向量范数与矩阵范数的相容性

,哈尔滨工程大学,理学院,矩阵论教学团队,Department of Mathematics,College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材,矩阵论教程,国防工业出版社,2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,http:/,授课预计,(10,学时,),1,2,3,4,第二章 内积空间与赋范线性空间,欧氏空间与酉 空 间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,酉,(,正交,),变换与正交投影,5,向量范数与矩阵范数,6,向量范数与矩阵范数的相容性,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2,理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构,造标准正交基；,3,理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的,概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；,1,，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质，,理解内积空间的概念；,在矩阵范数中,相容性 尤为重要，那么,矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？,若 是 上的矩阵范数，是,上的向量范数，由于 仍是 上的向量，,所以：,设 是 上的矩阵范数，是 上的向量范数。如果对任意的,都有：,则称矩阵范数 与向量范数 是,相容的,定义,1,向量范数与矩阵范数的相容性,2.6,例,1,证明矩阵范数 与向量范数,是相容的。,证明：,设 ，,例,2,证明矩阵范数 与向量范数,是相容的。,证明：,设 ，,|,A,|,F,与,|,x,|,2,相容,的性质反映了,|,A,|,F,是,像,Ax,的,2-,范数,|,Ax,|,2,与,原像,x,的,2-,范数,之比的最大值，即,因此，可以用,|,A,|,F,来刻画变换,A,的结果。,对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵范数？,任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？,给定 上的向量范数 ，定义,则 是 上与向量范数 相容的矩阵范数，称 为由向量范数 导出的,算子范数,或,从属于,向量范数 的,矩阵范数,从属于向量范数的矩阵范数,定理,1,定理,1,表明，由给定的向量范数按照上式定义的实值函数是一种,矩阵范数,，它与已给的向量范数是,相容的,。,证明,(1),当,A,为非零矩阵时，一定可以找到非零向量,x,，使,Ax,0,，从而有,即,|A|,满足正定性,；另外，显然,|A|=0,当且仅当,A=0,。,(2),对任意的常数,k,C,，,即,|A|,满足齐次性,。,(3),对任意的方阵,A,，,B,C,n,n,，,即,|A|,满足三角不等式,。,(4),对任意的方阵,A,，,B,C,n,n,，,即,|A|,满足相容性,。,上述定义的实值函数,|,A,|,是矩阵,A,的范数。,再证,|,A,|,与,|,x,|,v,的相容性。,由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不同的计算公式。,定理,2:,设 是 上的向量范数,则,(1),都是由 诱导出的算子范数,(2),证,(1),令,(2),显然,由,(1),可知，,故有，,例,3,证明由,n,维向量的,1-,范数，,-,范数和,2-,范数所诱导的算子范数分别是,(,设,A,=(,a,ij,),n,n,),列模和之最大者：,列和范数,为,从属于,向量,2-,范数,的矩阵范数，也称,谱范数,。,为,A,的最大正奇异值。,(3),为,从属于,向量,范数,的矩阵范数,(2),为,从属于,向量,1,范数,的矩阵范数,(1),行模和之最大者：,行和范数,证明,(1),设,A,的各列向量为,i,，即,则 ，且有 ，于是,另外，设 ，并取单位向量,且,即有,即,|,Ax,|,1,在单位球面,x,|,x,|,1,=1,上的极大值点为,e,k,，,(2),假设,i,=,k,时，取得最大值，即,则对于满足,|,x,|,=1,的任意,n,维向量,x,，有,取,x,0,的第,j,个分量,x,j,为,则有,|,x,0,|,=1,，,且,Ax,0,的第,k,个分量为,设与之对应的标准正交特征向量为,，即有,(3),任取 ，且,|,x,|,2,=1,，则,作酉阵 ，则有,A,H,A,=,U,H,DU,，其中,令 ，则,由于,A,H,A,为,Hermite,阵且正定，故可设,A,H,A,的特征值为,从而有,故得,即 ，从而证得,因为 ，所以,又由,x,的任意性可得,若取,x,=,u,1,，则显然有,设 是定义在 上的一种矩阵范数，则在 上必存在与它相容的向量范数,证明：,用构造法证明。取定,则,就是 上与 相容的向量范数。,首先,证明 是 上的范数：,与矩阵范数相容的向量范数的存在性,三角不等式,3,正定性,2,绝对齐性,再证 与 的相容性,由矩阵范数定义中的第,4,条,定理,3,设,A,为,n,阶方阵，则,证明,(1),由于,而,|,A,|,2,为,|,Ax,|,2,在,|,x,|,2,=1,上的最大值，因此，存在,x,0,，使得,取,故,(2),因为,又由于,且对任意,存在,故,又由于,故有,(3),由矩阵范数定义和,(2),，有,故有,(4),由,(2),和,(3),，可得,故有,定义,3,矩阵,A,C,n,n,的,谱半径,(,A,),是,是,A,的特征值,证明,设,为矩阵,A,的一个特征值，相应的特征向量,为,x,0,，则,定理,4,如果,|,是任意的矩阵范数，且,A,C,n,n,，,则,若,|,是任意的矩阵范数，则对上式两边同时取范数，,由,的任意性，我们有,尽管谱半径不是,C,n,n,中的矩阵范数，但对于每个固定的,A,C,n,n,，,它是关于,A,的所有矩阵范数的值的,最大下界,。,Good,Bye,