牛顿迭代法的基本思想

单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Newton迭代法的基本思想,设 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在 处作泰勒展开,若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线性方程,设 ,令其解为 ,得,（1),这称为f(x)=0的牛顿迭代格式。,下一页,它对应的迭代方程为 显然是f(x)=0的同解方程，,故其迭代函数为,在 f(x)=0的根 的某个邻域 内,在 的邻域R 内，对任意初值 ，,应用,由公式（1）,来解方程的方法就称为,牛顿迭代法,。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一,.,返回,下一页,上一页,牛顿法的几何意义,由（1）式知 是点 处 的切线 与X轴的交点的横坐标（如图）。也就是说，新的近似值 是用代替曲线y=f(x)的切线与x 轴相交得到的。继续取点 ,再做切线与x轴相交，又可得 。由图可见，只要初值取的充分靠近 ,这个序列就会很快收敛于,。,Newton迭代法又称切线法,下一页,上一页,返回,返回,下一页,上一页,牛顿迭代法的步骤,步一、准备。选定初始近似值 ，计算,步二、迭代。按公式 迭代一次，得到新的近似值 ，计算,步三、控制。如果 满足 。则终止迭代，以 作为所求的根；否则转步四。此处 是允许误差,返回,下一页,上一页,而 。其中c是取绝对值或相对误差,的控制常数，一般可取c=1。,步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者 则方法失败；否则以 代替 转步二继续迭代。,返回,下一页,上一页,例题,例1:用牛顿法求下面方程的根,解 因 ,所以迭代公式为,选取 ,计算结果列于下表,从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了四次迭代就得到了较满意的结果.,返回,下一页,上一页,例2 计算,的近似值。,=10,-,6,x,0,=0.88,解：令x=,问题转化为求,(x)=x,2,-0.78265=0的正根,由牛顿迭代公式,x,k+1,=x,k,-(x,k,)/(x,k,)=x,k,/2+0.78265/2x,k,迭代结果,k,0,1 2 3,x,k,0.880000 0.884688 0.884675 0.884675,满足了精度要求,=0.884675,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,2)修正Newton法求m重根迭代公式,注：若 是方程 的m重根，而 在 的,某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛的，并具有至少二阶的收敛速度。,因为：,上一页,下一页,返回,考察函数,用定义求导,Tailor展开,所以,由,定理2,知,至少是二阶收敛,上一页,下一页,返回,牛顿迭代法的优缺点,1、优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。,2、缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。,返回,下一页,上一页,设,(x)在有根区间(a,b)上存在二阶导数，且满足,（1）,(a),(b)0。,则牛顿迭代序列x,i,收敛于,(x)=0 在(a,b)内唯一的根。,判别Newton,法收敛的充分条件,返回,上一页,