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-,*,-,*,1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,第,2,课时,1,2,一、两个原理的关系,分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题,.,区别在于,:,分类加法计数原理针对的是,“,分类,”,问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事,;,分步乘法计数原理针对的是,“,分步,”,问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事,.,3,4,二、,两个计数原理在解决计数问题中的用法,在利用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析,分清,是分类还是分步,.,5,名师点拨,分类加法计数原理、分步乘法计数原理的选择,分类加法计数原理的各类方法是相互独立的,用任何一种方法都可以完成这件事,.,而分步乘法计数原理的各个步骤是相互依存的,必须完成每个步骤,才能完成这件事,.,根据具体问题的特征,正确认识分类和分步的特征,才能正确选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决问题,.,6,【,做一做,】,现有,16,张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各,4,张,从中任取,3,张,要求这,3,张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多,1,张,不同取法的种数为,(,),A.232B.252C.472D.484,解析,若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选,3,张,若都不同色,则有,4,4,4,=,64,种,;,若,2,色相同,则有,3,2,6,4,=,144,种,;,若红色卡片有,1,张,则剩余,2,张若不同色,有,4,3,4,4,=,192,种,若同色,则有,4,3,6,=,72,种,所以共有,64,+,144,+,192,+,72,=,472,故选,C.,答案,C,7,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打,“,”,错误的打,“,”,.,(1),如果完成一件事情有,n,个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法,m,i,(,i=,1,2,3,n,),那么完成这件事共有,m,1,m,2,m,3,m,n,种方法,.,(,),(2),所有两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有,72,个,.,(,),(3),应用分类加法计数原理时为了避免漏掉某种情况,可以适当的重复,.,(,),(4),有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么,不同的配法有,12,种,.,(,),答案,(1),(2),(3),(4),8,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,1,】,高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有,(,),A.16,种,B.18,种,C.37,种,D.48,种,分析,可以先进行分类,然后对于每一类再进行分步完成,.,9,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析,方法一,(,直接法,),以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类,:,第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有,1,种情况,;,第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,其分配方案共有,3,3,=,9(,种,);,第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案共有,3,3,3,=,27(,种,),.,综上所述,不同的分配方案有,1,+,9,+,27,=,37(,种,),.,方法二,(,间接法,),先计算,3,个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即,4,4,4,-,3,3,3,=,37(,种,),方案,.,答案,C,10,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,解决抽取,(,分配,),问题的方法,(1),当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法,.,(2),当涉及对象数目很大时,一般有两种方法,:,直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理,.,一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行,;,若是按对象特征抽取的,则按分类进行,.,间接法,:,去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可,.,11,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,现有,5,幅不同的国画,2,幅不同的油画,7,幅不同的水彩画,.,(1),从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法,?,(2),从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法,?,(3),从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法,?,解,(1),分为三类,:,第一类,从国画中选,有,5,种不同的选法,;,第二类,从油画中选,有,2,种不同的选法,;,第三类,从水彩画中选,有,7,种不同的选法,.,由分类加法计数原理知,共有,5,+,2,+,7,=,14,种不同的选法,.,12,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),要完成的一件事是,“,从现有,3,种画中各选,1,幅画,”,.,分三步,:,第一步,从,5,幅不同的国画中选,1,幅,有,5,种不同的选法,;,第二步,从,2,幅不同的油画中选,1,幅,有,2,种不同的选法,;,第三步,从,7,幅不同的水彩画中选,1,幅,有,7,种不同的选法,.,由分步乘法计数原理知,共有,5,2,7,=,70,种不同的选法,.,(3),分为三类,:,第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,.,由分步乘法计数原理知,有,5,2,=,10,种不同的选法,;,第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有,5,7,=,35,种不同的选法,;,第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有,2,7,=,14,种不同的选法,.,所以共有,10,+,35,+,14,=,59,种不同的选法,.,13,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,2,】,用,6,种不同颜色为如图所示的广告牌着色,要求在,A,B,C,D,四个区域中相邻,(,有公共边的,),区域不用同一种颜色,求共有多少种不同的着色方法,?,分析,按不同的分类标准有不同的计算方法,可以按,A,D,涂同色或不同色分类,也可以按四个区域所用颜色的种数分类,.,14,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,(1),方法一,:,分类,:,第一类,A,D,涂同色,有,6,5,4,=,120(,种,),涂法,第二类,A,D,涂异色,有,6,5,4,3,=,360(,种,),涂法,共有,120,+,360,=,480(,种,),涂法,.,方法二,:,分步,:,先涂,B,区,有,6(,种,),涂法,再涂,C,区,有,5(,种,),涂法,最后涂,A,D,区域,各有,4(,种,),涂法,所以共有,6,5,4,4,=,480(,种,),涂法,.,方法三,:,以四个区域涂,n,种颜色为标准分类,可知至少用三种颜色,最多用四种颜色,.,第一类,:,用三种颜色着色,A,D,区域必须是同种颜色,有,6,5,4,=,120(,种,),涂法,.,第二类,:,用四种颜色着色,四个区域的颜色均不相同,有,6,5,4,3,=,360(,种,),涂法,.,所以共有,120,+,360,=,480(,种,),不同方法,.,15,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,1,.,涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,但是不相邻的区域可以同色,.,因此一般以不相邻区域同色、不同色为分类依据,相邻区域可用分步涂色的办法涂色,.,2,.,涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用,因此,要找准分类标准,兼顾条件的情况下分步涂色,.,16,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,如图所示的几何体是由一个正三棱锥,P-ABC,与正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,组合而成的,现用,3,种不同颜色对这个几何体的表面染色,(,底面,A,1,B,1,C,1,不涂色,),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有,种,.,解析,先涂三棱锥,P-ABC,的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,由分步乘法计数原理,共有,3,2,1,2,=,12(,种,),不同的涂法,.,答案,12,17,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,3,】,已知集合,M=,1,-,2,3,N=,-,4,5,6,-,7,从两个集合中各取一个元素分别作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标,则第一、二象限内不同的点的个数是多少,?,解,可分两类,.,第一类,:,以集合,M,中的元素作为横坐标,集合,N,中的元素作为纵坐标,.,从集合,M,中任取一个元素有,3,种方法,要使点在第一、二象限内,则从集合,N,中只能取,5,6,两个元素中的一个,有,2,种方法,.,根据分步乘法计数原理,满足条件的点有,3,2,=,6,个,.,第二类,:,以集合,N,中的元素作为横坐标,集合,M,中的元素作为纵坐标,.,从集合,N,中任取一个元素有,4,种方法,要使点在第一、二象限内,则从集合,M,中只能取,1,3,两个元素中的一个,有,2,种方法,.,根据分步乘法计数原理,满足条件的点有,4,2,=,8,个,.,根据分类加法计数原理,满足条件的点共有,6,+,8,=,14,个,.,18,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法,区分,“,分类,”,与,“,分步,”,的关键,是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情,分类中的每一种方法都完成了这件事情,而分步中的每一种方法不能独立完成这件事情,只是向事情的完成迈进了一步,.,19,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,从黄瓜、白菜、油菜、扁豆,4,种蔬菜品种中选出,3,种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法,.,分析,因为黄瓜必须种植,所以先将黄瓜种好,再依次选择其他土地上的种植蔬菜种类,.,解,方法一,(,直接法,):,若黄瓜种在第一块土地上,则有,3,2,1,=,6(,种,),不同种植方法,.,同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有,3,2,1,=,6(,种,),不同种植方法,.,故不同的种植方法共有,6,3,=,18(,种,),.,方法二,(,间接法,):,从,4,种蔬菜中选出,3,种,种在三块土地上,有,4,3,2,=,24(,种,),其中不种黄瓜有,3,2,1,=,6(,种,),故共有不同种植方法,24,-,6,=,18(,种,),.,20,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视题目的隐含条件而致误,【,典例,】,某外语组有,9,人,每人至少会英语和日语中的一门,其中,7,人会英语,3,人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法,?,易错分析,完成这类题目首要的是读清楚题意,.,若对题目的隐含条件没有读出或理解不准确,则会导致出错,.,21,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,“,完成一件事,”,指,“,从,9,人中选出会英语与日语的各,1,人,”,故需分三类,:,既会英语又会日语的不当选,;,既会英语又会日语的按会英语当选,;,既会英语又会日语的按会日语当选,.,既会英语又会日语的有,7,+,3,-,9,=,1(,人,),仅会英语的有,6,人,仅会日语的有,2,人,.,先分类后分步,从仅会英、日语的人中各选,1,人,有,6,2,种选法,;,从仅会英语与英、日语都会的人中各选,1,人,有,6,1,种选法,;,从仅会日语与英、日语都会的人中各选,1,人,有,2,1,种选法,.,根据分类加法计数原理,共有,6,2,+,6,1,+,2,1,=,20(,种,),不同选法,.,22,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,1,.,不要忽视了其中有一人既会英语又会日语这一隐含条件,以免导致解题错误,.,2,.,解决计数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘,.,因为该题中既会英语又会日语的有,1,人,而选不选该人对下一步都有影响,所以要进行分类,:,第一类他不当选,;,第二类按会日语当选,;,第三类按会英语当选,.,在每一类中,又要分两步,因此是先分类后分步问题,.,23,探究一,探究二,探究三,思维辨析
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