MATLAB数据分析与多项式计算(1)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,6,讲,MATLAB,数据分析,与多项式计算,6.1,数据统计处理,6.2,数据插值,6.3,曲线拟合,6.4,离散傅立叶变换,6.5,多项式计算,6.1,数据统计处理,6.1.1,最大值和最小值,MATLAB,提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为,max,和,min,，两个函数的调用格式和操作过程类似。,1,求向量的最大值和最小值,求一个向量,X,的最大值的函数有,两种调用格式,，分别是：,(1),y=,max(X,),：返回向量,X,的最大值存入,y,，如果,X,中包含复数元素，则按模取最大值。,(2),y,I,=,max(X,),：返回向量,X,的最大值存入,y,，最大值的序号存入,I,，如果,X,中包含复数元素，则按模取最大值。,求向量,X,的最小值的函数是,min(X,),，用法和,max(X,),完全相同。,例,6-1,求向量,x,的最大值。,命令如下：,x=-43,72,9,16,23,47;,y=,max(x,)%,求向量,x,中的最大值,y,l,=,max(x,)%,求向量,x,中的最大值及其该元素的位置,2,求矩阵的最大值和最小值,求矩阵,A,的最大值的函数有,3,种调用格式，分别是：,(1),max(A,),：返回一个,行向量,，向量的第,i,个元素是矩阵,A,的第,i,列上的最大值。,(2),Y,U=,max(A,),：返回,行向量,Y,和,U,，,Y,向量记录,A,的每列的最大值，,U,向量记录每列最大值的行号。,(3),max(A,dim,),：,dim,取,1,或,2,。,dim,取,1,时，该函数和,max(A,),完全相同；,dim,取,2,时，该函数返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,矩阵的第,i,行上的最大值。,求最小值的函数是,min,，其用法和,max,完全相同。,例,6-2,分别求下列,43,矩阵,A,中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。,程序如下：,A=13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1;,Y=,max(A);Z,=max(A,2);y=,max(Y,);,z=,min(min(A,);,Y=Z=,78 63 563 78,63,y=z=563,1,563 -235,3,两个向量或矩阵对应元素的比较,函数,max,和,min,还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：,(1),U=,max(A,B,),：,A,B,是两个同型的向量或矩阵，结果,U,是与,A,B,同型的向量或矩阵，,U,的每个元素等于,A,B,对应元素的较大者。,(2),U=,max(A,n,),：,n,是一个标量，结果,U,是与,A,同型的向量或矩阵，,U,的每个元素等于,A,对应元素和,n,中的较大者。,min,函数的用法和,max,完全相同。,例,6-3,求两个,23,矩阵,x,y,所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵,p,。,操作如下：,x=4,5,6;1,4,8;y=1,7,5;4,5,7;p=,max(x,y,),6.1.2,求和与求积,数据序列求和与求积的函数是,sum,和,prod,，其使用方法类似。设,X,是一个向量，,A,是一个矩阵，函数的调用格式为：,sum(X,),：返回向量,X,各元素的和。,prod(X,),：返回向量,X,各元素的乘积。,sum(A,),：返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的元素和。,prod(A,),：返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的元素乘积。,sum(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,sum(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,行的各元素之和。,prod(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,prod(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,行的各元素乘积。,例,6-4,求矩阵,A,的每行元素的乘积和全部元素的乘积。,A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;,S=prod(A,2),prod(S,),6.1.3,平均值和中值,求数据序列平均值的函数是,mean,，求数据序列中值的函数是,median,。两个函数的调用格式为：,mean(X,),：返回向量,X,的算术平均值。,median(X,),：返回向量,X,的中值。,mean(A,),：返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的算术平均值。,median(A,),：返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的中值。,mean(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,mean(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,行的算术平均值。,median(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,median(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,行的中值。,6.1.4,累加和与累乘积,在,MATLAB,中，使用,cumsum,和,cumprod,函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：,cumsum(X,),：返回向量,X,累加和向量。,cumprod(X,),：返回向量,X,累乘积向量。,cumsum(A,),：返回一个矩阵，其第,i,列是,A,的第,i,列的累加和向量。,cumprod(A,),：返回一个矩阵，其第,i,列是,A,的第,i,列的累乘积向量。,cumsum(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,cumsum(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个矩阵，其第,i,行是,A,的第,i,行的累加和向量。,cumprod(A,dim,),：当,dim,为,1,时，该函数等同于,cumprod(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个向量，其第,i,行是,A,的第,i,行的累乘积向量。,例,6-5,求向量,y,的平均值和中值。,命令如下：,y=9,-2,5,6,7,12;,m=,mean(y,),median(y,),例,6-6,求向量,X=(1!,2!,3!,10!),。,命令如下：,X=cumprod(1:10),6.1.5,标准方差与相关系数,1,求标准方差,在,MATLAB,中，提供了计算数据序列的标准方差的函数,std,。对于向量,X,，,std(X,),返回一个标准方差。对于矩阵,A,，,std(A,),返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵,A,各列或各行的标准方差。,std,函数的一般调用格式为：,Y=,std(A,flag,dim,),其中,dim,取,1,或,2,。当,dim=1,时，求各列元素的标准方差；当,dim=2,时，则求各行元素的标准方差。,flag,取,0,或,1,，当,flag=0,时，按,S,1,所列公式计算标准方差，当,flag=1,时，按,S,2,所列公式计算标准方差。缺省,flag=0,，,dim=1,。,例,6-7,对二维矩阵,x,，从不同维方向求出其标准方差。,命令如下：,x=4,5,6;1,4,8;y1=std(x,0,1),y2=std(x,1,1),y3=std(x,0,2),y4=std(x,1,2),2,相关系数,MATLAB,提供了,corrcoef,函数，可以求出,数据的相关系数矩阵,。,corrcoef,函数的调用格式为：,corrcoef(X,),：返回从矩阵,X,形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵,X,一样。它把矩阵,X,的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。,corrcoef(X,Y,),：在这里，,X,Y,是向量，它们与,corrcoef(X,Y,),的作用一样。,例,6-8,生成满足正态分布的,100005,随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这,5,列随机数据的相关系数矩阵。,命令如下：,X=randn(10000,5);,M=,mean(X,),D=,std(X,),R=,corrcoef(X,),6.1.6,排序,MATLAB,中对向量,X,是排序函数是,sort(X,),，函数返回一个对,X,中的元素,按升序排列,的新向量。,sort,函数也可以对矩阵,A,的各列或各行重新排序，其调用格式为：,Y,I=,sort(A,dim,),其中,dim,指明对,A,的列还是行进行排序。若,dim=1,，则按列排；若,dim=2,，则按行排。,Y,是排序后的矩阵，而,I,记录,Y,中的元素在,A,中位置。,例,6-9,对下列矩阵做各种排序。,命令如下：,A=1,-8,5;4,12,6;13,7,-13;,sort(A,)%,对,A,的每列按升序排序,-sort(-A,2)%,对,A,的每行按降序排序,X,I=,sort(A,)%,对,A,按列排序，并将每个元素所在的行号送矩阵,I,Ex:,利用,MATLAB,提供的,randn,函数生成符合正态分布的,105,随机矩阵,A,，进行如下操作：,(1)A,各列元素的均值和标准差。,(2)A,的最大元素和最小元素。,(3),求,A,每行元素的和以及全部元素之和。,(4),分别对,A,的每列元素按升序、每行元素按降序。,6.2,数据插值,6.2.1,一维数据插值,数据插值的任务是,根据采集到的离散数据构造一个函数,g(x,),，既与真实函数,f(x,),接近，又有很好的性质,。,在,MATLAB,中，实现这些插值的一维函数是,interp1,，其调用格式为：,Y1=interp1(X,Y,X1,method),函数根据,X,Y,的值，计算函数在,X1,处的值。,X,Y,是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，,X1,是一个向量或标量，描述,欲插值的点,，,Y1,是一个与,X1,等长的插值结果。,method,是插值方法，允许的取值有,linear,、,nearest,、,cubic,、,spline,。,注意：,X1,的取值范围不能超出,X,的给定范围，否则，会给出“,NaN,”,错误。,例,6-10,给出概率积分 的数据表，用不同的插值方法计算,f(0.472),。,x=0.46:0.01:0.49;%,给出,x,f(x,),的值,f=0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683;,format long,interp1(x,f,0.472)%,线性插值,interp1(x,f,0.472,nearest)%,最近点插值,interp1(x,f,0.472,cubic)%3,次多项式插值,interp1(x,f,0.472,spline,)%3,次样条插值,MATLAB,中有一个专门的,3,次样条插值函数,Y1=spline(X,Y,X1),，其功能及使用方法与函数,Y1=interp1(X,Y,X1,spline,),完全相同。,例,6-11,某观测站测得某日,6:00,时至,18:00,时之间每隔,2,小时的室内外温度,(),，用,3,次样条插值分别求得该日室内外,6:30,至,17:30,时之间每隔,2,小时各点的近似温度,(),。,解：设时间变量,h,为一行向量，温度变量,t,为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：,h=6:2:18;,t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;,XI=6.5:2:17.5,YI=interp1(h,t,XI,spline,)%,用,3,次样条插值计算,6.2.2,二维数据插值,在,MATLAB,中，提供了解决二维插值问题的函数,interp2,，其调用格式为：,Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method),其中,X,Y,是两个向量，分别描