数学模型经典ppt 第七章(差分方程模型)

,7.1,市场经济中的蛛网模型,7.2,减肥计划,节食与运动,7.3,差分形式的阻滞增长模型,7.4,按年龄分组的种群增长,第七章 差分方程模型,7.1,市场经济中的蛛网模型,问,题,供大于求,现,象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,价格下降,减少产量,增加产量,价格上涨,供不应求,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,蛛 网 模 型,g,x,0,y,0,P,0,f,x,y,0,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,供应函数,需求函数,f,与,g,的,交点,P,0,(,x,0,y,0,),平衡点,一旦,x,k,=,x,0,，,则,y,k,=,y,0,x,k+,1,x,k+,2,=x,0,y,k+,1,y,k+,2,=y,0,x,y,0,f,g,y,0,x,0,P,0,设,x,1,偏离,x,0,x,1,x,2,P,2,y,1,P,1,y,2,P,3,P,4,x,3,y,3,P,0,是稳定平衡点,P,1,P,2,P,3,P,4,P,0,是不稳定平衡点,x,y,0,y,0,x,0,P,0,f,g,曲线斜率,蛛 网 模 型,在,P,0,点附近用直线近似曲线,P,0,稳定,P,0,不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,商品数量减少,1,单位,价格上涨幅度,价格上涨,1,单位,(,下时段,),供应的增量,考察,的含义,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,结果解释,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,经济稳定,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1.,使,尽量小，如,=0,以行政手段控制价格不变,2.,使,尽量小，如,=0,靠经济实力控制数量不变,x,y,0,y,0,g,f,x,y,0,x,0,g,f,结果解释,需求曲线变为水平,供应曲线变为竖直,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x,0,为平衡点,研究平衡点稳定，即,k,x,k,x,0,的条件,方程通解,(,c,1,c,2,由初始条件确定,),1,2,特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即,k,x,k,x,0,的条件,:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,7.2,减肥计划,节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食（吸收热量）引起体重增加,代谢和运动（消耗热量）引起体重减少,体重指数,BMI=,w,(kg)/,l,2,(m,2,).,18.5BMI25,超重,;,BMI30,肥胖,.,模型假设,1,）体重增加正比于吸收的热量,每8000,千卡增加体重,1,千克；,2,）代谢引起的体重减少正比于体重,每周每公斤体重消耗,200,千卡,320,千卡,(,因人而异,),相当于,70,千克的人每天消耗,2000,千卡,3200,千卡；,3,）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；,4,）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过,1.5,千克，每周吸收热量不要小于,10000,千卡。,某甲体重,100,千克，目前每周吸收,20000,千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至,75,千克。,第一阶段：每周减肥,1,千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（,10000,千卡）；,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标,2,）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。,1,）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。,减肥计划,3,）给出达到目标后维持体重的方案。,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗,20000/100=200,千卡,基本模型,w,(,k,),第,k,周(末),体重,c,(,k,),第,k,周吸收热量,代谢消耗系数,(,因人而异,),1,）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收,20000,千卡,w,=100,千克不变,第一阶段,:,w,(,k,),每周减,1,千克,c,(,k,),减至下限,10000,千卡,第一阶段,10周,每周减,1,千克，第,10,周末体重,90,千克,吸收热量为,1,）不运动情况的两阶段减肥计划,第二阶段：每周,c,(,k,),保持,C,m,w,(,k,),减至,75,千克,1,）不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,第二阶段：每周,c,(,k,),保持,C,m,w,(,k,),减至,75,千克,第二阶段,19周,每周吸收热量保持,10000,千卡,体重按,减少至,75,千克。,运动,t,=24(,每周,跳舞,8,小时或自行车,10,小时,),14,周即可。,2,）第二阶段增加运动的减肥计划,根据资料每小时每千克体重消耗的热量,(,千卡,):,跑步 跳舞,乒乓 自行车,(,中速,),游泳,(50米/分),7.0 3.0 4.4 2.5 7.9,t,每周运动时间,(,小时,),基本模型,3,）达到目标体重,75,千克后维持不变的方案,每周吸收热量,c,(,k,),保持某常数,C,，,使体重,w,不变,不,运动,运动,(,内容同前,),7.3,差分形式的阻滞增长模型,连续形式,的阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),t,x,N,x=N,是,稳定平衡点,(与,r,大小无关,),离散形式,x,(,t,),某种群,t,时刻的数量,(,人口,),y,k,某种群第,k,代的数量,(,人口,),若,y,k,=,N,则,y,k+,1,y,k+,2,=,N,讨论平衡点的稳定性，即,k,y,k,N,？,y,*,=N,是平衡点,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性,一阶,(,非线性,),差分方程,(1),的平衡点,y,*,=N,讨论,x,*,的稳定性,变量代换,(2),的平衡点,(1),的平衡点,x,*,代数方程,x=f,(,x,),的根,稳定性判断,(1),的近似线性方程,x,*,也是,(2),的平衡点,x,*,是(2)和(1),的稳定平衡点,x,*,是(2)和(1),的不稳定平衡点,补充知识,一阶非线性差分方程,的平衡点及稳定性,0,1,的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性,x,*,稳定,x,*,不,稳定,另一平衡点为,x=,0,不稳定,0,1/2,1,0,1,的平衡点及其稳定性,初值,x,0,=0.2,数值计算结果,b,3.57,不存在任何收敛子序列,混沌现象,4,倍周期收敛,的收敛、分岔及混沌现象,b,7.4,按年龄分组的种群增长,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律,假设与建模,种群按年龄大小等分为,n,个年龄组，记,i=,1,2,n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记,k=,1,2,以雌性个体数量为对象,第,i,年龄组,1,雌性个体在,1,时段内的,繁殖率,为,b,i,第,i,年龄组在,1,时段内的死亡率为,d,i,存活率,为,s,i,=,1,-d,i,假设,与,建模,x,i,(,k,),时段,k,第,i,年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie,矩阵,(,L,矩阵,),(,设至少,1个,b,i,0),稳定状态分析的数学知识,L,矩阵存在,正单特征根,1,，,若,L,矩阵存在,b,i,b,i,+1,0,则,P,的第1列是,x,*,特征向量,c,是由,b,i,s,i,x,(0),决定的常数,且,解释,L,对角化,稳态分析,k,充分大,种群按年龄组的分布,种群按年龄组的分布趋向稳定，,x,*,称稳定分布,与初始分布无关。,各年龄组种群数量按同一倍数增减，,称固有增长率,与,基本模型,比较,3,）,=1时,各年龄组,种群,数量不变,1,个个体在整个存活期内的繁殖数量为,1,稳态分析,存活率,s,i,是同一时段的,x,i+,1,与,x,i,之比,（与,s,i,的,定义 比较）,3,）,=1时,