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单辑母版标题样式击此处编,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二节 Fourier变换,一.Fourier变换的概念,二.单位脉冲函数及其Fourier变换,三.非周期函数的频谱,我们知道,若函数,f,(,t,)满足Fourier积分定理的条件,则在,f,(,t,)的连续点处,有,可以看出,f,(,t,),与,F,(,w,),可相互转换,分别记为,F,(,w,)=,F,f,(,t,),和,f,(,t,)=,F,-,1,F,(,w,),1.Fourier变换的概念,(1.9)式叫做,f,(,t,),的,Fourier变换式,(1.10)式为,F,(,w,),的,Fourier逆变换式,可以说象函数,F,(,w,)和象原函数,f,(,t,)构成了一个,Fourier变换对,.它们有相同的奇偶性(习题二).,还可以将,f,(,t,)放在左端,F,(,w,)放在右端,中间用双向箭头连接:,f,(,t,),F,(,w,),F,(,w,)称作,f,(,t,)的,象函数,(1.9)式右端的积分运算,叫做,f,(,t,)的Fourier变换,f,(,t,)称作,F,(,w,)的,象原函数,.,同样,(1.10)式右端的积分运算,叫做,F,(,w,)的Fourier逆变换.,由,f(t),的Fourier正弦积分公式,可得,f(t),的Fourier正弦变换,F(,w,),的Fourier正弦逆变换,由,f(t),的Fourier余弦积分公式,可得,f(t),的Fourier余弦变换,F(,w,),的Fourier余弦逆变换,t,f,(,t,),1,根据(1.9)式,有,这就是指数衰减函数的Fourier变换.,根据(1.10)式,有,现在,我们来求指数衰减函数的积分表达式.,1.柯西-古萨基本定理.,见复变函数课本第 170 页例 5.,因此有,如果令,b,=1/2,就有,可见钟形函数的Fourier变换也是钟形函数.,求钟形脉冲函数的积分表达式,根据(1.10)式,注意:在半无限区间上的同一函数,其正弦变换和余弦变换结果是不同的.,在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.,有许多物理现象具有脉冲性质,如：,2.单位脉冲函数及其Fourier变换,在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势,作用后产生的电流;,在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情,况等.,在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为,t,=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流,i,(,t,).,由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即,当,t,0时,若以,q,(,t,)表示上述电路中的电荷函数,则,当t=0时,q,(,t,)在这一点不连续,0是,q(t),的第一类间断点.,从而在,普通导数意义,下,q,(,t,)在这一点不存在导数.,i,(,t,)=0.,如果我们形式地计算这个导数,则得,问题:,在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够,表示这样的电流强度.,解决办法:,引进狄拉克(Dirac)函数,简单记成,弱收敛:,若对任何一个无穷次可微的函数,f(t),如果函数序列,S,n,满足,出发点:,想办法把无法表示的函数用某个可以表出,的函数列求弱极限来得到.,称,d,e,(,t,)的弱极限为,d,-函数,记为,d,(,t,),d,e,(,t,),1/,e,e,O,即:,d,-函数可以看成一个普通函数序列的,弱极限,.,d,-函数的性质:,证明:,因为对任何一个无穷次可微的函数,f(t),性质1.,工程上将,d,-函数称为,单位脉冲函数,t,O,d,(,t,),1,可将,d,-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示,d,-函数的,积分值,称为,d,-函数的强度,.,d,(,t,),性质2.,证明:,d,-函数的筛选性质,推论.,证明:,d,-函数的其他性质,（习题13）,单位阶跃函数；,d,-函数的Fourier变换,d,-函数的Fourier变换为:,根据,d,-函数的筛选性质可得,可见,d,-函数和1构成了一个,Fourier变换对,.,注意:,此处的Fourier变换是一种广义Fourier变换.,所谓广义是相对于古典意义而言的.,t,O,d,(,t,),1,w,O,F,(,w,),1,可见,单位脉冲函数,d,(,t,)与常数1构成了一Fourier变换对.同理,d,(,t,-,t,0,)和 亦构成了一个Fourier变换对.,在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件,例如,常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数,等,然而它们的,广义Fourier变换,也是存在的,利用单位脉冲,函数及其Fourier变换就可以求出它们的Fourier变换.,引入单位脉冲函数的意义:,p,w,O,|,F,(,w,)|,O,t,u,(,t,),证:,分析:,当没有办法直接验证,F,(,w,)是一个函数的Fourier变换时,可以将,F,(,w,)代入Fourier逆变换,看结果是否为,f(t).,若,F,(,w,)=2,pd,(,w,)时,由Fourier逆变换可得,所以1和2,pd,(,w,)也构成了一个Fourier变换对.,推论:,同理,如果,F,(,w,)=,2,pd,(,w-w,0,),由上面两个函数的变换可得,意义:,d-,函数的引入使得在普通意义下不存在的积分,有了确定的数值.,例5 求正弦函数,f,(,t,)=sin,w,0,t,的Fourier变换.,由Fourier变换公式可得,解:,如图所示:,t,sin,t,p,p,-,w,0,w,0,O,w,|,F,(,w,)|,3.非周期函数的频谱,的振幅为,而函数的,复指数,形式为,频率为,w,n,时的振幅,即振幅随频率变化的分布情况.,频谱图,:,频率和振幅的关系图.,特点,:,频谱的图形是不连续的,因为,n,=0,1,2,离散频谱,.,f,(,t,),t,E,-,t,/2,t,/2,例6 求下列周期函数的频谱.,-,T,/2,T,/2,解:,离散频谱,对于非周期函数,在频谱分析中,傅氏变换,F,(,w,)又称为,f,(,t,)的,频谱函数,而它的模,|,F,(,w,)|,称为,f,(,t,)的,振幅频谱,(亦简称为频谱).,与周期函数频谱的区别:,连续频谱,结论:,对一个时间函数作Fourier变换,就是求这个时间函数的频谱.,例7,作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图,f,(,t,),解:单个矩形脉冲的频谱函数为:,t,E,-,t,/2,t,/2,矩形脉冲的频谱图为,w,E,t,|F,(,w,)|,O,注:振幅函数|,F,(,w,)|是角频率,w,的偶函数,即,证明:,我们定义,为,f,(,t,)的相角频谱.,相角频谱:,显然,相角频谱,j,(,w,)是,w,的奇函数,即,j,(,w,)=-,j,(-,w,).,结束放映,
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