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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,级数的收敛、求和与展开,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第十二章,求和,展开,(在收敛域内进行),基本问题,：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,时为数项级数;,时为幂级数;,一、数项级数的审敛法,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz,判别法:,若,且,则交错级数,收敛 ,概念:,且余项,若,收敛 ,称,绝对收敛,若,发散 ,称,条件收敛,设,u,n,和,v,n,都是正项级数,且,u,n,kv,n,(,k,0,n,N,),.,若级数,v,n,收敛,则级数,u,n,收敛,;,若级数,u,n,发散,则级数,v,n,发散,.,p,级数的收敛性,证,比较审敛法,例1,定理,3(,比较审敛法的极限形式,),解,例2,解,定理,(,比较审敛法的极限形式,),例3,收敛,当,1(或,)时级数发散,当,1时级数可能收敛也可能发散,定理,(,比值审敛法,达朗贝尔判别法,),解,所以,根据比值审敛法可知所给级数收敛,例4,证明级数,是收敛的,所以,根据比值审敛法可知所给级数发散,下页,解,收敛,当,1(或,)时级数发散,当,1时级数可能收敛也可能发散,定理,(,比值审敛法,达朗贝尔判别法,),例5,提示,:,所以, 根据,比值审敛法可知所给级数收敛,下页,解,收敛,当,1(或,)时级数发散,当,1时级数可能收敛也可能发散,定理,(,比值审敛法,达朗贝尔判别法,),例6,定理,(,极限审敛法,),因为,解,根据极限审敛法,知所给级数收敛,下页,例7,定理,(,极限审敛法,),因为,解,根据极限审敛法,知所给级数收敛,首页,例8,这是一个交错级数,.,解,由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和,s,u,1,1,首页,则级数收敛,且其和,s,u,1,其余项,r,n,的绝对值|,r,n,|,u,n,1,.,定理,(,莱布尼茨定理,),因为此级数满足,例12,例9,三、绝对收敛与条件收敛,绝对收敛与条件收敛,定理,(,绝对收敛与收敛的关系,),应注意的问题,下页,解,下页,定理,(,绝对收敛与收敛的关系,),例13,例10,结束,定理,(,绝对收敛与收敛的关系,),解,例14,例11,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数: 先求收敛半径,R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,题7,. 求下列级数的敛散区间:,下页,因此,收敛域为(,1, 1,.,解,定理,(,收敛半径的求法,),例12,解,因为,所以收敛半径为,R,从而收敛域为(,),.,下页,定理,(,收敛半径的求法,),例13,解,因为,所以收敛半径为,R,0,即级数仅在,x,0处收敛,.,下页,定理,(,收敛半径的求法,),例14,提示,:,此级数缺少奇次幂的项,前述求收敛半径的方法不能直接应用,.,提示,:,解,这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径,.,当4|,x,|,2,1即|,x,|1即|,x,| 时级数发散,下页,例15,这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径,.,当4|,x,|,2,1即|,x,|1即|,x,| 时级数发散,下页,解,例16,解,所以收敛半径,R,2,.,所以原级数的收敛域为,1, 3),.,即,2,x,12,或,1,x,3,因此收敛域为,2,t,例19,练习:,解:,(1),显然,x,= 0,时上式也正确,故和函数为,而在,x,0,题8,. 求下列幂级数的和函数：,级数发散,(4),显然,x,= 0,时, 和为 0 ;,根据和函数的连续性 , 有,x,=,1,时,级数也收敛 .,即得,练习:,解:,原式=,的和 .,题9(2),. 求级数,四、函数的幂级数和付式级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1.,将函数,展开成,x,的幂级数., 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,解:,1. 函数的幂级数展开法,例5,解,已知,把,x,换成,x,2,得,提示,:,收敛半径的确定:,由-,1,-,x,2,1,得,-,1,x,1,.,下页,例20,幂级数展开式小结,谢谢大家！,
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