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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,目录 上页 下页 返回 结束,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,目的用多项式近似表示函数.,理论分析,近似计算,泰勒公式,第,三,章,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,x,的一次多项式,1. 求,n,次近似多项式,要求:,故,令,则,2. 余项估计,令,(称为余项) ,则有,公式,称为 的,n,阶泰勒公式,.,公式,称为,n,阶泰勒公式的,拉格朗日余项,.,泰勒,(Taylor),中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,泰勒,公式,称为,n,阶泰勒公式的,佩亚诺,(Peano),余项,.,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,*,可以证明:, 式成立,特例:,(1) 当,n,= 0,时, 泰勒公式变为,(2) 当,n,= 1,时, 泰勒公式变为,给,出拉格朗日中值定理,可见,误差,称为,麦克劳林(,Maclaurin,)公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,麦克劳林,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,麦克劳林公式,类似可得,其中,其中,麦克劳林公式,已知,其中,因此可得,麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,误差,M,为,在包含 0 ,x,的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1) 已知,x,和误差限 , 要求确定项数,n,;,2) 已知项数,n,和,x, 计算近似值并估计误差;,3) 已知项数,n,和误差限 , 确定公式中,x,的适用范围.,例1.,计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,解:,已知,令,x,= 1, 得,由于,欲使,由计算可知当,n,= 9,时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,说明,:,注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后,6,位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差限为,这时得到的近似值,不能保证,误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .,例2.,用近似公式,计算 cos,x,的近似值,使其精确到,0.005, 试确定,x,的适用范围.,解:,近似公式的误差,令,解得,即当,时, 由给定的近似公式计算的结果,能准确到,0.005,.,2. 利用泰勒公式求极限,例3.,求,解:,由于,用洛必达法则不方便 !,用泰勒公式将分子展到,项,3. 利用泰勒公式证明不等式,例4,.,证明,证:,+,内容小结,1. 泰勒公式,其中余项,当,时为,麦克劳林公式 .,2. 常用函数的麦克劳林公式,( P142 P144 ),3. 泰勒公式的应用,(1) 近似计算,(3) 其他应用,求极限 , 证明不等式 等.,(2) 利用多项式逼近函数,例如,泰勒多项式逼近,6,4,2,2,4,6,4,2,2,4,O,泰勒多项式逼近,6,4,2,2,4,6,O,4,2,2,4,思考与练习,计算,解:,原式,第四节,作业,P145 1 ;,4 ; 5 ;,证:,由题设对,备用题,1.,有,且,下式减上式 , 得,令,两边同乘,n,!,= 整数 +,假设 e 为有理数,(,p , q,为正整数) ,则当,时,等式左边为整数;,矛盾 !,2.,证明,e,为无理数,.,证:,时,当,故 e 为无理数 .,等式右边不可能为整数.,
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