平分,AB,PA,、,PB,分别切,O,于,A,、,B,PA=PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的,切线长相等,，圆心和这一点的连线平分,两条切线的夹角,。这点和圆心的连线,垂直平分,两切点的连线,几何语言,:,OPAB,AD=BD,A,P,O,。,B,D,三,.,归纳总结,切线长定理：,切线长定理的应用,如图，已知：,PA,、,PB,是,O,的两条切线，,A,、,B,为切点，直线,OP,交于,O,于点,D,、,E,，交,AB,于,C,。,（,1,）写出图中所有的垂直关系,OAPA,，,OB PB,，,AB OP,（,3,）写出图中所有的全等三角形,AOP BOP,，,AOC BOC,，,ACP BCP,（,4,）写出图中所有的相似三角形,AOC BOC AOPBOP ACPBCP,（,5,）写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,（,2,）写出图中与,OAC,相等的角,OAC=OBC,，,APC=BPC,，,AOC=BOC,B,A,P,O,C,我们学过的切线，常有以下六个性质：,1,、切线和圆只有一个公共点；,2,、圆心到切线的距离等于圆的半径；,3,、切线垂直于过切点的半径；,4,、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；,5,、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6,、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,例,1,、如图，,PA,、,PB,是,O,的切线，,A,、,B,为切点，,OAB,30,（,1,）求,APB,的度数；,（,2,）当,OA,3,时，求,AP,的长,P,B,A,O,四,.,精讲点拨,例,2.,如图,1,是一个不知其半径的圆形铁球，小明用下面的办法可测的铁球的半径。他将铁球放置在一个夹角是,60,的,V,形架中，它的平面示意图如图,2.,已知：,CA,和,CB,都是,O,的切线，切点分别是,A,、,B,。如果测得,CA=8cm,，求铁球的半径。,图,1,A,O,B,C,图,2,D,例,3.,已知：如图，,P,为,O,外一点，,PA,，,PB,为,O,的切线，,A,和,B,是切点，,BC,是直径。,C,50,，,求,APB,的度数,求证：,ACOP,。,A,B,O,C,P,五,.,随堂练习,P,B,O,A,一、填空,如图,PA,、,PB,切圆于,A,、,B,两点,连结,PO,，若,APB=50,则,APO=_,度。,三，选择题,如图，,PA,、,PB,、,DE,分别切,O,于,A,、,B,、,C,，,DE,分别交,PA,，,PB,于,D,、,E,，已知,P,到,O,的切线长为,8CM,，则,PDE,的周长为（）,A 16cm B 14cm C 12cm D 8cm,D,C,B,E,A,P,1.,如图，过半径为,6cm,的,O,外一点,P,作圆的切线,PA,、,PB,，连结,PO,交,O,于,F,，过,F,作,O,切线分别交,PA,、,PB,于,D,、,E,，如果,PO,10cm,，求,PED,的周长。,六,.,课后作业,P,A,B,C,O,M,2.,如图，,AC,为,O,的直径，,PA,、,PB,分别切,O,于点,A,、,B,，,OP,交,O,于点,M,，连结,BC,。,(1),若,OA=3cm,APB=60,，求,PA,的长,(2),观察,OP,与,BC,的位置关系，并给予证明。,F,O,E,D,P,B,A,3.,如图，已知,AB,、,AC,是,O,的切线，,B,、,C,为,切点，连结,BC,交,AO,于,D.,若,AD=6,，,AO=8,，求切线长,AB,的长；,若,BC=4,，,BAO=30,，求,O,的直径。,C,O,A,B,D,圆内切三角形,一,.,新课引入,2.,如图是三条两两相交的公路，某加油站准在某处修一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，如何选址？符合条件的加油站地址有几处？,分析：,A,B,C,1.,到公路,AB,、,AC,距离相等的加油站点如何确定？,2.,到公路,AB,、,BC,距离相等的加油站点如何确定？,1.,角平分线有什么性质？,2.,什么角三角形的外心？外心有什么性质？,二,.,合作探究,如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形用料,并且使圆的面积尽可能大呢,?,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,.,内切圆的圆心叫三角形的内心,.,A,B,C,三角形三条角平分线的交点,叫三角形的内心,.,内心到三边的距离相等。,例,1.ABC,的内切圆,O,与,BC,、,CA,、,AB,分别相切于点,D,、,E,、,F,，且,AB=9cm,，,BC=14cm,，,CA=13cm,，求,AF,、,BD,、,CE,的长,.,解,:,设,AF=x(cm),则,AE=x(cm),CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x,由,BD+CD=BC,可得,(13-x)+(9-x)=14,解得,x=4,AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).,三,.,精讲点拨,A,B,C,E,D,F,O,例,2.,如图，,RtABC,中，,C,90,BC,a,AC,b,AB,c,O,为,RtABC,的内切圆，求：,RtABC,的内切圆的半径,r.,设,AD=,x,BE=,y,CE,r,O,与,RtABC,的三边都相切,AD,AF,BE,BF,CE,CD,则有,x,r,b,y,r,a,x,y,c,解：,设,RtABC,的内切圆与三边相切于,D,、,E,、,F,，连结,OD,、,OE,、,OF,，则,OAAC,，,OEBC,，,OFAB,。,解得,r,a,b,c,2,设,RtABC,的直角边为,a,、,b,，斜边为,c,，则,RtABC,的,内切圆的半径,r,或,r,a,b,c,2,ab,a,b,c,例,3.,已知,:,如图,ABC,的面积为,S,三边长分别为,a,b,c.,求内切圆,O,的半径,r.,A,B,C,O,O,D,E,F,1.,边长为,3,、,4,、,5,的三角形的内切圆的半径为,_,2,.,边长为,5,、,5,、,6,的三角形的内切圆的半径为,_,3.,已知,:ABC,的面积,S=4cm,周长等于,10cm.,则,内切圆,O,的半径是,_,.,4.,已知：在,ABC,中，,BC,14cm,，,AC,9cm,，,AB,13cm,，,BC,，,AC,，,AB,分别与,O,切于点,D,、,E,、,F,，求,AF,，,BD,和,CE,的长。,四,.,课后作业,E,F,O,D,C,B,A,1.,已知,四边形,ABCD,的边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,分别与,O,相切于,P,、,Q,、,M,、,N,，,求证：,AB+CD=AD+BC,。,D,A,B,C,O,M,N,P,Q,2.,如图，一圆内切于四边形,ABCD,，且,AB=16,，,CD=10,，则四边形的周长为,(),（,A,）,50,（,B,）,52,（,C,）,54,（,D,）,56,D,A,B,C,