隐函数与参数方程所确定的函数的导数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,返回,XYZ123,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,二、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,定义,1.隐函数的定义,的形式给出，则称这种形式所确,的形式称为,显函数.,如果函数,y,与自变量,x,之间的关系由二元方程,定的函数为,隐函数.,隐函数的显化.,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,多数情况下隐函数不能显化.,例如，,隐函数不易显化或不能显化时如何求导?,2.隐函数的求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,问题,求,隐函数的导数时,只要记住,x,是自变量,将方程两边同时对,x,求导,就得到一个含有导数,从中解出来即可.,方程中,y,的函数是,x,的复合函数,的方程.,y,是,x,的函数,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例1,解,，代入方程,将此等式两边同时对,x,求导,得,用复合函数求导法,设方程,),(,x,y,y,=,可确定函数为,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例2,解,将上面方程两边再对,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例3,求椭圆,的切线斜率,.,在点（3，4）处,解,根据导数的几何意义，所求切线斜率就,是椭圆方程确定的隐函数在（3，4）点,处的导数值.,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,3.对数求导法,(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,有些函数虽然是显函数，但直接求导比较困难,，可以利用对数性质使函数的求导变得更为简单.例如形式,对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导法求出导数.,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例4,解,等式两边取对数得,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,解,例5,.,y,y,x,x,y,=,求,设,等式两边取对数得,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例6,设 ，求 .,解,等式两边取对数得,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,二、由参数方程所确定的函数的导数,在研究植物生长情况时，有时需要考察相关变量如植物质量、植物高度、土壤水分等之间的关系，而这些变量都是随着时间变化的，可以看作时间的函数，因此，我们就可以通过时间变量来分析这些变量之间的关系.,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,一般地，变量,x,、,y,的关系由参数方程,确定，,为由,参数方程所确定的函数.,例如,消去参数,消参困难如何求导？,问题,称由此关系所确定的函数,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,则,单调连续的,反函数,利用复合函数及反函数的求导法得,具有,若函数,),(,t,x,j,=,),(,),(,都可导,再若函数,t,y,t,x,y,j,=,=,或,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,),(,),(,二,若函数,=,=,t,y,t,x,y,j,阶可导，则,不必记公式，重点理解求导过程！,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例7,求椭圆参数方程 所确定,的函数的一、二阶导数，并求曲线在,处的切线方程与法线方程.,解,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,处的切线斜率,故所求的切线方程为,法线方程为,即,即,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例8,已知抛射物体的初始运动速度,与水平夹角为 ，,的运动速度的大小和方向.,求物体在任意时刻,t,时,解,运动方程为,轴方向的分速度为,时刻沿,物体在,y,x,t,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,所以在时刻,t,物体的运动速度大小为,物体的运动方向就是物体的运动轨迹的切线方向.,由导数的几何意义可知，倾角 可用切线斜率反映，,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,物体运动达到最高点时，,坠落地面时，,y,=0，,得,得,又,此时，,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,内容小结,1,.隐函数的求导法则,直接对方程两边求导;,2,.对数求导法,实质上是利用复合函数及反函数的求导法则.,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,3,.参数方程求导,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,思考练习,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,下列求导过程正确吗？,解答,不正确,思考练习,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,