勾股定理综合应

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,14.1,勾股定理,综合应用,a,2,+b,2,=c,2,勾股定理的应用,c,b,a,8,课前练习：,（,1,）求出下列直角三角形中未知的边,6,10,（,2,）求,AB,的长,例,2,、,在,ABC,中，,B=45AC=3cm,AB=2cm,，求,BC,的长,.,D,勾股定理在非直角三角形中的应用：,作高构造直角三角形,.,变式,1,、,在,ABC,中，,B=120,，,BC=4cm,，,AB=6cm,，求,AC,的长,.,D,已知直角三角形的两边长分别是,3,和,4,则第三边长为,.,5,或,分类思想,训练：,ABC,中,AB=10,AC=17,，,BC,边上的高线,AD=8,求线段,BC,的长和,ABC,的面积,.,A,B,C,17,10,8,D,8,6,15,15,6,21,或,9,S,ABC,=84,或,36,当题中没有给出图形时，应考虑图形的形状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。,规律,分类思想,1.,直角三角形中，已知两边长,求第三边时,应分类讨论。,2.,当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。,方程思想,直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。,规律,例,2,、,在,ABC,中，,B=45AC=3cm,AB=2cm,，求,BC,的长,.,D,勾股定理在非直角三角形中的应用：,设,AD=x,折叠矩形,ABCD,的一边,AD,点,D,落在,BC,边上的点,F,处,已知,AB=8CM,BC=10CM,求,1.CF 2.EC.,A,B,C,D,E,F,8,10,10,6,X,8-X,4,8-X,如图，一块直角三角形的纸片，两直角边,AC=6,，,BC=8,。现将直角边,AC,沿直线,AD,折叠，使它落在斜边,AB,上，且与,AE,重合，求,CD,的长,A,C,D,B,E,第,8,题图,x,6,x,8-x,4,6,路边苦李,王戎,7,岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子,.,小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动,.,王戎回答说,:,“,树在道边而多子,此必苦李,.,”,小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李,.,王戎是怎样知道李子是苦的呢,?,他运用了怎样的推理方法,?,小故事,这与事实,矛盾。,说明李子是甜的这个假设是错的还是对的,？,假设,李子不是苦的，即李子是甜的，,那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢,？,那么，树上的李子还会这么多吗,？,所以，,李子是苦的,甲：在五一长假里，我和爸爸、妈妈去新加坡玩了整整,6,天，真是太高兴了,.,乙：这不可能，,5,月,4,号上午还看见你和丙在,“,步行街,”,逛街呢！,丙：是啊,5,月,4,号我确实和甲在,“步行街”,逛街！,假设,甲去新加坡玩了,6,天，,乙：甲没有去新加坡玩了,6,天,.,那么甲从,5,月,1,号至,6,号或是,2,号至,7,号在新加坡，,即,5,月,4,号甲在新加坡，,这与“,5,月,4,号甲在桂阳的,“步行街”,”,矛盾,所以,假设,“甲去新加坡玩了,6,天”,不正确,于是“甲没有去新加坡玩了,6,天”正确,.,在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？,他运用了怎样的推理方法？,各抒己见,假设,自己的前额没有被涂黑,那么另一个哲学家也不会有异常行为,自己的前额也被涂黑了,.,这与另一个哲学家笑个不停,矛盾,所以,假设,“自己的前额没有涂黑”,不正确,于是自己的前额也被涂黑了,.,反证法,一、问题情境,小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”,你能对小华的判断说出理由吗？,假设,昨天晚上没有下雨，,那么,地上应是干的，这与早晨地上全湿了,相矛盾,，所以说昨晚下雨是正确的。,小华的理由,：,我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。,解析：,由,C=90,可知是直角三角形，根据勾股定理可知,a,2,+b,2,c,2 .,如图，在,ABC,中，,AB=c,，,BC=a,，,AC=b,如果,C=90,，,a,、,b,、,c,三边有何关系？为什么？,A,C,C,a,b,c,一、复习引入,探究：,假设,a,2,+b,2,c,2,，由勾股定理可知三角形,ABC,是直角三角形，且,C=90,，这与已知条件,C90,矛盾。假设不成立，从而说明原结论,a,2,+b,2,c,2,成立。,A,C,C,若将上面的条件改为,“,在,ABC,中，,AB=c,，,BC=a,，,AC=b,C90,”,，请问结论,a,2,+b,2,c,2,成立吗？,请说明理由。,a,b,c,这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做,反证法,。,问题,：,发现知识：,二、探究,三、应用新知,在,ABC,中，,ABAC,求证：,B,C,A,B,C,证明：假设,，,则,（,）,这与,矛盾,假设不成立,B,C,AB,AC,等角对等边,已知,ABAC,B,C,小结：,反证法的步骤：假设结论的反面不成立逻辑推理得出矛盾肯定原结论正确,例,尝试解决问题,感受反证法,:,证明,：,假设,a,与,b,不止一个交点，不妨假设有两个交点,A,和,A,。,因为两点确定一条直线，即经过点,A,和,A,的直线有且只有一条,，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立。,所以两条直线相交只有一个交点,。,小结,：,根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾,例,2,求证：两条直线相交只有一个交点。,已知：如图,两条相交直线,a、b,。,求证：a,与,b,只有一个交点。,a,b,A,A,，,A,证明：假设,a,与,b,不平行，则可设它们相交于点,A,。,那么过点,A,就有两条直线,a,、,b,与直线,c,平行，这与,“,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。,a/b.,小结,：,根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾,已知：如图有a、b、c三条直线，且a/c,b/c.,求证：a/b,a,b,c,例,3,求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。,已知：,ABC,求证：,ABC,中至少有一个内角小于或等于,60,.,证明：假设,，,则,。,，,即,。,这与,矛盾假设不成立,ABC,中没有一个内角小于或等于,60,A60,B60,C60,A+B+C180,三角形的内角和为,180,度,ABC,中至少有一个内角小于或等于,60,.,点拨：至少的反面是没有！,例,4,A+B+C60+60+60=180,求证,:,在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中的一条相交,那么和另一条也相交,.,已知,:,直线,l,1, l,2, l,3,在同一平面内,且,l,1,l,2, l,3,与,l,1,相交于点,P.,求证,:,l,3,与,l,2,相交,.,证明,:,假设,_,那么,_.,因为已知,_,这与,“,_ _,”,矛盾,.,所以,假设不成立,即求证的命题正确,.,l,1,l,2,l,3,P,l,3,与,l,2,不相交,.,l,3,l,2,l,1,l,2,经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线,所以过直线,l,2,外一点,P,有,两条直线,和,l,2,平行,例,5,例,6,、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角,分析,：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论,.,已知：在,ABC,中，,AB=AC.,求证：,B,、,C,为锐角,.,证明：,假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：,(1),两个底角都是直角；,(2),两个底角都是钝角；,（,1),由,A=B=90,则,A+B+C=A+90+90180,，,这与三角形内角和定理矛盾，,A=B=90,这个假设不成立,.,(2),由,90,B,180,，,90,C,180,，,则 ,A+B+C180,，这与三角形内角和定理矛盾,.,两个底角都是钝角这个假设也不成立,故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角,.,说明,：本例中“是锐角,(,小于,90)”,的反面有,两种情况,，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确,.,此题是对反证法的进一步理解,.,假设结论的反面正确,推理论证,得出结论,回顾与归纳,反证法,反设,归谬,结论,得出矛盾（已知、,公理、定理等）,假设不成立，原,命题成立,.,反证法的一般步骤,:,假设命题结论不成立,假设不成立,假设命题结论反面成立,与已知条件,矛盾,假设,推理得出的结论,与,定理，定义，公理,矛盾,所证命题成立,什么时候运用反证法呢？,动动脑,证明真命题 的方法,直接证法,间接证法,反证法,万事开头难，让我们走好第一步！,写出下列各结论的反面：,（,1,）,a/b,；,（,2,）,a0,；,（,3,）,b,是正数；,（,4,）,ab,a0,b,是,0,或负数,a,不垂直于,b,ab,已知：如图,ABC,中，,D,、,E,两 点分别在,AB,和,AC,上,求证：,CD,、,BE,不能互相平分,（,平行四边形对边平行,）,做一做,学习是件很愉快的事,证明：假设,CD,、,BE,互相平分,连结,DE,，故四边形,BCED,是平行四边形,BDCE,这与,BD,、,CE,交于点,A,矛盾,假设错误， ,CD,、,BE,不能互相平分,四、巩固新知,1,、试说出下列命题的反面：,（,1,）,a,是实数。 （,2)a,大于,2,。,（,3,）,a,小于,2,。 （,4,）至少有,2,个,（,5,）最多有一个 （,6,）两条直线平行。,2,、用反证法证明,“,若,a,2,b,2,则,a,b,”,的第一步是,。,3,、用反证法证明,“,如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形,”,的第一步,。,a,不是实数,a,小于或等于,a,大于或等于,没有两个,一个也没有,两直线相交,假设,a=b,假设这个三角形是等腰三角形,五、拓展应用,1,、已知：如图，在,ABC,中，,AB=AC,，,APBAPC,。,求证：,PBPC,A,B,C,P,证明：假设,PB=PC,。,在,ABP,与,ACP,中,AB=AC(,已知）,AP=AP,（公共边）,PB=PC,（已知）,ABPACP,（,S.S.S),APB=APC(,全等三角形对应边相等）,这与已知条件,APBAPC,矛盾，假设不成立,.,PBPC,美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了故事,:,“,黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真假,.,”,忽然华盛顿大声喊道,:,“,小偷就是他，黄蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！”大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝一声：“小偷就是他！”,你知道华盛顿是如何推理的吗？,在应用中体会,华盛顿抓小偷,警察局里有名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：,说：这里有个人说谎,说：这里有个人说谎,说：这里有个人说谎,说：这里有个人说谎,说：这里有个人说谎,聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？,你会释放谁？,请与大家分享你的判断！,快乐驿站,我来当警察,课外延伸,古希腊哲学家亚里士多德有一个著名论点,:,轻重不同的两个物体从同一高度自由下落时,一定是重的物体先落地,.,在意大利物理学家伽利略提出反对观点以前的一千多年里人们对亚里士多德的说法深信不疑,.,伽利略为了证明自己的观点是正确的,在意大利的比萨斜塔上,让一个中,1,磅和重,100,磅的两个铁球同时从高空自由下落,果然是同时着地,.,这是科学史上一个极其有名的实验,它否定了亚里士多德的错误观点,.,你能用今天所学的知识来否定亚里士多德的错误观点吗,?,试一试,.,六、全课总结,1,、知识小结：,反证法证明的思路：假设命题不成立正确的推理,得出矛盾肯定待定命题的结论,2,、难点提示,:,利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。,课时作业设计,用反证法证明下列命题：,1.,求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。,2.,已知：如图，,ABCD,，,AB EF,。,求证：,CD EF,。,3.,求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。,4.,证明“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,.”,A,B,C,D,E,F,第,2,题图,