利用根轨迹分析闭环系统

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四节 控制系统根轨迹的绘制,10/8/2024,1,前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质），这里将,手工绘制控制系统根轨迹,的步骤罗列如下：,标注开环极点“”和零点“”；,画出,n-m,条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分别为：,确定实轴上的根迹区间；,计算极点处的出射角和零点处入射角：,10/8/2024,2,计算根轨迹和虚轴的交点；,计算会合点和分离点：,利用前几步得到的信息绘制根轨迹。,注意：,后两步可能不存在；,在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。,10/8/2024,3,一、单回路负反馈系统的根轨迹,前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反馈系统的。,例开环传递函数为：，画根轨迹。,实轴上根轨迹区间是：-2，0；,渐进线倾角：与实轴的交点为：,解：,标出四个开环极点：0，-2，,。,有四条根轨迹。,10/8/2024,4,-3+4,j,处的出射角 ：,根据对称性，可知-3-,j4,处的出射角 为：,与,虚轴的交点：闭环特征方程为：,劳斯阵为：,当,劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时，。,辅助方程为：，解得共轭虚根为：,即为根轨迹与虚轴的交点。,10/8/2024,5,会合点与分离点（重根点）：分离角为,由 得：,由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：,我们知道，分离点在负实轴-2，0区间上，所以当,s,在实数范围内变化时，最大时为分离点。,6.28,11.49,15.59,18.47,20.0,20.01,18.28,14.57,8.58,-,2.0,-,1.8,-,1.6,-,1.4,-,1.2,-,1.0,-,0.8,-,0.6,-,0.4,-,0.2,s,可见分离点在-0.8-1.0之间，近似取-0.9。,10/8/2024,6,绘制根轨迹，如下图所示。,-4,-3,-2,-1,0,1,2,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,Real Axis,Imag,Axis,10/8/2024,7,解：开环零点 ，开环极点,根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。一支在无穷远处。,实轴上根轨迹区间：,例4-4中已求得，分别为分离点=,-0.33,会合点=-1.67，分离角,分离点和会合点：,绘制根轨迹。,例4-7,设开环系统传递函数为：,试绘制根轨迹。,10/8/2024,8,例4-8设系统开环传递函数为：,试,绘制系统的根轨迹。,解：开环零，极点分别为：,根轨迹有四支。,渐近线倾角,重心：,实轴上根轨迹区间,实轴上无分离点和会合点。,10/8/2024,9,与,虚轴的交点：,闭环系统的特征方程为：,劳斯阵列：,劳斯阵有一行全为0，表示有共轭虚根。令：,辅助方程为：,出射角：,对,10/8/2024,10,绘制根轨迹图，见下图,-4,-3,-2,-1,0,1,2,-2.5,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,Real Axis,Imag,Axis,10/8/2024,11,特殊情况：,对于开环传递函数 有零极点相对消的情况。,-,如：,则：，引起特,征方程阶数的下降。处理方法见下图：,-,式,中：,以,开环传递函数 绘制根轨迹可得 的极点。闭环 系统 的极点由 和 组合而成。,由零,极点相对消减少的极点由 的极点来补充。见下页图。,10/8/2024,12,10/8/2024,13,二、多回路系统的根轨迹,简单处理办法：,将多回路系统等效为单回路系统，再绘制180度根轨迹或参量根轨迹。,三、正反馈系统的根轨迹,以上我们讨论的都是闭环负反馈系统的根轨迹绘制准则。在实际的复杂系统中，可能有局部的正反馈的结构。正反馈系统的根轨迹绘制准则与负反馈系统根轨迹略有不同。如下图所示系统：,+,开环传递函数为：,闭环传递函数为：,10/8/2024,14,相应的跟轨迹方程为：,幅值条件和相角条件为：,与负反馈系统根轨迹比较，幅值条件相同，相角条件不同。负反馈系统的相角条件 是180度等相角条件；而正反馈系统的相角条件 是0度等相角条件。,注意：,负反馈系统根轨迹称为180度根轨迹或简称为根轨迹；,正反馈系统根轨迹称为0度根轨迹。,10/8/2024,15,绘制0度根轨迹的基本准则：,对称性和连续性同常规根轨迹；,起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹；,渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，,为：，有,n-m,个角度。,实轴上的根轨迹：其,右,方实轴上的开环零极点之和为偶数（包括0）的区域,。,分离点、会合点和分离角：同常规根轨迹；,10/8/2024,16,与虚轴的交点：同常规根轨迹；,闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。,出射角和入射角：,10/8/2024,17,例4-9：设单位正反馈系统的开环传递函数为：,，试绘制系统的根轨迹。,起点在0，-1，-5处，终点在无穷远处。有3支根轨迹。,渐进线：与实轴的交点,倾角：,实轴上根轨迹区间：-5，-1，0，）,分离角（点,）：,由 得：,显然，不在根轨迹上。分离点为：。,解：,10/8/2024,18,10/8/2024,19,比较正负反馈的根轨迹方程：,若,开环传递函数为：,则,正负反馈的根轨迹方程分别为：,可见，正反馈根轨迹相当与负反馈根轨迹的 从 时的根轨迹。所以，可将正负反馈系统的根轨迹合并，得 时的整个区间的根轨迹，,请,阅读,p135,图4-29及下页比较图。,10/8/2024,20,左,图为正,反馈（0度）根轨迹图；右图为负反馈（180度）根轨迹图；,将例,4-9的给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：,作业：4-2,a,b，4-3a，4-4,10/8/2024,21,小结,手工绘制180度根轨迹的步骤(单回路负反馈系统和多回路系统根轨迹的绘制)；,手工绘制0度根轨迹的步骤(单回路正反馈系统根轨迹的绘制)；,180度根轨迹和,0,度根轨迹的关系；,10/8/2024,22,