向量极其线性运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节、向量及其线性运算,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,第8章,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称,矢量,).,既有,大小,又有,方向,的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段,M,1,M,2,或,a,如：力、力矩、位移、速度、加速度,（简称向量）,（几何上为有向线段的长度）,其方向是任意的,规定:,零向量与任何向量平行,；,若向量,a,与,b,大小相等,方向相同,则称,a,与,b,相等,记作,a,b,;,若向量,a,与,b,方向相同或相反,则称,a,与,b,平行,a,b,；,与,a,的模相同,但方向相反的向量称为,a,的,负向量,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量,共线,.,若,k,(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此,k,个向量,共面,.,记作,a,;,二、向量的线性运算,1.向量的加法,(2)三角形法则:,(1)平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,2.向量的减法,三角不等式,两向量,与,的差为,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,可见,与,a,的乘积是一个新向量,记作,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,定理1.,设,a,为非零向量,则,(,为唯一实数),a,b,例1.,设,M,为,解:,ABCD,对角线的交点,（证明略）,4、数轴上的点、向量、实数之间的关系,数轴:给定了原点,方向和单位长度的直线。,由于一个单位向量即确定了方向，又确定了单位长度,因此，只要给定了原点和一个单位向量就确定了一个,数轴。,轴由原点,和单位向量,所确定,在,轴上任取一点,对应有向量,对应由实数,（坐标）,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x,轴(横轴),y,轴(纵轴),z,轴(竖轴),过空间一定点,o,坐标面,卦限,(,八个,),zox,面,1.空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点,P,Q,R,；,坐标面上的点,A,B,C,点,M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点,M,的,坐标),原点,O,(0,0,0)；,坐标轴:,坐标面:,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点,M,则,沿三个坐标轴方向的,分向量,.,的坐标为,此式称为向量,r,的,坐标分解式,任意向量,r,可用向径,OM,表示.,有序数,称为向量,的坐标，记为,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,得,两点间的距离公式,对两点,与,对上面两点,记,令,称,为向量,在三个坐标轴上的分向量,为向量,在三个坐标轴,上的投影。,与,则,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点,O,称,=AOB,(,0,),为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴正向的夹角,为其,方向角,.,方向角的余弦称为,方向余弦.,记作,方向余弦的性质:,例2.,已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,3、向量在轴上的投影,1）点,在,轴上的投影,过点,作一平面垂直于,轴,平面与,轴的交点为,则,称为点,在,轴上的投影。,2）向量,在,轴上的投影,设点,在,轴上的投影分别是,则在,轴上的有向线段,的值,称为,轴上的投影。,在,记为,3)向量与轴的夹角,设空间有一向量,4)投影定理,等于向量的模乘以向量与轴,之间的夹角,的余弦，即,例如：,说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4)相等向量在同一轴上投影相等；,解,设向量,的方向角为,例3,设向量,已知,它与,轴和,轴的夹角分别为,如果点,的坐标为,求点,的坐标。,例4,解:因,1).设,求向量,在,轴上的,投影及在,轴上的分向量.,故在,轴上的投影为,在,轴上的分向量为,2).,设,求以向量,行四边形的对角线的长度.,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,例5：,一向量与,轴组成的角,是它们的两倍,确定这向量的方向。,解：,先求方向余弦，再求方向角。,又,又,或,或,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,四、小结,向量在轴上的投影与投影定理.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量的模与方向余弦的坐标表示式.,（注意分向量与向量的坐标的,区别,）,P12 3,5,10,13,15,18,19,作业,