正弦函数、余弦函数的性质

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）,1.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性；,2.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小，会求给出的三角函数单调区间.,1.请回答：什么叫做周期函数？,2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是多少？,最小正周期是多少？,对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当 取定义,域内的每一个值时，都有 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.,正弦函数、,余弦函数都是周期函数，,都是它的周期，最小正周期是,.,3.函数的周期性对于研究函数有什么意义？,对于周期函数，如果我们能把握它的一个周期内的情况，,那么整个周期内的情况也就把握了.这是研究周期函数的,一个重要方法，即由一个周期的情况，扩展到整个函数,的情况.,一、奇偶性探究,1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？,x,y,o,-,-1,2,3,4,-2,-3,1,正弦曲线关于原点o对称,y,x,o,-,-1,2,3,4,-2,-3,1,余弦曲线关于 轴对称,2.根据图象的特点，猜想正余弦函数分别有什么性质？如何从理论上验证？,sin(-x)= - sinx (x,R),y=sinx (x,R),是奇函数,cos(-x)= cosx (x,R),y=cosx (x,R),是偶函数,定义域关于原点对称,二、单调性探究,1.当 时，正弦函数在哪些区间上是增函数？,在哪些区间上是减函数？,x,y,o,-,-1,2,3,4,-2,-3,1,y=sinx,增区间:,减区间：,x,y,o,-,-1,2,3,4,-2,-3,1,y=sinx,2.由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间和,减区间？怎样把它们整合在一起？,增区间：,减区间：,周期性,x,y,o,-,-1,2,3,4,-2,-3,1,y=sinx,3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？,正弦函数有无数多个增区间和减区间.,在每个增区间，函数值从 增大到 ，,在每个减区间，函数值从 减小到 .,正弦函数在每一个闭区间 上都是,增,函数，其值从-1增大到1；,在每一个闭区间 上都是,减,函数，其值从1减小到-1.,4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？,在每个区间_上都是减函数，,y,x,o,-,-1,2,3,4,-2,-3,1,在每个区间_上都是增函数，,其值从_增大到_,其值从_减小到_,正弦函数当且仅当 _时取得最大值_,当且仅当 _时取得最小值_,三、最大值和最小值探究,x,y,o,-,-1,2,3,4,-2,-3,1,余弦函数当且仅当 _时取得最大值_,当且仅当 _时取得最小值_,三、最大值和最小值探究,y,x,o,-,-1,2,3,4,-2,-3,1,例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是多少.,解：,这两个函数都有最大值、最小值.,(1)使函数 取得最大值的 的集合为,使函数 取得最小值的 的集合为,最大值为,最小值为,解：,（2）令 ，,由 得，,使函数 取得最大值的,的集合是,因此使函数 取得最大值的 的集合为,最大值为3.,想一想：,最小值的 的集合怎么求？,解：,同理使函数 取得最小值的 的集合为,最小值为-3.,例2 根据函数单调性，比较下列各组数的大小：,(1) sin( ) 与 sin( ),(2) cos( ) 与cos( ),解：,（1）因为,又,y=sinx,在 上是增函数,sin( ) sin( ).,所以,解:,(2),cos( )=cos =cos,cos( )=cos =cos,因为,cos cos,所以,又,y=cosx,在 上是减函数,cos( ) cos( ),.,即,例3 求函数 的单调递增区间.,解：,令,函数 的递增区间是,由,得,设,可得,所以原函数的单调递增区间为,1.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间:,2.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并,写出最大值、最小值各是多少.,最大值为2,最小值为-2,答案：,（1）,最大值为3,最小值为1,答案：,（2）,3.比较下列各组中两个三角函数值的大小：,4.（1）求函数 的单调递减区间.,（2）求函数 的单调递增区间.,和,正弦函数、余弦函数的性质：,定义域,值域与最值,周期性,奇偶性,单调性,霸祖孤身取二江，子孙多以百城降。豪华尽出成功后，逸乐安知与祸双？,王安石,