《波函数和算符》PPT课件

第,*,页 共23页,大学物理,同学们好,1,上讲内容：,德布罗意公式,不确定关系,2,微观粒子的基本属性不能用经典语言确切地表达，,“波粒二象性”借用经典语言进行互补性描述。,对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾。,量子力学,在“波粒二象性”概念基础上，建立了包含一套计算规则及对数学程式的物理解释。这是建立在基本假设之上的构造性理论，其正确性由实践检验。,第三节 波动性和粒子性,量子力学,德布罗意、薛定谔：波动力学理论,海森堡、约当：矩阵力学理论,3,一、波动性,经典理论：波动即是振动状态在空间的传播,波动方程：,波动方程表示了如下特征,：,1)描述波动的特征量为波长、频率、波速。,2)波动满足叠加原理，即如果,1,、,2,是方程的解，其线性组合,C,1,1,+,C,2,2,也是方程的解。,3)边界条件约束下得到相应的方程解，对应于各自的运动状态，驻波对应于定态。,4)平面单色波的解,表示波在,x,从-,到+,传播的行波特征。,4,二、粒子性,经典力学表示的粒子具有如下特征,：,1)描述粒子运动的基本物理量,是,质量、大小、,位置、速度、能量、动量。,2)粒子整体运动遵从牛顿定律。,三、微观粒子波粒二象性的描述,由于受不确定关系约束，需突破经典描述方法：,1)“波长、频率”作为描述波动性的特征量。,2)“,能量、动量”作为,描述粒子性的特征量。,3)建立包含粒子性特征量的概率波波动方程,薛定谔方程,。,5,量子力学用,波函数,描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程,薛定谔方程,是量子力学的基本方程。,波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本假设。,第六章 波函数和薛定谔方程,第一节 波函数与算符,一、微观粒子的运动状态描述-波函数,波函数,：描述微观客体的运动状态，是概率波的,数学表达形式。,一般表示为复指数函数形式,6,例,：,一维自由粒子的波函数,经典描述：,沿,x,轴匀速直线运动,量子描述：,类比：,单色平面波,一定,沿直线传播,自由粒子：,不受任何其它势场或粒子的作用,以坐标原点为参考点，,7,（取实部）,推广：,三维自由粒子波函数,意义：,波函数 确定了微观粒子运,动的,全部,力学性质。,8,二、力学量的确定,由于波粒二象性，微观粒子的能量和动量只能通过相应的算符作用于波函数得到。,自由粒子动量,将波函数对,x,求偏导数，再乘以,i,，则有,将波函数对,t,求偏导数，再乘以,i,，则有,可见,E,、,p,x,对应着算符作用于波函数，相应的,算符,为：,9,同理可得动量的其它两个分量算符为：,可以推知自由粒子的非相对论,动能算符,为：,其中 为拉普拉斯算符,用算符表示力学量：,力学量与其相应的算符对应,亦即，微观粒子的力学量只能用算符表示。这是微观粒子波粒二象性的结果。,非自由粒子,，能量=动能+势能,对应算符即,哈密顿算符,10,光栅衍射,电子衍射,类比,第二节 波函数的统计解释,经典物理中波函数具有描述空间振动状态的确切意义对于微观客体，其状态由波函数完全确定。,问题：波函数有什么样的物理意义？,11,I,大处 到达光子数多,I,小处 到达光子数少,I,=0 无光子到达,各光子起点、终点、路径均不确定,用,I,对屏上光子数分布作概率性描述,各电子起点、终点、路径均不确定,对屏上电子数分布作概率性描述,I,大 电子到达该处概率大,I,=0电子到达该处概率为零,I,小 电子到达该处概率小,光栅衍射,电子衍射,12,t,时刻，出现在空间(,x,y,z,)点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。,t,时刻，粒子出现在空间(,x,y,z,)点附近单位体积内的概率。,t,时刻，粒子在空间的概率密度分布。,一般,t,时刻,到达空间,r,(,x,y,z,),处附近某体积,d,V,内的粒子数,的物理意义：,13,物质波的波函数不描述介质中运动状,态(相位)传播的过程,概率密度，描述粒子在空间的统计分布,概率幅,注意,干涉项,14,4,.波函数的归一化条件和标准条件,粒子在整个空间出现的概率为,1,归一化条件,对微观客体的量子力学描述：,脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾，将波粒二象性统一到一起。,标准条件,15,第三节 薛定谔方程,是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。,一、薛定谔方程,一维自由粒子的,薛定谔,方程,由经典波动方程,设微观粒子波函数满足,代入上式得,16,薛定谔方程,对于质量为,m,的自由粒子，,三维,自由粒子,薛定谔方程,三维,粒子,薛定谔方程 存在势场,17,式中，,振幅函数,与驻波类比,1.,一维自由粒子的定态,薛定谔,方程,二、定态薛定谔方程,定态：,势函数不随时间变化,18,要求波函数,(,x,t,),的模方，只需求振幅函数,(,x,)的模方。,建立关于振幅函数,(,x,)的方程 ,振幅方程,*,振幅函数,19,非相对论考虑,自由粒子：,势函数,*,代入,得,即 一维自由粒子的振幅方程,20,一维定态薛定谔方程,粒子在力场中运动，且势能不随时间变化,即 一维定态薛定谔方程,得,*,代入,21,2.,三维定态薛定谔方程,拉普拉斯算符,即 三维定态薛定谔方程,振幅函数,22,求解问题的思路,：,1)写出具体问题中势函数,U,(,r,)的形式代入方程。,2)用分离变量法求解。,3)用归一化条件和标准条件确定积分常数。,只有,E,取某些特定值时才有,解,本征值,本征函数,4)讨论解的物理意义，即求,|,|,2,，,得出粒子在空间的概率分布。,23,