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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一 波函数,(量子力学基本原理之一）,波函数的物理意义,(,玻恩统计诠释),波函数 本身没有直接的物理意义。它并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而其模方,表示 t 时刻微观粒子在空间 点出现的相对概率密度,一个微观客体在时刻 t 状态,用波函数 (一般是复函数)完全描述.,为了定量描述微观粒子的状态“量子力学”引入了,19-8 量子力学简介,微观粒子具有波粒二象性,单色平面波,复数形式,一个沿x方向作匀速直线运动的自由粒子(能量为E,动量为p,x,)具有波粒二象性：,由德布罗依关系式,代入上式,（三维）,自由粒子波函数,例,2.,统计诠释及其它物理条件对波函数提出的要求,1）.空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值,式中,2）.粒子在空间各点的概率的总和为 1-波函数归一化条件,0,是任意有限体积元,满足该条件为归一化波函数.,3）.要求,单值,一般情况下,物理上要求,波函数是有限，连续和单值的,-波函数标准化条件,只打开a,只打开 b,两缝同时打开,干涉项,波函数可以相加，其概率不能相加,波函数遵从叠加原理:实验证实,以双缝实验为例,3.叠加原理；如果 都是体系的可能状态，那么它的线性叠加，也是这个体系的一个可能态。,1).微观粒子的状态用波函数描述，与经典物理不同，波函数没有对应的物理量，它不能测量，一般是复数.,例如：一维自由粒子的波函数,t时刻，在,附近，内，找到粒子的概率,玻恩统计诠释,波函数 是概率振幅，简称,概率幅,描述同一个状态，因为，对于概率分布来说，重要的是相对概率分布。,2).,波函数的物理意义,：,小结：波函数,3).概率波-量子力学是一种统计理论与经典决定论不同,（存在长时期的争沦）,4).,波函数应满足的标准条件,（物理要求）,以后会看到，有些情况下能量量子化就是源于这些条件的限制,连续性,有限性,单值性,归一化条件,.,5).波函数遵从叠加原理:实验证实,波函数（概率幅）可以相加,概率不能相加,问题的提出：,物理讨论会（1926）,薛定谔：你能不能给我们,讲一讲De Broglie的那篇,学位论文呢？,瑞士联邦工业大学,一月以后：薛定谔,向大家介绍了德布罗,意的论文。,你这种谈论太幼稚，作为,索末菲的门徒，都知道：,处理波要有一个波动方程,才行啦！,德,拜,薛,定,谔,二、薛定谔方程 (,量子力学基本原理之二,）,瑞士联邦工业大学,德,拜,又过了几个星期,薛,定,谔,我的同行提出，要有一个,波动方程，今天我找到了,一个：,氢原子能量：,光谱波长：,激发态寿命：,薛定谔：方程,能解很多好东西。,若问这是为什么？,谁也不知道！,散会后：,以自由粒子为例建立,Schrding方程,原来薛定谔方程是利用,经典物理，用类比的办,法得到的，或者说开始,只不过是一个假定，尔,后为实验证实。我们从,特例出发，推广得出这,个方程。,物理讨论会（1926）,（非相对论条件下讨论）,一个沿,x,方向运动的,自由粒子,可用一维平面波函数描述,经典波动微分方程,消去,对于自由粒子,原则:(一)波函数满足叠加原理,(二)方程应具有粒子各种状态都能满足的普,适性质.,-自由粒子的薛定谔方程,推广到三维：,一般情况：,在势场,中运动的粒子,薛定谔方程普遍形式,1 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；,3 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；,知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻的波函数.,讨论:,2 薛定谔方程的解满足态叠加原理,若 和 是薛定谔方程的解，,则 也是薛定谔方程的解。,这是因为薛定谔方程是线性偏微分方程。,4 薛定谔方程中含有虚数,i,所以它的解,必然是复数，,只有,的模方才有直接的物理意义。,5,一般情况下,物理上要求,波函数满足有限，连续，单值的波函数标准化条件和归一化条件,定态薛定谔方程,则薛定谔方程的一般表达式,设一个特解,代入薛定谔方程，得：,令,与时间无关时,当势函数,左边:,右边:,-定态薛定谔方程,常数,E,就是能量,与自由粒子波函数对比可知，,讨论:,只有某些,E,值对应的解才是物理上可接受的,-,能量本征值,2.能量本征值所对应的波函数称为,能量本征函数,.,3.,这一方程又称为,能量本征值方程。,定态薛定谔方程：,定态:,能量取确定值的状态,定态波函数,4.这一波函数所描述的量子态称为,定态,。,概率密度分布,不随时间变化,一维定态薛定谔方程：,例如：对自由粒子，,E,p,（,x,）,=0,，一维情况下，上式成为：,其解为,这正是自由粒子的波函数，,E,正是粒子的能量，,p,正是粒子的动量。,其中,势阱内,则,其通解,势阱外,（有限条件）,a,三 一维无限深方势阱问题,o,a,x,Ep,式中 A,为待定系数,与本征值 E,n,对应本征函数,（单值，连续条件）,（归一化条件）,阱外 x,0,x,a,势阱内,x正向波,x反向波,讨论:,(1)无限深方势阱中粒子能量量子化,n是量子数，E,n,是能量本征值，又称能级.,(2)无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀,n越大,能级间隔越大。,其余称为激发态,(3)势阱中粒子波函数是驻波,基态除 x=0,x=a 无节点.,第一激发态有一个节点,k 激发态有 k=n-1个节点.,(4)概率密度分布不均匀,当 n,时,过渡到经典力学,四 对应原理,在某些极限条件下,量子规律可以转化为经典规律,量子物理的对应原理,相邻能级间隔,能级的相对间隔,能量连续,量子规律转化为经典规律,例,五 一维方势垒 隧道效应,1.散射问题和势垒穿透,定态问题有两种态,束缚态：,(一维)x,时,(x)0，EU(x),离散能量,散射态：,(一维)x,时,(x)0，能量连续,对散射问题,已知粒子能量 E,求解定态薛定谔方程解.,-粒子受势场作用被散射到个方向去的概率,2.势垒 隧道效应,考虑 EEp,0,的情况 研究穿透问题,Ep(x),x,0,a,Ep,0,Ep,0,0,Ep(x),x,0,a,Ep,0,上述各方程的解,入射 反射,衰减,入射 (反射),无反射,求 A,1,B,1,-.,入射波的概率密度,透射波的概率密度,连续条件,由波函数的标准条件：,穿透系数,Ep(x),x,0,a,Ep,0,考虑,讨论(1)设粒子为 e U,0,-E=1ev 则当 a=2x10,-10,m D 0.44,a=5x10,-10,m D O.O16,质子 U,0,-E=1ev a=2x10,-10,m D 2x10,-38,当 m,U,0,-E 及 a 为微观尺度时,(特别对于 e)穿透系数有一定值.,若为宏观尺度 D 0,势垒穿透(隧道效应)是一种微观现象,是粒子波动性的表现.,穿透系数,(2)从经典力学的观点看,在势垒区,动能为负值,动量将为虚数,(经典理论不允许,称隧道效应佯缪).,佯缪不存在：能量不能分离成动能和势能(测不准关系),经典理论不适用于微观现象.,(3)当 E Ep或,E,Ep,经典 粒子一定越过或不越过势垒,量子力学 有透射与反射,x,dx,Ep,a,b,势垒穿透隧道效应：,粒子将部分被势垒反射,部分穿透势垒,-隧道效应或势垒贯穿,隧道特征长度,E,U,0,隧道效应已完全被实验证实,并制成,扫描隧道显微镜,例,对电子计算,m=9.110,-31,kg,则对不同的势垒宽度a,D的数量级,1.0 2.0 5.0 10.0,0.1 1.210,-2,1.710,-5,3.010,-10,扫描隧道显微镜年由,G.Binig 和H.Rohrer 首先研制成功,针尖非常尖锐,接近原子尺寸.,针尖与表面接近到零点几毫米时,电子波 函数重叠,若加一小的直流电位差,出现 隧道电流 I,电流对针尖 表面距离 d 十分敏感,d 增加0.1 nm,I 减小一个数量级.保持 I 不变,针尖的轨道提供了表面电子云分布或原子分布状况.,横向分辨率达到 0.1 nm,纵向分辨率达到 0.001 nm,可以分辨出表面单个原子和原子台阶,原子结构,超晶格结构,表面缺陷细节,观测活体 DNA 基因,病毒.,六 谐振子,1.线性谐振子定态薛定谔方程,2.波函数,在 的渐进行为,很大时，,2,取,3.满足束缚态边界条件的级数解,代入方程，得到 u(,),所满足的厄米微分方程：,通解可写成,u(,)必须中断为,有限项多项式,必要条件,=2n+1(奇数),n=0,1,2,-,-厄米多项式,4.能量本征值的零点能,零点能(基态能量)为:,5.能量本征函数和宇称,线性谐振子定态波函数为,4.能量本征值的零点能,图 线性谐振子的位置概率密度分布,图 线性谐振子的波函数,讨论,1.由图可见,当为 n偶数时:,线性谐振子处于偶宇称,当为 n奇数时:,线性谐振子处于奇宇称,来源于,空间反演不变性,2.量子力学n较小时,位置的概率密度分布与经典完全不同.,随着 n,如n=11时量子和经典在平均上比较符合.,0,x,U,n=0,n=1,n=2,n=3,3.一维谐振子能级和概率密度分布,可以看出,U=U(x)以外概率密度不为0,隧道效应,相对能级间隔,当,能量可以连续变化（经典）,例1:求线性谐振子在第一激发态时,概率最大的位置.,解:第一激发态波函数为,令,小结:,1.,2.无量纲化,3.波函数,在 的渐进行为,用级数法解,4，,5，级数发散，为使,有限，中断,能量量子化,取,讨论,1.能量量子化 能量本征值的 零点能,零点能(基态能量)为:,2，波函数 能量本征函数 宇称,线性谐振子定态波函数为,3.量子力学n较小时,位置的概率密度分布与经典完全不同.,随着 n,如n=11时量子和经典在平均上比较符合.,
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