自控原理课件第5章自动控制系统的频率分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,第,5,章 控制系统的频率分析,对于高阶系统，由于求解其特征方程的根较为困难，因此，在工程上多采用图解分析法来研究控制系统的性能。频率分析法作为一种常用的图解分析法，由于具有物理意义明确，作图简单，并可通过实验方法来获取一些结构参数不易确定的控制系统的频率特性等特点，成为自动控制系统中非常重要的分析方法之一，也是工程上应用最为广泛的分析方法之一。,1,2,3,4,5,线性控制系统对正弦输人信号的稳态响应称为频率响应；系统输出稳态分量与输入的复数比为频率特性，记作,G(j),；输出与输入信号的振幅比称为系统的幅频特性；记作,A(),；输出与输入信号的相位差称为系统的相频特性，记作,(),。幅频特性、相频特性总称为频率特性。幅频特性表征系统输出对不同频率正弦输入信号幅度衰减或放大的特性,;,相频特性描述系统输出对不同频率正弦输入信号相位的超前或滞后的特性。而频率特性反映了系统对正弦输入信号的同频、变幅、移相特性。,6,7,综上所述，求解系统频率特性主要有三种方法：,(1),根据系统的微分方程求解稳态解。通过求解正弦输入信号的稳态输出分量与输人情号的复数比得到系统的频率特性。,(2),由于系统的频率特性是传递函数的特殊情况，以,s=j,代人传递函数，即得系统的,频率特性。,(3),通过实验方法测定。对于线性稳定系统，当输入正弦信号的频率不断变化时，记录相应的输出，绘出系统的幅频特性与相频特性，即得到系统的频率特性。,注意：频率特性同传递函数一样，也是一种数学模型，它也包含了系统的结构与参数，反映了系统的结构性能。,8,5,1,3,频率特性的几何表示法,在实际工程中，为分析方便，常将频率特性画成曲线，利用这些曲线对系统进行分析与研究。常见的图示法主要有极坐标图与对数频率特性图两种。,1,极坐标图,极坐标图又称为幅相频率特性曲线，其特点是将,作为参变量，当,从,0,时，,在复平面上的轨迹就是频率特性,G(j),的极坐标图。其特点是在复平面上同时表示幅频特性和相频特性。,对于,RC,滤波电路，其频率特性,9,在这些特殊点间适当地取一些点，逐点连接成一条平滑曲线，就得到了系统的极坐标图，如图,5.2,所示。在作图时，规定逆时针方向为正角度，顺时针方向为负角度。,G(),的极坐标因由于在绘制时需要逐点作出，因此不便于徒手作图。通常只是徒手绘制出极坐标的草图，作分析图。若要精确作图，可借助于计算机，如利用,MATLAB,来完成,G(),的极坐标图的绘制。,10,2,伯德图,伯德图又称为对数频率特性曲线，它包括对数幅频曲线和对数相频曲线两种。对数频率特性曲线的横坐标是频率,，并按对数进行分度，单位为弧度秒,(rad,s),。,对数幅频特性曲线的纵坐标表示幅频的对数值，均匀分度,单位为分贝,(dB),。对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的相角值，线性分度，单位是度,(),。当横坐标,从,1,变化到,10,时，相应的对数分度,lg(),的变化见表,5,1,。,11,12,通常称图,5.3,所示的坐标系为半对数坐标，其主要优点为：,(1),横轴按频率的对数,lg,标尺刻度，但标出的是频率,本身的数值，因此，横轴的刻,度是不均匀的。,(2),横轴压缩了高频段，扩展了低频段。,(3),在,oJ,轴上，对应于频率每变化一倍，称为一倍频程，例如,从,1,到,2,，从,2,到,4,，从,10,到,20,等，其长度均相等。对应于频率每增大十倍的频率范围，称为十倍频程,(dec),，例如,从,1,到,10,，从,2,到,20,，从,10,到,100,等，所有十倍频程在,轴上的长度均相等。,(4),可以将幅值的乘除运算化为加减运算。,(5),可以采用分段线性的方法绘制近似的对数幅频曲线，从而使得频率特性的绘制大为简化。,图,5.4,是,RC,滤波电路当丁取,0.5,时的系统伯德图。,13,14,5.2.1,比例环节,比例环节传递函数为,G(s),K,，则频率特性为,G(),k,0 (5.10),根据系统对数频率特性的定义可得对数幅频特性为,L(),20lgK (5.11),对数相频特性为,(),0 (5.12),比例环节的伯德图如图,5.5,所示。,从系统的伯德图可以看出，比例环节只有幅值放大,K,倍的功能，它能既无超前又无滞后地复现输入信号。,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,(3),当,=1,时，最左端直线或其延长线的分贝值等于,20lgK,。,(4),在交接频率处，曲线斜率的变化取决于典型环节的种类，如惯性环节，斜率减少,20dB,dec,；一阶微分环节，斜率增加,20dB,dec,，振荡环节，斜率则减少,40dB,dec,。,绘制对数相频特性时，首先绘制低频段的相位角，每经过一个交接频率，相应的相角就改变成,90,或,180,。其中称,L(),与,轴相交处的频率,c,为穿越频率。,38,39,(4),由低频段向高频段延伸，每经过一个交接频率，斜率改变一次。因此，当低频段,逐渐增加到,=1,时遇到一个惯性环节，所以曲线斜率由,-20dB,dec,增加到,-40dB,dec,；当,=2,时，系统遇到微分环节，斜率又减小到,-20 dB,dec,；当,=20,时，系统又遇到惯性环,节，斜率又变为,-40dB,dec,，如图,5,13,所示。,同理，系统的相频特性为,()=-90-arctan+arctan(0.5)-arctan(0.05),绘制的对数相频特性曲线如图,5,13,所示。,40,41,利用控制系统的开环频率特性判断闭环系统的稳定性是一种较为实用的方法，尤其是对一些不知道系统的开环传递函数的系统来说尤为重要,(,因为频率特性可用实验的方法绘出，而根轨迹法等在不知道开环传递函数时就无法利用,),。,在频域系统中，奈奎斯特判据,(,简称奈氏判据,),是最常用的判断系统稳定与否的一个重要,准则，而且该判据加以推广后还可以应用于一些非线性系统中。,42,1,奈奎斯特稳定判据,奈奎斯特稳定判据是建立在复平面上根据幅角变化的基本规律利用开环频率特性曲线来判断闭环系统稳定性的一种判据，由于该方法简单、实用，因此在实际工程中得到了广泛的应用。,奈奎斯特稳定判据内容如下：,如果系统在开环状态下是稳定的，闭环系统稳定的充要条件是：它的开环幅相频率特性,线不包围,(-l,，,j0),点。反之，若曲线包围,(-l,，,j0),点，则闭环系统将是不稳定的。若曲线通过,(-l,，,j0),点，则闭环系统处于稳定边界。,图,5.14,表示了系统开环幅相频率特性的三种情况。,43,44,2,伯德图上的稳定判据极坐标图上的奈奎斯特判据虽然应用简单，判断闭环系统的稳定性较为方便，但前提是首先要画出开环系统的幅相频率特性曲线。由于该曲线作图并不方便，因此，有必要研究作图方便的伯德图上的奈奎斯特判据。,对数坐标图与极坐标图有下列对应关系，参见图,5.15,。,45,46,(1),极坐标图上以原点为圆心的单位圆对应于对数坐标图上的,0dB,线,A(),l,时，,L()=20lg l,0,。,L(),在,c,处穿越,0dB,线，因此又称,c,为增益穿越频率。,(2),极坐标图上的负实轴对应于对数坐标图上的,()=-180,。线，这样，极坐标图上的,(-1,，,j0),一个点和对数坐标图上,0dB,线及,-180,两条线对应起来。某系统的开环频率特性的,极坐标图和对数坐标图的对照如图,5.15,所示。,伯德图上的奈奎斯特稳定判据可表达为：,若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是，当,L(),线过,0dB,线时，,(,c,),在,-,线上方或当,(),线到达,-,时，,L(,g,),在,0dB,线下方。,47,48,49,5.5,系统的稳定裕量,一个正常工作的系统必须是一个稳定的系统，但不同稳定系统的相对稳定性并不完全相同，也就是它的稳定裕量不同。稳定裕量是控制系统中必须考虑的一个问题，因为系统的稳定 度与系统的暂态响应有着密切的关系。控制系统中表征系统稳定程度的指标常用相角裕量和幅值裕量来表示，如图,5.17,所示。,根据奈氏判据可知，系统开环幅相曲线临界点附近的形状对闭环稳定性影响很大，曲线越是接近临界点，系统的稳定程度就越差。当系统穿越临界点时，系统处于临界稳定状态。,50,51,52,2.,相角裕量,设幅频特性过零分贝时的频率为,c,，,(,幅值穿越频率,),，则定义相角裕量,为,180+,(,c,) (5,34),相角裕量,指明了如果系统是不稳定系统，那么系统的开环相频特性还需要改善多少量就成为稳定的了。如果系统是不稳定的，与上述描述相反。,对于某一控制系统，若相角裕量,大于零，幅值裕量,k,g,大于,1,，则系统稳定，并且,和,k,g,的值越大，系统稳定程度越好；苦,小于零，,k,g,小于,1,，则系统不稳定。,一阶、二阶系统的,总是大于零，而,k,g,无穷大。因此，理论上讲系统不会不稳定。但是，某些一阶和二阶系统的数学模型是在忽略了一些次要因素后建立的，实际系统常常是高阶的，其幅值裕度不可能无穷大。因此，开环增益太大，系统仍可能不稳定。,53,和,k,g,可以用来作为控制系统的开环频域性能指标。在分析设计一个控制系统时，系统的性能常用,与,k,g,的定量值来描述。,在使用时，,和,k,g,通常是成对使用的，但有时也使用一个裕量指标，如用相角裕量,来分析控制系统的性能指标。这时对于系统的绝对稳定性的分析没有什么影响，但是在,较大，而,k,g,较小的情况下。对于系统动态性能的影响是很大的。,54,56,MATLAB,绘制系统的频率特性图,利用,MATLAB,绘制系统的频率特性图，是指绘制伯德图、奈奎斯特曲线等，所用的函数主要是,Control SystemToolbox,中的,bode、nyquist,等函数。,命令,nyquist,可以计算连续时间、线性定常系统的频率响应。当命令中不包含左端变量,时，,nyquist,仅在屏幕上产生奈奎斯特图。,命令,nyquist(num，den),将在屏幕上画出下列传递函数的奈奎斯特图,式中，,num(s),和,den(s),分别为以,s,的降幂排列的分子、分母多项式系数向量。,命令,nyquist(num,，,den,，,),利用了用户指定的频率矢量,0,矢量,指出了以,rad,s,表示,的诸频率点，在这些频率点上，将对系统的频率响应进行计算。,当命令中包含左端变量时，即,re,，,im,，,nyquist(num,，,den),或,re,，,im,，,nyquist(num,，,den,，,),MATLAB,将把系统的频率响应表示成矩阵,re,，,im,和,，,在屏幕上不产生图形。短阵,re,和,im,包含系统频率响应的实部和虚部，它们都是在矢量,中指定点的频率点上计算得到的。应当指出，矩阵,re,和,im,包含的列数与输出量的数目相同，而,中的每一个元素与,re,和,im,中的一行相对应。,命令,bode,可以计算线性连续定常系统频率响应的幅值和相角。当不带左端变量时，,MATLAB,可以在屏幕上产生伯德图。,当包含左端变量时，即,mag,，,phase,，,bode(num,，,den,，,),命令,bode,将把系统的频率响应转变成,mag,，,phase,和,矩阵，这时在屏幕上不显示频率响应图。矩阵,mag,和,phase,包含系统频率响应的幅值和相角，这些幅值和相角值是在用户指定的频率点上计算得到的。相角以度来表示，表达式,magdB,20,o,10g10(mag),可以把幅值转变成分贝。,为了指明频率范围，采用命令,logspace(dl,，,d2),或,logspace(dl,，,d2,，,n),。,logspace(dl,，,d2),在两个十进制数,l0,d1,和,l0,d2,之间产生一个由,50,个点组成的矢量，这,50,个点彼此在对数上有相等的距离。这就是说，在,0.1,rad,s,与,l00 rad,s,之间将产生,50,个点。为此输入命令,logspace(-l,，,2),1,ogspace(dl,，,d2,，n),在十进制数,l0,d1,和,l0,d2,之间产生,n,个在对数上相等距离的点。例如为了在,l rad,s,与,l000rad,s,之间产生,l00,个点，输入下列命令,N,logspace(0,，,3,，,100),当画伯德图时，为了将这些频率包括进去，采用命令,bode(num,，,den,)。,现举例说明。,小,结,频率分析法是自动控制系统中非常重要的分析方法之一，也是工程上应用最为广泛的分析方法。频率特性是线性系统在正弦函数输入下，稳态输出与输入之比对频率的关系，它具有同频、变幅与相移的性质；频率特性是传递函数的一种特殊形式，将传递函数中的,s,换成纯虚数,j,就可以得到该系统的频率特性；频率特性也可以通过实验的方法确定，这对于不易写出数学模型的系统非常有用。,系统的频率特性包括幅频特性和相频特性。由于系统的开环频率特性可以写成因式乘积的形式，而这些因式就是典型环节的频率特性，因此研究典型环节的频率特性是对系统进行频率分析的基础。常用的典型环节有：比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节等。,系统开环频率特性的几何表示法主要有开环极坐标图和开环伯德图。开环极坐标图由于绘制较为繁琐，在实际应用中较少使用。开环伯德图由于手工绘制草图较为简便，在工程中应用较为广泛。绘制开环伯德图幅频特性的方法为：,(1),将开环传递函数化简为标准形式，计算每一典型环节所对应的转折频率并标在,轴上；,(2),确定低频段的斜率和位置；,(3),绘制系统开环频率伯德图，由低频段向高频段延伸，每经过一个转折频率，斜率作相应改变。绘制开环伯德国相频特性的方法为：确定,0,、,转折频率,c,及,时的相角，再根据典型环节相频特性连接成光滑曲线即可。,系统的稳定是进行分析与研究的基础。利用频率特性判断系统是否稳定的判据主要有奈奎斯特稳定判据。它有两种描述，一种针对开环极坐标图，其内客为：如果系统在开环状态下是稳定的，闭环系统稳定的充要条件是：它的开环幅相频率特性曲线不包围,(-,l,，,j0),点。反之，若曲线包围,(-,l,，,j0),点，则闭环系统将是不稳定的。若曲线通过,(-,l,，,j0),点，则闭环系统处于稳定边界。另一种针对开环伯德图，其内容为：若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是：,当,L(,),线过,0,dB,线时，,(,c,),在,-,线上方或当,(,),线到达,-,时，,L(,g,),在,0,dB,线下方。,利用频率特性进行系统性能分析的主要指标有相角裕量,和幅值裕量是,k,g,。,对于某一控制系统，若相角裕量,大于零，幅值裕量,k,g,大于,l,，,则系统稳定，并且,和,k,g,的值越大，系统稳定程度越好；若,小于零，,k,g,小于,l,，,则系统不稳定。在使用时，,和是,k,g,通常是成对使用的，但有时也使用一个裕量指标，如用相角裕量,来分析控制系统的性能指标。这时对于系统的绝对稳定性的分析没有什么影响，但是在,较大而,k,g,较小的情况下，对于系统动态性能的影响较大。通常，对一个控制系统的稳定裕量要求为,40, 60,k,g,3,或,20,lg,k,g,10dB,