第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,和矩阵的初等变换,线性方程组的消原法,矩阵的初等变换,第一章 线性方程组的消元法,第一节 线性方程组的消元法,一、线性方程组的基本概念,1.,线性方程组的定义,引例,有三家生产同一种产品的工厂,A,1,、,A,2,、,A,3,，其年产量分别为,40t,，,20t,和,10t,，该产品每年有两个用户,B,1,、,B,2,，其用量分别为,45t,和,25t,引例,有三家生产同一种产品的工厂,A,1,、,A,2,、,A,3,，其年产量分别为,40t,，,20t,和,10t,，该产品每年有两个用户,B,1,、,B,2,，其用量分别为,45t,和,25t,不妨假设每吨货物每公里的运费为,1,元，问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？,解,设各厂到各用户的产品数量如表,1-2,依题意，,3,个厂的总产量和用户的总用量相等：,再来看总运费，由表,1-1,：,1,2,于是，题目要解决的问题是：,使之满足方程组,和,并使总运费最少,.,几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数为,n,，方程个数为,m,，则线性方程组可以写成如下形式 ：,若常数项均为,0,，则称方程组为齐次线性方程组，,否则，称为非齐次线性方程组,.,2.,线性方程组的线性组合,线性方程的加法：,将两个线性方程,(1),(2),的左右两边相加得到如下的新线性方程：,称为原来两个线性方程的和。,线性方程乘常数,将线性方程,两边同乘以已知常数 ，,线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。,线性方程的线性组合,将线性方程,(1),和,(2),分别称两个已知常数,再将所得的两个方程相加，得到新方程：,得到一个新的线性方程：,(3),称为原来两个方程,(1),和,(2),的一个,称为这个线性方程的组合系数。,将,(1),和,(2),看作一个线性方程组，其任意组解一定是线性组合,(3),的解。对给定的两个线性方程组,(I),和,(II),，如果,(II),中每个方程都是,(I),中方程的线性组合，就称,(II),是,(I),的,线性组合,。,线性组合，,若方程组,(I),和,(II),互为线性组合，则称这两个方程组,等价，,等价的线性方程组一定同解。,将方程组,(I),变成,方程组,(II),的过程称为,同解变换。,例,1,二、线性方程组的消元法,求解线性方程组,1,、线性方程组的初等变换,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,(2),小结：,1,上述解方程组的方法称为,消元法,2,始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（,1,）交换方程次序；,（,2,）以不等于的数乘某个方程；,（,3,）一个方程加上另一个方程的,k,倍,（以 替换 ）,定义,1,上述三种变换均称为线性方程组的初等变换,（以 替换）,（与 相互替换）,3,上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是,同解变换,定理,1,线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组,2,、利用初等变换解一般线性方程组,(,化为阶梯型方程组,),2,、利用初等变换解一般线性方程组,(,化为阶梯型方程组,),2,、利用初等变换解一般线性方程组,(,化为阶梯型方程组,),2,、利用初等变换解一般线性方程组,(,化为阶梯型方程组,),2,、利用初等变换解一般线性方程组,(,化为阶梯型方程组,),定理,2,在齐次线性方程组,证明：,显然，方程组在化成阶梯型方程组之后，,方程个数不会超过原方程组中方程个数，即,第二节 矩阵的初等变换,为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表，用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与求解线性方程组相应的初等变换，这样在表达上可以更加简洁和直观。为此，我们将引出矩阵的概念，介绍用矩阵的初等行变换将线性方程组化为阶梯型方程组后求解。,1.,线性方程组,的解取决于,系数,常数项,一、矩阵及其初等变换,对线性方程组的,研究可转化为对,这张表的研究,.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,由 个数,排成的,m,行,n,列矩阵,的数表,称为,m,行,n,列矩阵,.,简称 矩阵,.,记作,定义,1,简记为,元素是实数的矩阵称为,实矩阵,元素是复数的矩阵称为,复矩阵,.,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,.,例如,是一个,3,阶方阵,.,几种特殊矩阵,(2),只有一行的矩阵,称为,行矩阵,(,或,行向量,).,行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶,方阵,.,也可记作,只有一列的矩阵,称为,列矩阵,(,或,列向量,).,称为,对角,矩阵,(,或,对角阵,）,.,（,3,）,形如 的方阵,不全为,0,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的,.,例如,记作,（,4,）元素全为零的矩阵称为,零矩阵,，零,矩阵记作 或,.,（,5,）方阵,称为,单位矩阵,（或,单位阵,）,.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.,两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为,同型矩阵,.,全为,1,2.,两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即,则称,矩阵 相等,记作,例如,为,同型矩阵,.,矩阵的转置,（,1,）,定义,设 是一个 矩阵，把,A,的各行都变为列，不改变它们前后的顺序而得到的矩阵，称为,A,的,转置矩阵，,记为,A,（或,A,T,）即,A,=,线性方程组,称为方程组的,系数矩阵；,称为方程组的,增广矩阵。,下面三种变换称为矩阵的,初等行变换,:,定义,2,等价关系的性质：,一般，将具有上述三条性质的关系称为等价,同理可定义矩阵的,初等列变换,(,所用记号是把“,r,”,换成“,c,”),初等行变换和初等列变换统称为矩阵的,初等变换,.,定义,3,例,1,求解线性方程组,解：用矩阵的初等行变换解方程组,特点：,（,1,）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（,2,）、每个台阶 只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,注意：,行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的,例,2,求解方程组,解,对增广矩阵,B,进行初等行变换，得,显然无解,故方程组无解,.,例如，,二、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型,行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成,标准型,例如，,二、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型,行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成,标准型,特点：,所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个,等价类,，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵,.,