matlab符号基础以及微积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,西南科技大学网络教育,西南科技大学网络教育,第,6,讲,MATLAB,符号计算一,数学软件,数学软件,6.1,符号计算基础,6.2,符号导数及其应用,6.3,符号积分,6.1,符号计算基础,6.1.1,符号对象,1.,建立符号变量和符号常数,(1)sym,函数,sym,函数用来建立单个符号量，例如，,a=sym(a),建立符号变量,a,，此后，用户可以在表达式中使用变量,a,进行各种运算。,例,6.1,考察符号变量和数值变量的差别。,在,MATLAB,命令窗口，输入命令：,a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d);%,定义,4,个符号变量,w=10;x=5;y=-8;z=11;%,定义,4,个数值变量,A=a,b;c,d%,建立符号矩阵,A,B=w,x;y,z%,建立数值矩阵,B,det(A)%,计算符号矩阵,A,的行列式,det(B)%,计算数值矩阵,B,的行列式,例,6.2,比较符号常数与数值在代数运算时的差别。,在,MATLAB,命令窗口，输入命令：,pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3);%,定义符号变量,pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%,定义数值变量,sin(pi1/3)%,计算符号表达式值,sin(pi2/3)%,计算数值表达式值,sqrt(k1)%,计算符号表达式值,sqrt(r1)%,计算数值表达式值,sqrt(k3+sqrt(k2)%,计算符号表达式值,sqrt(r3+sqrt(r2)%,计算数值表达式值,(2)syms,函数,syms,函数的一般调用格式为：,syms var1 var2 varn,函数定义符号变量,var1,var2,varn,等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符,(),，变量间用空格而不要用逗号分隔。,2.,建立符号表达式,例,6.3,用两种方法建立符号表达式。,在,MATLAB,窗口，输入命令：,U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6)%,定义符号表达式,U,syms x y;%,建立符号变量,x,、,y,V=3*x2+5*y+2*x*y+6%,定义符号表达式,V,2*U-V+6%,求符号表达式的值,例,6.4,计算,3,阶范得蒙矩阵行列式的值。设,A,是一个由符号变量,a,b,c,确定的范得蒙矩阵。,命令如下：,syms a b c;,U=a,b,c;,A=1,1,1;U;U.2%,建立范得蒙符号矩阵,det(A)%,计算,A,的行列式值,例,6.5,建立,x,y,的一般二元函数。,在,MATLAB,命令窗口，输入命令：,syms x y;,f=sym(f(x,y);,6.1.2,基本的符号运算,1.,符号表达式运算,(1),符号表达式的四则运算,例,6.6,符号表达式的四则运算示例。,在,MATLAB,命令窗口，输入命令：,syms x y z;,f=2*x+x2*x-5*x+x3%,符号表达式的结果为最简形式,f=2*x/(5*x)%,符号表达式的结果为最简形式,f=(x+y)*(x-y)%,符号表达式的结果不是,x2-y2,，而是,(x+y)*(x-y),(2),因式分解与展开,factor(S),对,S,分解因式，,S,是符号表达式或符号矩阵。,expand(S),对,S,进行展开，,S,是符号表达式或符号矩阵。,collect(S),对,S,合并同类项，,S,是符号表达式或符号矩阵。,collect(S,v),对,S,按变量,v,合并同类项，,S,是符号表达式或符号矩阵。,例,6.7,对符号矩阵,A,的每个元素分解因式。,命令如下：,syms a b x y;,A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3-b3;,factor(A)%,对,A,的每个元素分解因式,例,6.8,计算表达式,S,的值。,命令如下：,syms x y;,s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2);,expand(s)%,对,s,展开,collect(s,x)%,对,s,按变量,x,合并同类项,(,无同类项,),factor(ans)%,对,ans,分解因式,(3),表达式化简,MATLAB,提供的对符号表达式化简的函数有：,simplify(S),应用函数规则对,S,进行化简。,simple(S),调用,MATLAB,的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。,例,6.9,化简,命令如下：,syms x y;,s=(x2+y2)2+(x2-y2)2;,simple(s)%MATLAB,自动调用多种函数对,s,进行化简，并显示每步结果,2.,符号矩阵运算,transpose(S),返回,S,矩阵的转置矩阵。,determ(S),返回,S,矩阵的行列式值。,colspace(S),返回,S,矩阵列空间的基。,Q,D=eigensys(S)Q,返回,S,矩阵的特征向量，,D,返回,S,矩阵的特征值。,6.1.3,符号表达式中变量的确定,MATLAB,中的符号可以表示符号变量和符号常数。,findsym,可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：,findsym(S,n),函数返回符号表达式,S,中的,n,个符号变量，若没有指定,n,，则返回,S,中的全部符号变量。,在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，,MATLAB,将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用,findsym(S,1),查找系统的缺省变量，事实上，,MATLAB,按离字符,x,最近原则确定缺省变量。,6.2,符号导数及其应用,函数的极限,limit,函数的调用格式为：,limit(f,x,a),limit,函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：,limit(f,x,a,right),或,limit(f,x,a,left),例,6.10,求极限。,在,MATLAB,命令窗口，输入命令：,syms a m x;,f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);,limit(f,x,a)%,求极限,(1),f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;,limit(f)%,求极限,(2),limit(f,inf)%,求,f,函数在,x(,包括,+,和,-),处的极限,limit(f,x,inf,left)%,求极限,(3),f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);,limit(f,x,a,right)%,求极限,(4),6.2.2,符号函数求导及其应用,MATLAB,中的求导的函数为：,diff(f,x,n),diff,函数求函数,f,对变量,x,的,n,阶导数。参数,x,的用法同求极限函数,limit,，可以缺省，缺省值与,limit,相同，,n,的缺省值是,1,。,例,6.11,求函数的导数。,命令如下：,syms a b t x y z;,f=sqrt(1+exp(x);,diff(f)%,求,(1),。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理,f=x*cos(x);,diff(f,x,2)%,求,(2),。求,f,对,x,的二阶导数,diff(f,x,3)%,求,(2),。求,f,对,x,的三阶导数,f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);,diff(f2)/diff(f1)%,求,(3),。按参数方程求导公式求,y,对,x,的导数,(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3%,求,(3),。求,y,对,x,的二阶导数,f=x*exp(y)/y2;,diff(f,x)%,求,(4),。,z,对,x,的偏导数,diff(f,y)%,求,(4),。,z,对,y,的偏导数,f=x2+y2+z2-a2;,zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%,求,(5),。按隐函数求导公式求,z,对,x,的偏导数,zy=-diff(f,y)/diff(f,z)%,求,(5),。按隐函数求导公式求,z,对,y,的偏导数,例,6.12,在曲线,y=x3+3x-2,上哪一点的切线与直线,y=4x-1,平行。,命令如下：,x=sym(x);,y=x3+3*x-2;%,定义曲线函数,f=diff(y);%,对曲线求导数,g=f-4;,solve(g)%,求方程,f-4=0,的根，即求曲线何处的导数为,4,6.3,符号积分,不定积分,在,MATLAB,中，求不定积分的函数是,int,，其调用格式为：,int(f,x),int,函数求函数,f,对变量,x,的不定积分。参数,x,可以缺省，缺省原则与,diff,函数相同。,例,6.13,求不定积分。,命令如下：,x=sym(x);,f=(3-x2)3;,int(f)%,求不定积分,(1),f=sqrt(x3+x4);,int(f)%,求不定积分,(2),g=simple(ans)%,调用,simple,函数对结果化简,6.3.2,符号函数的定积分,定积分在实际工作中有广泛的应用。在,MATLAB,中，定积分的计算使用函数：,int(f,x,a,b),例,6.14,求定积分。,命令如下：,x=sym(x);t=sym(t);,int(abs(1-x),1,2)%,求定积分,(1),f=1/(1+x2);,int(f,-inf,inf)%,求定积分,(2),int(4*t*x,x,2,sin(t)%,求定积分,(3),f=x3/(x-1)100;,I=int(f,2,3)%,用符号积分的方法求定积分,(4),double(I)%,将上述符号结果转换为数值,例,6.15,求椭球的体积。,命令如下：,syms a b c z;,f=pi*a*b*(c2-z2)/c2;,V=int(f,z,-c,c),V=,4/3*pi*a*b*c,例,6.16,轴的长度为,10,米，若该轴的线性密度计算公式是,f(x)=6+0.3x,千克,/,米,(,其中,x,为距轴的端点距离,),，求轴的质量。,(1),符号函数积分。在,MATLAB,命令窗口，输入命令：,syms x;,f=6+0.3*x;,m=int(f,0,10),(2),数值积分。,先建立一个函数文件,fx.m,：,function fx=fx(x),fx=6+0.3*x;,再在,MATLAB,命令窗口，输入命令：,m=quad(fx,0,10,1e-6),例,6.17,求空间曲线,c,从点,(0,，,0,，,0),到点,(3,，,3,，,2),的长度。求曲线,c,的长度是曲线一型,命令如下：,syms t;,x=3*t;y=3*t2;z=2*t3;,f=diff(x,y,z,t)%,求,x,y,z,对参数,t,的导数,g=sqrt(f*f)%,计算一型积分公式中的根式部分,l=int(g,t,0,1)%,计算曲线,c,的长度,6.3.3,积分变换,1.,傅立叶,(Fourier),变换,在,MATLAB,中，进行傅立叶变换的函数是：,fourier(fx,x,t),求函数,f(x),的傅立叶像函数,F(t),。,ifourier(Fw,t,x),求傅立叶像函数,F(t),的原函数,f(x),。,例,6.18,求函数的傅立叶变换及其逆变换。,命令如下：,syms x t;,y=abs(x);,Ft=fourier(y,x,t)%,求,y,的傅立叶变换,fx=ifourier(Ft,t,x)%,求,Ft,的傅立叶逆变换,2.,拉普拉斯,(Laplace),变换,在,MATLAB,中，进行拉普拉斯变换的函数是：,laplace(fx,x,t),求函数,f(x),的拉普拉斯像函数,F(t),。,ilaplace(Fw,t,x),求拉普拉斯像函数,F(t),的原函数,f(x),。,例,6.19,计算,y=x2,的拉普拉斯变换及其逆变换,.,