离散型随机变量联合分布列和边际分布列

单击此处编辑母版标题样式,第三章 多维随机变量及其分布,一、多维随机变量及其联合分布列,二、边际分布（边缘分布）列,三、条件分布列,四、小结,第一节 离散型随机变量联合分布和边际分布,一、多维随机变量及其联合分布列,1.定义,实例,1,炮弹的弹着点的位置(,X,Y,)就是一个二维随机变量.,二维随机变量(,X,Y,)的性质不仅与,X,、,Y,有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例,2,考查某一地 区学前儿童的发育情况,则儿童的身高,H,和体重,W,就构成二维随机变量(,H,W,).,说明,若二维随机变量,(,X,Y,),所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称,(,X,Y,),为二维离散型随机变量.,2、二维离散型随机变量,2.1.定义,2.2.二维离散型随机变量的联合分布列,.,),(,2,1,2,1,),(,),(,的联合分布列,和,或随机变量,的联合分布律，,变量,称此为二维离散型随机,记,值为,所有可能取的,设二维离散型随机变量,Y,X,Y,X,j,i,p,y,Y,x,X,P,j,i,y,x,Y,X,ij,j,i,j,i,L,L,=,=,=,=,=,注,：,二维随机变量(,X,Y,)的联合分布列也可表示为,2.3.联合分布的性质,二、边际（边缘）分布列,.,),(,),2,1,(,),2,1,(,2,1,2,1,.,2,1,),(,1,1,的边际分布列,和关于,关于,为,和,分别称,记,律为,的联合分布,设二维离散型随机变量,Y,X,Y,X,j,p,i,p,j,y,Y,P,p,p,i,x,X,P,p,p,j,i,p,y,Y,x,X,P,Y,X,j,i,j,i,ij,j,i,j,ij,i,ij,j,i,L,L,L,L,L,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,1,x,1,x,i,p,i,p,1,p,i,p,j,p,1,p,j,y,j,y,1,X,Y,联合分布列,及边缘分布列,(1)把三个相同的球等可能地放入 1,2,3,号盒子中,记,X,Y,分别为落入 1 号盒,与 2 号盒的 球数，求(,X,Y,)的联合,分布律与边缘分布律，即填下表：,X,0 1 2 3,p,j,Y,p,i,0,1,2,3,例1,(2)把 3 个红球和 3 个白球,等可能地,放入 1,2,3 号盒中,每盒可容球无限,记,X,与,Y,分别为落入 1 号盒的白球数与红球数.求(,X,Y,)的联合分布律和边缘分布律，即再填上表.,通过这两张表你,能得到什么结论,解,(1)本题中，,其联合分布与边缘分布如下表所示,X,0 1 2 3,0,0,0,0,0,0,p,i,1,p,j,Y,0,1,2,3,见下表,解,(2),X,0 1 2 3,p,i,1,p,j,Y,0,1,2,3,(1),与(2)有相同的边缘分布,但它们的联合分布却不同.,联合分布可以唯一地确定边缘分布,边缘分布却不能唯一确定联合分布,故有结论,例2,某校新选出的学生会 6 名女委员,文、,理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机,指定 2 人为学生会主席候选人.令,X,Y,分,别为候选人中来自文、理科的人数.,解,X,与,Y,的可能取值分别为0,1和0,1,2.,求,(,X,Y,)的联合分布律和边缘分布律.,由乘法公式,或由古典概型,相仿有,故联合分布律与边缘分布律为,0,1,0 1 2,3/15 6/15 1/15,3/15 2/15 0,X,Y,p,i,p,j,1/3,2/3,1,6/15 8/15 1/15,解,且由乘法公式得,例3,(,X,Y,)所取的可能值是,解,抽取两支都是绿笔,抽取一支绿笔,一支红 笔,例4,从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色,圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若,X,、,Y,分别,表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(,X,Y,)的分布律.,故所求分布律为,例5,一个袋中有三个球,依次标有数字 1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每,次取球时,各球被取到的可能性相等,以,X,Y,分,别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求 (,X,Y,)的分布律与分布函数.,(,X,Y,)的可能取值为,解,故(,X,Y,)的分布律为,例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,解：,（1）有放回摸球情况,P,X,=0,Y,=0,(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),=,P,X,=0,P,Y,=0,=3/5,3/5=9/25,P,X,=0,Y,=1=,P,X,=0,P,Y,=1,=3/5,2/5=6/25,P,X,=1,Y,=0=,P,X,=1,P,Y,=0,=2/5,3/5=6/25,P,X,=1,Y,=1=,P,X,=1,P,Y,=1,=2/5,2/5=4/25,例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,所以有放回摸球情况下，(X,Y)的分布律与边缘分布律为,例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,解：,（2）不放回摸球情况,P,X,=0,Y,=0,(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),=,P,X,=0,P,Y,=0|,X,=0,=3/5,2/4=3/10,P,X,=0,Y,=1=,P,X,=0,P,Y,=1|,X,=0,=3/5,2/4=3/10,P,X,=1,Y,=0=,P,X,=1,P,Y,=0|,X,=1,=2/5,3/4=3/10,P,X,=1,Y,=1=,P,X,=1,P,Y,=1|,X,=1,=2/5,1/4=1/10,例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,所以不放回摸球情况下，(X,Y)的分布律与边缘分布律为,由上例，在有放回摸球与不放回摸球两种情况下，(X,Y)的边缘分布律完全相同，但(X,Y)的分布律却不相同，这表明(X,Y)的分布律不仅反映了X与Y两个分量的概率分布，而且反映了它们之间的关系。,说明,：若两个分量的概率分布完全相同，但分量之间的关系却不相同，则它们的分布律也会不同。,由条件概率公式,定义,：,设(,X,Y,)是二维离散型随机变量，对于固定,的,j,为在,Y,=,y,j,条件下随机变量,X,的条件分布列,。,若,P,(,Y,=,y,j,)0,则称,自然地引出如下定义：,三、条件分布列,条件分布列具有分布列的以下,特性,：,1,0,P,(,X,=,x,i,|,Y,=,y,j,),0；,同样对于固定的,i,若,P,(,X,=,x,i,)0,则称,为在,X,=,x,i,条件下随机变量,Y,的条件分布列,。,即条件分布列也是分布列。,例7,一射手进行射击，击中目标的概率为,p,，射击,到击中目标两次为止。设以,X,表示首次击 中目标,所进行的射击次数，以,Y,表示总共进行 的射击次,数，试求,X,和,Y,的联合分布列以及条件分布列。,解：,例7（续）,在,Y,=,n,条件下随机变量,X,的条件分布列为,当,n,=2,3,时，,在,X,=,m,条件下随机变量,Y,的条件分布列为,当,m,=1,2,3,时，,1.二维离散型随机变量的联合分布列及边际分布列,2.二维离散型随机变量的条件分布列,四、小结,