第二节换元法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法,第,四,章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理,1.,则有换元,公式,(,也称,配元法,即,凑微分法,),例,1.,求,解,:,令,则,故,原式,=,注,:,当,时,例,2.,求,解,:,令,则,想到公式,例,3.,求,想到,解,:,(,直接配元,),例,4.,求,解,:,类似,例,5.,求,解,:,原式,=,常用的几种配元形式,:,万能凑幂法,例,6.,求,解,:,原式,=,例,7.,求,解,:,原式,=,例,8.,求,解,:,原式,=,例,9.,求,解法,1,解法,2,两法结果一样,例,10.,求,解法,1,解法,2,同样可证,或,例,11.,求,解,:,原式,=,例,12.,求,解,:,例,13.,求,解,:,原式,=,例,14.,求,解,:,原式,=,分析,:,例,15.,求,解,:,原式,小结,常用简化技巧,:,(1),分项积分,:,(2),降低幂次,:,(3),统一函数,:,利用三角公式,;,配元方法,(4),巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差,;,分式分项,;,利用倍角公式,如,思考与练习,1.,下列各题求积方法有何不同,?,2.,求,提示,:,法,1,法,2,法,3,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法,.,难求，,定理,2.,设,是单调可导函数,且,具有原函数,证,:,令,则,则有换元公式,例,16.,求,解,:,令,则,原式,例,17.,求,解,:,令,则,原式,Temp,例,18.,求,解,:,令,则,原式,令,于是,说明,:,被积函数含有,时,除采用,采用双曲代换,消去根式,所得结果一致,.,或,或,三角代换外,还可利用公式,原式,例,19.,求,解,:,令,则,原式,当,x,0,时,类似可得同样结果,.,小结,:,1.,第二类换元法常见类型,:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四节讲,2.,常用基本积分公式的补充,(7),分母中因子次数较高时,可试用,倒代换,令,解,:,原式,例,20.,求,例,21.,求,解,:,例,22.,求,解,:,原式,=,例,23.,求,解,:,原式,例,24.,求,解,:,令,得,原式,例,25.,求,解,:,原式,令,思考与练习,1.,下列积分应如何换元才使积分简便,?,令,令,令,2.,已知,求,解,:,两边求导,得,则,(,代回原变量,),备用题,1.,求下列积分,:,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法,原式,=,令,得,分子分母同除以,3.,求不定积分,解,:,令,原式,