28三角函数的最值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三角函数的最值,一、高考要求,1.,能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等,求三角函数的最大值和最小值,.,2.,能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值,.,3.,会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决,.,最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一,需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的交汇点,常见方法有,:,1.,涉及正、余弦函数以及,a,sin,+,b,cos,可考虑利用三角函数,的有界性,.,二、重点解析,三、知识要点,2.,形如,y,=,a,sin,2,x,+,b,sin,x,+,c,或,y,=,a,cos,2,x,+,b,sin,x,+,c,的函数可通过适当变换、配方求解,.,3.,形如,sin,x,+cos,x,sin,x,cos,x,在关系式中时,可考虑换元法处理,.,常见的三角换元,1.,若,x,2,+,y,2,=1,可设,x,=,cos,y,=sin,;,2.,若,a,x,2,+,y,2,b,可设,x,=,r,cos,y,=,r,sin,a,r,2,b,;,3.,对于,1,-,x,2,由于,|,x,|,1,可设,x,=cos,(0,),或,x,=sin,(,-,);,2,2,4.,对于,1+,x,2,可设,x,=tan,(,-,),或,x,=cot,(0,);,2,2,5.,对于,x,2,-,1,可设,x,=sec,(0,或,),或,x,=,csc,(,-,0,或,00,只需考察,y,2,的最值,.,=.,27,16,y,2,=4cos,2,cos,2,sin,2,2,x,2,x,2,x,2(),3,2sin,2,+cos,2,+cos,2,3,2,x,2,x,2,x,仅当,2sin,2,=cos,2,即,tan =(,0,x,),时取等号,.,2,x,2,x,2,x,2,2,y,无最小值,.,当,x,=2arctan,时,y,2,取最大值,.,2,2,27,16,4 3,9,当,x,=2arctan,时,y,取最大值,;,2,2,2,x,2.,求函数,y,=(1+cos,x,)sin,(0,x,0,-,2,a,(,-,)+2,a,+,b,=1,1,2,-,2,a,1+2,a,+,b,=,-,5,a,0,-,2,a,(,-,)+2,a,+,b,=,-,5,1,2,-,2,a,1+2,a,+,b,=1.,或,解得,:,a,=2,b,=,-,5,或,a,=,-,2,b,=1.,6.,求,y,=,的最值及对应的,x,的集合,.,(1+sin,x,)(3+sin,x,),2+sin,x,解,:,y,=,2+sin,x,sin,2,x,+4sin,x,+3,2+sin,x,(2+sin,x,),2,-,1,=,=2+sin,x,-,.,2+sin,x,1,令,2+sin,x,=,t,则,y,=,f,(,t,)=,t,-,(1,t,3).,t,1,对于任意的,t,1,t,2,1,3,且,t,1,t,2,有,f,(,t,1,),-,f,(,t,2,)=(,t,1,-,),-,(,t,2,-,),t,1,1,t,2,1,t,1,t,2,1+,t,1,t,2,=(,t,1,-,t,2,)(),0.,即,f,(,t,1,),-,f,(,t,2,)0,f,(,t,1,),f,(,t,2,).,f,(,t,),在,1,3,上是增函数,.,当,t,=1,时,y,min,=,f,(,t,),min,=0,此时,sin,x,=,-,1,x,的集合为,:,x,|,x,=2,k,-,k,Z,;,2,x,|,x,=2,k,+,k,Z,.,2,当,t,=3,时,y,max,=,f,(,t,),max,=,此时,sin,x,=1,x,的集合为,:,8,3,7.,函数,y,=sin,2,x,+,a,cos,x,+,a,-,(,0,x,),的最大值为,1,求,a,的值,.,2,5,8,3,2,解,:,由已知,y,=,-,cos,2,x,+,a,cos,x,+,a,-,5,8,1,2,=,-,(,cos,x,-,),2,+,a,-,.,4,a,2,a,2,5,8,1,2,令,t,=,cos,x,则,y,=,-,(,t,-,),2,+,a,-,(0,t,1).,4,a,2,a,2,5,8,1,2,讨论如下,:,若,0,1,则,t,=,时,由题设,y,max,=,+,a,-,=1.,a,2,a,2,4,a,2,5,8,1,2,解得,a,=,-,4,(,舍去,),或,a,=.,3,2,解得,a,=,(,舍去,),.,5,12,若,1,则,t,=1,时,由题设,y,max,=,a,-,=1.,3,2,a,2,8,13,解得,a,=,(,舍去,),.,13,20,综上所述,a,=.,3,2,8.,若方程,4,sin,2,x,-,cos4,x,-,a,=0,恒有实数解,求,a,的取值范围,.,解法,1,从方程有解的角度考虑,.,原方程即为,:,2cos,2,2,x,+2cos2,x,-,3+,a,=0.,令,t,=cos2,x,则,|,t,|,1,且,2,t,2,+2,t,-,3+,a,=0,恒有解,.,解得,:,-,1,a,.,7,2,解法,2,从二次函数图象及性质考虑,.,问题转化为,:,“,a,为何值时,f,(,t,)=2,t,2,+2,t,+,a,-,3,的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在,-,1,1,内,.”,f,(,t,),图象的对称轴为直线,t,=,-,1,2,=4(7,-,2,a,),0,-,2+4(7,-,2,a,),4,|,1,=4(7,-,2,a,),0,-,2,-,4(7,-,2,a,),4,|,1,或,解得,:,-,1,a,.,7,2,0,f,(,-,1),0,f,(,-,1)0.,f,(1),0,或,8.,若方程,4,sin,2,x,-,cos4,x,-,a,=0,恒有实数解,求,a,的取值范围,.,解法,3,正难则反,从反面考虑,.,f,(,t,),图象的对称轴为直线,t,=,-,1,2,若方程,f,(,t,)=2,t,2,+2,t,+,a,-,3=0,的两根均在,-,1,1,之外,则,7,2,当,=4(7,-,2,a,),0,即,a,时,f,(1)0.,解得,:,a,0,时,b,sin,x,+,a,cos,x,=,-,3sin,x,+4cos,x,=5sin(,x,+,),2.,函数,y,=,a,cos,x,+,b,(,a,b,为常数,),若,-,7,y,1,求,b,sin,x,+,a,cos,x,的最大值,.,解得,a,=4,b,=,-,3,此时,a,+,b,=1,-,a,+,b,=,-,7,(tan,=,-,).,4,3,当,a,0,时,b,sin,x,+,a,cos,x,=,-,3sin,x,-,4cos,x,=5sin(,x,+,),解得,a,=,-,4,b,=,-,3,此时,a,+,b,=,-,7,-,a,+,b,=1,(tan,=,).,4,3,当,a,=0,时,不合题意,.,综上所述,b,sin,x,+,a,cos,x,的最大值为,5.,解,:,y=1,-,sin,2,x,-,2,a,sin,x,-,a,=,-,(sin,x,+,a,),2,+,a,2,-,a,+1.,令,sin,x,=,t,则,y,=,-,(,t,+,a,),2,+,a,2,-,a,+1(,-,1,t,1).,若,-,a,1,则当,t,=,-,1,时,y,有最大值,3.,求函数,y,=cos,2,x,-,2,a,sin,x,-,a,(,a,为定值,),的最大值,M.,M=,-,(,-,1+,a,),2,+,a,2,-,a,+1=,a,;,若,-,1,-,a,1,即,-,1,a,1,则当,t,=,-,a,时,y,有最大值,M=,-,(,-,a,+,a,),2,+,a,2,-,a,+1=,a,2,-,a,+1;,若,-,a,1,即,a,-,1,则当,t,=1,时,y,有最大值,M=,-,(1+,a,),2,+,a,2,-,a,+1=,-,3,a,.,综上所述,M=,a,2,-,a,+1,-,1,a,1,-,3,a,a,1.,4.,当,a,0,时,求函数,f,(,x,)=(,sin,x,+,a,)(cos,x,+,a,),的最大值、最小值以及相应的,x,的取值,.,解,:,f,(,x,)=sin,x,cos,x,+,a,(sin,x,+cos,x,)+,a,2,f,(,x,)=,g,(,t,)=,(,t,2,-,1)+,at,+,a,2,1,2,=,(,t,+,a,),2,+,a,2,-,1.,1,2,a,为常数,只需求,y,=(,t,+,a,),2,的最值,.,t,-,2,2,且,a,0,当,t,=,2,即,x,=2,k,+(,k,Z,),时,f,(,x,),取最大值,a,2,+,2,a,+,.,4,1,2,若,0,a,2,则,-,2,-,a,0,当,t,=,-,a,即,x,=2,k,arccos(,-,a,)+,(,k,Z,),时,f,(,x,),取最小值,(,a,2,-,1);,2,2,4,1,2,若,a,2,则当,t,=,-,2,即,x,=2,k,+(,k,Z,),时,4,5,1,2,f,(,x,),取最小值,a,2,-,2,a,+,.,令,t,=,sin,x,+cos,x,则,t,=,2,cos(,x,-,),且,t,-,2,2,4,5.,设,0,且,cos,2,+2,m,sin,-,2,m,-,20,恒成立,求,m,的取值范围,.,2,解法,1,由已知,0,sin,1,且,1,-,sin,2,+2,m,sin,-,2,m,-,20,恒成立,.,令,t,=sin,则,0,t,1,且,1,-,t,2,+2,mt,-,2,m,-,20,对,t,0,1,恒成立,.,故可讨论如下,:,(1),若,m,0.,即,2,m,+10.,解得,m,-,1,2,(2),若,0,m,1,则,f,(,m,)0.,即,-,m,2,+2,m,+10.,亦即,m,2,-,2,m,-,10.,解得,:1,-,2,m,1+,2,0,m,1;,-,m,1,则,f,(1)0.,即,0,m,+20.,m,R,m,1.,综上所述,m,-,.,1,2,即,m,的取值范围是,(,-,+,).,1,2,解法,2,题中不等式即为,2(1,-,sin,),m,-,1,-,sin,2,.,0,2,0,sin,1.,当,sin,=1,时,不等式显然恒成立,此时,m,R,;,当,0,sin,-,恒成立,.,1+sin,2,2(1,-,sin,),令,t,=1,-,sin,则,t,(0,1,且,2,t,1+(1,-,t,),2,1,t,2,t,m,-,=1,-,(,+),恒成立,.,易证,g,(,t,)=1,-,(,+),在,(0,1,上单调递增,有最大值,-,1,t,2,t,1,2,m,-,.,1,2,即,m,的取值范围是,(,-,+,).,1,2,5.,设,0,且,cos,2,+2,m,sin,-,2,m,-,20,恒成立,求,m,的取值范围,.,2,6.,设,0,P=sin2,+sin,-,cos,.(1),若,t,=sin,-,cos,用含,t,的式子表示,P;(2),确定,P,的取值范围,并求出,P,的最大值和最小值,.,解,:,(1),t,=sin,-,cos,t,2,=1,-,2sin,cos,=1,-,sin2,.,sin2,=1,-,t,2,.,P=1,-,t,2,+,t,.,(2),t,=sin,-,cos,=,2,sin(,-,).,4,0,-,-,4,4,4,3,即,P=,-,t,2,+,t,+1.,-,sin(,-,),1.,2,2,4,-,1,t,2,.,P=,-,t,2,+,t,+