随机误差的统计特性及其估算方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2 测量误差的分类,2.2.1 误差的来源,仪器误差,影响误差,方法误差和理论误差,人身误差,2.2.2,测量误差的分类,据误差性质分：系统误差、随机误差和疏失误差三类。,1,系统误差,系统误差,的定义：在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确定规律而变化的误差称为系统误差。,恒值系统误差：不随某些测量条件而变化的系统误差。,造成系统误差的原因,很多，常见的有：,测量设备,原因（测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放置和使用不当等）；,测量环境,原因（温度、湿度、电源电压变化、周围电磁场的影响等）；,测量方法,原因；,测量人员,的原因（感觉器官不完善、生理上的最小分辨能力限制、不正确的测量习惯等）。,2,电流表,电压表,电流表,电压表,(A),R,R,(B),图2-2 测量电阻中的电压和电流时存在的方法误差,方法误差举例,3,随机误差（偶然误差）,随机误差,的定义：在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差。,造成随机误差的根源,：由那些对测量值影响较微小，又互不相关的多种因素共同造成。如热骚动、噪声干扰、电磁场的微变、空气扰动、大地微振等。,随机误差的特点,：,1.,有界性（多次测量中，随机误差的绝对值不会超过一定的界限）；2.对称性（绝对值相等的正负误差出现的机会相同）；3.抵偿性（随机误差的算术平均值随着测量次数,n,的无限增加而趋近于零）。,4,粗大误差（疏失误差）,粗大误差,的定义：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差，又称寄生误差。,造成粗大误差的主要原因,：（1）,主观原因：读数错误、测量方法错误；（2）客观原因：测量条件突然变化。,粗大误差明显地歪曲了测量结果，对应的测量结果称为,坏值,，应剔除不用。,5,2.2.3 测量结果的评定,通常用准确度、精密度和精确度来评定测量结果。,1、准确度：是指测量值与真值的接近程度。它反映系统误差的影响。,2、精密度：是指测量值重复一致的程度。它反映随机误差的影响。,3、精确度：它反映系统误差和随机误差综合的影响程度。精确度高，说明准确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。,6,2.3 随机误差的统计特性及其估算方法,2.3.1 测量值的数学期望与标准差,1、,等精密度测量,：在相同条件下，用相同的仪器和方法，由同一测量者以同样细心的程度进行多次测量，称为等精密度测量。,2、数学期望,设对某一被测量,x,进行测量次数为n的等精密度测量，得到的测量值,x,i,（,i,=1，2，,，n）为随机变量。其,算术平均值,为,x,=,x,i,n,1,i,=1,n,也称,样本平均值,7,当测量次数,n,时，样本平均值,x,的极限称为测量值的数学期望,E,x,=lim ,x,i,n,1,i,=1,n,n,也称,总体平均值,3、算术平均值原理,（1）算术平均值的意义,由随机误差的抵偿性可知，当测量次数为无穷多时，随机误差的算术平均值,i,将趋于0，即,=lim ,i,n,1,i,=1,n,n,=0,8,对于有限次测量，当测量次数足够多时可近似认为,=,i,n,1,i,=1,n,0,可见，当不存在系统误差且无粗大误差时，测量值的数学期望可视为被测量的相对真值。,换言之，在仅有随机误差的情况下，当测量次数足够多时，测量值的平均值接近于真值。,因此，,经多次等精密度测量的算术平均值称为真值的最佳估计值,，写为,A,0,=,x,=,E,x,9,（2）剩余误差,各次测量值与其算术平均值之差，称为剩余误差（又称残差）。,u,i,=,x,i,x,对剩余误差求和，有,u,i,=,x,i,n x =n x,n x =,0,i,=1,n,i,=1,n,即当n足够大时剩余误差的代数和为0。利用这一性质可以检验所计算的算术平均值是否正确。,10,结论：,1.对于同时存在随机误差和系统误差的测量数据，只要测量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的系统误差。,2.系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。当不存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值。,3.某次测量的随机误差等于这次测量的测量值与测量值的数学期望之差。即随机误差使测量值偏离数学期望。,下面用图来表示测量误差对测量结果的影响,11,x,E,x,=A,0,i,x,i,不存在系统误差时,x,A,0,i,x,i,E,x,存在随机误差和系统误差时,x,x,0,i,x,i,E,x,x,k,（坏值）,三种误差同时存在时,测量误差对测量结果的影响,i,=,x,i,E,x,=,E,x,A,0,12,4、方差与标准差,方差,定义：当测量次数n,时测量值与数学期望值之差的平方的统计平均值，称为,方差,。它表示,测量数据的分散程度。,2,=,(,x,i,E,x,),2,n,1,i,=1,n,因为,i,=,x,i,E,x,，可得,标准差,=,i,2,n,1,i,=1,n,显然，标准差,对较大的误差反映灵敏,，,是表征精密度的参数，,大表示测量值分散。,13,5、算术平均值的标准差,当,对测量的精密度要求很高,时，可采用,多组测量,的方法。即在相同条件下对同一个量值作,m,组划分，每组重复,n,次测量，每一组数据列都有一个平均值。由于随机误差的存在，各算术平均值并不相同，围绕真值有一定的分散性，即算术平均值还存在误差。这时可用算术平均值的标准差,x,来评定。,容易得到：,x,=,n,14,2.3.3 均匀分布情况下的标准差,1、均匀分布的概率密度,在测量中，均匀分布是仅次于正态分布的一种重要分布。均匀分布的概率密度曲线如图所示。,(,x,),x,0,E,x,K,a,b,均匀分布的概率密度,(,x,)=,K a,x,b,0,x,b,均匀分布范围在,a,b,之间，设,K dx,=1,则,K,=1/(,a,-,b,),a,b,15,2、均匀分布的数学期望与方差,E,x,=(,a,+,b,)2,2,=,(,b,a,),2,12,=,(,b,a,),12,16,例：用一只150的电压表进行测量，示值为,V,x,=100V，仪表的分辨力为1V，求,E,x,及,的值。,解：据题意，示值可认为在99101V之间均匀分布，因而,a,=99V，,b,=101V，故有,E,x,=(,a,+,b,)2=100（V）,=,(,b,a,),12,0.58（V）,17,2.3.4 非等精密度测量,1、权的概念,各次（或组）的测量值可靠程度不同的测量，称为非等精密度测量。,在非等精密度测量中，可靠程度大的测量结果在最后测量报告中占的比重应大一些，可靠程度小的占的比重小些。表示这种可靠程度的量称为“权”，记做,W,。,在多组测量过程中，如果系统误差为0，则权的定义,W,i,=,i,=1，2，,，m,2,x,i,k,常数,18,例：对于电压有三组不等精密度测量值的算术平均值,x,1,=20.5V，,x,2,=20.1V，,x,3,=20.3V，又知,x,1,=0.05，,x,2,=0.20，,x,3,=0.10,则,W,1,:,W,2,:,W,3,=：=16:1:4,1,1,1,0.05,2,0.20,2,0.10,2,2、加权平均值,加权平均是将非等精密度测量等效为等精密度测量，从而求出非等精密度测量的估计值的方法。也就是将每个权为,W,i,的测量值,x,i,（或一组测量值的算术平均值,x,i,）看成,W,i,次等精密度测量的平均值。,考虑各组数据加权后的平均值，称为加权平均值。,19,x,W,=,W,i,x,i,1,W,i,i,=1,m,i,=1,m,容易得出加权平均值的计算公式为,在上例中，,m,=3，加权平均值为,x,W,=,W,i,x,i,1,W,i,i,=1,3,i,=1,3,=（16,20.5,+1,20.1,+4,20.3,）=20.44(V),1,16+1+4,20,第2讲 结束,电子测量技术,课件制作:王永才,21,